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2011年高考二轮复习专题一数学思想方法第三讲分类讨论法思想


第三讲 分类讨论法思想
思想方法解读
分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础性问题, 通过对基础性问 题的解答,解决原问题的思维策略.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为 整”的数学策略,分类讨论可以优化解题思路,降低问题难度.分类的原则是:(1)分类的 对象确定,标准统一;(2)不重复,不遗漏;(3)分层次,不越级讨论. 回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点,大致有:绝对值概念的定义;根式的性质;一 元二次方程根的判别式与根的情况; 二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向; 反比 例函数 y=k/x(x≠0)的反比例系数 k,正比例函数 y=kx 的比例系数 k,一次函数 y=kx+b 的斜率 k 与图象位置及函数单调性的关系;幂函数 y=xa 的幂指数 a 的正、负与定义域、单 调性、奇偶性的关系;指数函数 y=ax 及其反函数 y=loga x 中底数 a>1 及 a<1 对函数单 调性的影响;等比数列前 n 项和公式中 q=1 与 q≠1 的区别; 复数概念的分类;不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响;排列组 合中的分类计数原理;圆锥曲线中离心率 e 的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系;直 线与圆锥曲线位置关系的讨论;运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否存在;曲线系方 程中的参数与曲线类型;角终边所在的象限与三角函数的符号等. 分类讨论并不是凭空产生的,而是有一定原因的.这个原因就是我们分类的标准和依据.一 般来说,高中数学课程中的分类讨论可以归纳为以下几点: 1.涉及的数学概念是分类定义的; 2.由数学公式或数学法则的限制条件等运算的需要引发的; 3.数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的; 4.涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的. 在运用分类讨论思想解题时,我们要明确分类的原因是什么,对象是什么,分几个类别,不 仅要掌握分类的原则,而且要把握分类的时机,重视分类的合理性与完整性.

方法应用示例
考点一 根据数学概念的要求分类讨论
有许多核心的数学概念是分类的,比如:直线斜率、指数函数、对数函数等,与这样的 数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类,从而全面完整地解决问题.

例 1 设 0<x<1,a>0 且 a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.
【独立解答】 ∵0<x<1, ∴0<1-x<1,1+x>1,0<1-x2<1. ①当 0<a<1 时,loga(1-x)>0, loga(1+x)<0, 所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)|

=loga(1-x)-[-loga(1+x)] =loga(1-x2)>0; ②当 a>1 时,loga(1-x)<0,loga(1+x)>0, 所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)| =-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)>0. 由①、②可知,|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

变式训练
“m=
1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 2 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充要条件 C.必要不充分条件

【解析】 当 m=

1 时,两条直线斜率的乘积为-1,从而可得两条直线垂直;当 m=-2 2

时,两条直线中一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在,但两条直线仍然垂直,因 1 此 m= 是题目中给出的两条直线相互垂直的充分不必要条件. 2 【答案】 B

考点二

根据运算的要求或定理、性质、公式的条件分类讨论

1.一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,均值定理、等比数列的求和公式 等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,这时 要小心,应根据题目条件确定是否进行分类讨论. 分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的. 比如除法运算中分母能否为零的讨论; 2. 解方程及不等式时两边同乘以一个数是否为零,是正数,还是负数的讨论;二次方程运算中 对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题,差值比较中的差的正负 的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.

例 2 (2010·银川模拟)在等差数列{an}中,a1=1,满足 a2n=2an,n=1,2,…
(1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn=anpan(p>0),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

思路引导
(1)设等差数列{an}的公差为 d,

由 a2n=2an,得 a2=2a1=2,所以 d=a2-a1=1. 又 a2n=an+nd=an+n=2an,

所以,an=n. (2)由 bn=anpan 得 bn=npn, 所以 Tn=p+2p2+3p3+…+(n-1)pn-1+npn. 当 p=1 时,Tn= Tn =
n(n + 1) . 2

当 p≠1 时,pTn=p2+2p3+…+(n-1)pn+npn+1,
(1-p)Tn=p+p2+p3+…+pn-npn+1,



p(1 ? p n ) -npn+1, 1? p p(1 ? p n ) np n +1 ? . (1 ? p) 2 1? p

∴Tn=

? n(n + 1) ( p = 1) ? 2 ? 综上所述,Tn= Tn = ? n n +1 ? p(1 ? p ) ? np ? (1 ? p ) 2 1? p ?

( p ≠ 1)

考点三

由图形变化引起的分类讨论

一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变动;函数问 题中区间的变动;函数图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起 的位置变动或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.

例3

(2010·辽宁五校模拟)抛物线 y 2 = 4 px (p>0)的焦点为 F,P 为其上的一点,O 为坐

标原点,若△OPF 为等腰三角形,则这样的 P 点的个数为 B .3 A.2 C .4 D.6 【解析】 当|PO|=|PF|时,点 P 在线段 OF 的中垂线上, 此时,点 P 的位置有两个; 当|OP|=|OF|时,点 P 的位置也有两个; 对|FO|=|FP|的情形,点 P 不存在. 事实上,F( p,0),若设 P(x,y), 则|FO|=p,|FP|= ( x ? p) 2 + y 2 . 若 ( x ? p) 2 + y 2 =p, 则有 x2-2px+y2=0,又 y2=4px,∴x2+2px=0, 解得 x=0 或 x=-2p,这与点 P 在抛物线上矛盾. 所以符合要求的 P 点一共有 4 个.故选 C. 【答案】 C

考点四 由参数的取值变化引起的分类讨论

一般地,遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨 论,此种题目为含参型.应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要 考虑适当地运用数形结合思想,分类步骤做到条理清楚,不重不漏.此类问题主要包括:(1) 含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程根的求解;(3)对于解析式系数是参数的函数, 求最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定;(5)参数方程问题等.

例4

(2010·北京东城模拟)已知 m∈R,求函数 f(x)=(4-3m)x2-2x+m 在区间[0,1]上的

最大值.
4 4 时,函数 y=-2x+ ,它在[0,1]上是减函数, 3 3

(1)当 4-3m=0,即 m= 所以 ymax=f(0)=

4 .(2 分) 3 4 时,y 是二次函数. 3

(2)当 4-3m≠0,即 m≠

①若 4-3m>0, m< 即

4 1 时, 二次函数 y 的图象开口向上, 对称轴 x= >0 , 它在[0,1] 3 4 ? 3m

上的最大值只能在区间端点取得 (由于此处不涉及最小值,故不需讨论区间与对称轴的关 系).(4 分) f(0)=m,f(1)=2-2m. 4 当 m≥2-2m,又 m< , 3 即
2 4 ≤m< 时,ymax=m.(6 分) 3 3 4 , 3

当 m<2-2m,又 m< 即 m<

2 时,ymax=2(1-m).(8 分) 3 4 时,二次函数 y 的图象开口向下, 3

②若 4-3m<0,即 m> 又它的对称轴方程 x=

1 <0 , 4 ? 3m

所以函数 y 在[0,1]上是减函数. 于是 ymax=f(0)=m.(11 分) 由(1)、(2)可知,这个函数的最大值为
2 ? ? 2 ? 2m, m < 3 ? ymax= ? ? m, m > 2 ? 3 ?

(12 分)

变式训练
k 2 x (k ≥ 0) 2 (1)当 k = 2 时,求曲线 y = f ( x) 在点 (1, f ( x)) 处的切线方程.

1. 13 分) 2010. 北京)已知函数 f ( x) = ln(1 + x) ? x + ( (

(2)求 f ( x) 的单调区间. 2. (2009 安徽)已知函数 f ( x) = x ?
2 + a(2 ? ln x) , a > 0. 讨论 f ( x) 的单调性. x


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