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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第3篇 第5节 三角恒等变换课时训练 理


【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 3 篇 第 5 节 三 角恒等变换课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 三角函数的化简求值 给值求值 给值求角 综合问题 基础过关 一、选择题 1.(2014 温州一模)已知 sin 2α = ,则 cos (α - )等于( C
2

题号 2、7、14 1、3、5、10、11 4、8、9、13 6、12、15、16

)

(A) (B)-

(C) (D)-

解析:cos (α - )=

2

=

=

= .故选 C.

2.化简

等于(

C )

(A)-2

(B)-

(C)-1

(D)1

解析: 故选 C.

=

=

=-1.

3.在△ABC 中,tan A= ,cos B=

,则 tan C 的值是(

B )

1

(A)1

(B)-1
2

(C)2
2

(D)-2

解析:由 sin B+cos B=1,

则 sin B=

=

=

,

∴tan B=

=

= ,

由三角形内角和定理有 A+B+C=π , 所以 tan C=-tan(A+B)=-

=-

=-1.

故选 B. 4.(2015 咸阳月考)若函数 sin α -cos α =- (0<α < ),则α 属于( B )

(A)(0, ) (B)( , )

(C)( , ) (D)( , )

解析:sin α -cos α =

sin(α - )=- ,

sin(α - )=- ,由- <- <0,

因为 0<α < ,

所以- <α - <0,即 <α < , 故选 B. 5.设α 、β 都是锐角,且 cos α = ,sin(α +β )= ,则 cos β 等于( A )

2

(A)

(B)

(C)



(D)



解析:因α 、β 为锐角,cos α = ,sin(α +β )= ,

所以 sin α =

,cos(α +β )=± .

又因为 cos α = < ,α ∈(0, ),

所以α ∈( , ),从而α +β > .

于是 cos(α +β )< ,

故 cos(α +β )=- . cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α =- ? + ?

=

.

故选 A. 6.已知向量 m=( ( A ) (A) (B) (C)(D)sin ,1),n=(cos ,cos ),f(x)=m?n,若 f(x)=1,则 cos(x+ )的值为
2

解析:∵f(x)=m?n=

sin cos +cos = sin + cos + =sin( + )+ ,而 f(x)=1,

2

3

∴sin( + )= ,∴cos(x+ )=cos 2( + )=1-2sin ( + )= .故选 A. 二、填空题 7.(2014 昆明一模)若 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 tan α tan β = .

2

解析:由题 cos α cos β -sin α sin β = ,

cos α cos β +sin α sin β = ,则 cos α cos β = ,

sin α sin β = ,

=tan α tan β = .

答案:

8.sin α = ,cos β = ,其中α 、β ∈(0, ),则α +β =

.

解析:∵sin α = ,cos β = ,α ,β ∈(0, ),

∴cos α = ,sin β = ,

∴cos(α +β )= ? - ? =0. 又∵α +β ∈(0,π ), ∴α +β = .

答案:

9.已知 cos α = ,cos(α +β )=- ,α ∈(0, ),α +β ∈( ,π ),则β 的值为

.

解析:∵cos α = ,α ∈(0, ),∴sin α =

,

4

又∵cos(α +β )=- ,α +β ∈( ,π ),∴sin (α +β )=

,

∵cos β =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α = ,

又∵α ∈(0, ),α +β ∈( ,π ),β ∈(0,π ),∴β = .

答案:

10.已知 sin(α - )= ,α ∈[ , ],则 cos α =

.

解析:因为α ∈[ , ],所以α - ∈[ ,

],

因为 sin(α - )= ,所以 cos(α - )=- .

因此 cos α =cos(α - + )= cos(α - )- sin(α - )=-

.

答案:三、解答题 11.(2014 高考江苏卷)已知α ∈( ,π ),sin α = .

(1)求 sin( +α )的值;

(2)求 cos( -2α )的值.

解:(1)因为α ∈( ,π ),sin α = ,

所以 cos α =-

=-

.

5

故 sin( +α )=sin cos α +cos sin α

= ?(-

)+ ?

=-

.

(2)由(1)知 sin 2α =2sin α cos α =2? ?()

=- ,

cos 2α =1-2sin α =1-2?( ) = ,

2

2

所以 cos( -2α )=cos

cos 2α +sin

sin 2α

=(- )? + ?(- )

=-

.

12.已知向量 a=(2cos x,1),b=(cos x,

sin 2x),函数 f(x)=a?b.

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)当 x∈[ , ]时,若 f(x)= ,求 f(x- )的值.

解:(1)f(x)=2cos x+ ∴T=π .

2

sin 2x=2sin(2x+ )+1,

6

由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z),则 f(x)的单调递增区间为[kπ - ,k

π + ](k∈Z).

(2)f(x)=2sin(2x+ )+1= ,则 sin(2x+ )= .

由 ≤x≤ ,得 ≤2x+ ≤ ,

所以 cos(2x+ )=-

=- ,

f(x- )=2sin(2x+ - )+1

=2sin(2x+ )cos -2cos(2x+ )sin +1

=2? ? -2?(- )? +1

=

. 能力提升

13.(2014 高考新课标全国卷Ⅰ)设α ∈(0, ),β ∈(0, ),且 tan α =

,则( C

)

(A)3α -β = (B)3α +β =

(C)2α -β = (D)2α +β =

解析:由题得

=

,

sin α cos β =cos α +cos α sin β , 即 sin(α -β )=cos α ,

7

sin(α -β )=sin( -α ),

又- <α -β < ,0< -α < ,

∴α -β = -α ,

2α -β = .故选 C. 14.定义运算 a☉b=ab +a b,则 sin 75°☉cos 75°的值是
2 2

.
2 2

解析:由题意,sin 75°☉cos 75°=cos 15°☉sin 15°=cos 15°sin 15°+cos 15°sin 15°=sin 15°cos 15°(sin 15°+ cos 15°)= sin 30°(sin 15°+cos 15°)= ( sin 15°+ cos 15°)

= (cos 45°sin 15°+sin 45°cos 15°)= sin 60°= ? = .

答案:

15.(2014 北京东城区期末)已知函数 f(x)=2

sin xcos x-2sin x+1.

2

(1)求 f( )的值;

(2)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.

解:(1)由 f(x)=2 =

sin xcos x-2sin x+1

2

sin 2x+cos 2x,

得 f(x)=2sin(2x+ ).

所以 f( )=2sin =

.

8

(2)因为 0≤x≤ ,所以 ≤2x+ ≤ .

当 2x+ = ,即 x= 时,

函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值为 2.

当 2x+ = ,即 x= 时,

函数 f(x)在[0, ]上的最小值为-1. 探究创新 16.(2014 陕西长安模拟)已知角α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, ).

(1)求 sin 2α -tan α 的值; (2)若函数 f(x)=cos(x-α )cos α -sin(x-α )sin α ,求函数 y= f( -2x)-2f (x)在区间
2

[0, ]上的值域.

解:(1)因为角α 终边经过点 P(-3,

),

所以 sin α = ,cos α =- ,tan α =- .

∴sin 2α -tan α =2sin α cos α -tan α =- + =- . (2)∵f(x)=cos(x-α )cos α -sin(x-α )sin α =cos x,x∈R, ∴y= cos( -2x)-2cos x=
2

sin 2x-1-cos 2x=2sin(2x- )-1.

∵0≤x≤ ,∴0≤2x≤ ,∴- ≤2x- ≤ ,

9

∴- ≤sin(2x- )≤1,∴-2≤2sin(2x- )-1≤1,

故函数 y=

f( -2x)-2f (x)在区间[0, ]上的值域是[-2,1].

2

10


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