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江西省红色六校2013届高三下学期第二次联考数学(文)试题


2013 届江西省红色六校高三联考 数学试题(文)
一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) ? ? R i 为 虚 数 单 位 , 且 xi ? y ? ?1 ? i , 则 ( 1 i x?)y 的 值 为 1. 已 知 x, y , ( ) A. 2 B. ? 2i C. ?4 D. 2i 2.已知集合 M ? ?x |x ? 7 |<9? , N ? ?x | y ?
9 ? x2

? ,且 M、N 都是全集 U 的
) D. ?x x>16? )
开始

子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( A. ?x ? 3 ? x< ? 2? 3. 函数 A 周期为 的奇函数 C,周期为 的奇函数 B. ?x ? 3 ? x ? ?2? C. ?x x ? 16? 是( B.周期为 的偶函数 D.周期为 的偶函数

输入 a P=0,? =1,n=0

4.执行右面的程序框图,如果输入 a ? 4 ,那么输出的 n 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5. 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , 抛物线 y 2 ? 4x 上 一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是(
3 5 (A) 5

P ?? 是 P=P+a
n



)

输出 n

(B) 2

11 (C) 5

(D) 3
? ? 2? ? 1
n=n+1 结束

6.四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐 1,2,3, 4 号位子上(如下图) ,第一次前后排动物互换座位,第二次 左右列动物互换座位,?,这样交替进行下去,那么第 2012 次互换座位后,小兔的座位对应的是 ( )

A.编号 1

B.编号 2

C.编号 3

D.编号 4
C1 B1 F D A E B

7. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E , F 分别是
A1

D1

C

棱 BC, CC1 的中点, P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P / / 平面 AEF , 则线段 A1 P 长度的取值范围是( A. [1,
5 ] 2

) C. [
5 , 2] 2

B. [

3 2 5 , ] 4 2

D. [ 2, 3]

??? ? ??? ? ? ? 8.如图, 在等腰直角 ?ABO 中, OA ? a, OB ? b , OA ? OB ? 1, C 为 设
AB 上靠近点 A 的四等分点,过 C 作 AB 的垂线 l ,设 P 为垂线
P

O

??? ? ? ? ? ? 上任一点, OP ? p, 则 p ? (b ? a) ?
( A. ? )
A C B

1 1 3 3 B. C. ? D . 2 2 2 2 9、在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为 ?A、?B、?C 的对边,三边 a 、 b 、 c 成等差数列,

且B ?

?
4

,则 cos A ? cos C 的值为( B. 2

) C. 4 2 D. ? 4 2
1

A. ? 2

10.给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三个 是增函数; ②若 logm 3 ? logn 3 ? 0 , 0 ? n ? m ? 1 ; 则 ③若函数 f ( x) 是奇函数, f ( x ? 1) 则 的图象关于点 A(1,0) 对称; ④若函数 f ( x) ? 3x ? 2 x ? 3 , 则方程 f ( x) ? 0 有 2 个实数根, 其中正确命题的个数为 ( (A) 1 (B) 2 ) (C) 3 (D) 4

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分). 11. 已知数列 1, a,9 是等比数列,数列 1, b1 , b2 ,9 是等差数列,则

a b1 ? b2

的值为

.

12.先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b. 则直线 ax+by+5=0 与圆

x 2 ? y 2 ? 1 相切的概率为
13. 已知函数

; , 则不等式 1<f ( x)<4 的解集为 .

f ( x) ?

?

3 x ( 0<x ?1) x 2 ? 4 x ? 4 ( x>1)

14. 三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图 和左视图如图所示,则棱 BD 的长为____ __. 15. 过 椭 圆
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上 一 点 M 2 a b
2 2

D

4

A

C

2 主视图

2

2 3 左视图

B

作直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点,设 MA, MB 的斜率分别为 k1 , k2 ,若点 A, B 关于原点对
1 称,且 k1 ? k2 ? ? , 则此椭圆的离心率为 . 3 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列.

⑴若 AB ? BC = ? ,b= 3 ,求 a+c 的值; ⑵求 2sin A ? sin C 的取值范围.

??? ??? ? ?

3 2

17.(本题满分 12 分) 某中学在校就餐的高一年级学生有 440 名,高二年级学生有 460 名,高三年级学生 有 500 名;为了解学校食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取 70 名学生进行 抽样调查, 把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级: 1 级 (很 不满意) 级(不满意) 级(一般) 级(满意) 级(很满意) ;2 ;3 ;4 ;5 ,其统计结果如下 表(服务满意度为 x ,价格满意度为 y ).

⑴求高二年级共抽取学生人数; ⑵求“服务满意度”为 3 时的 5 个“价格满意度”数据的方差; ⑶为提高食堂服务质量,现从 x ? 3 且 2 ? y ? 4 的所有学生中随机抽取两人征求意见, 求至少有一人的“服务满意度”为 1 的概率.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠BAD= 60? ,AB=2,PA=1,PA ⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点. ⑴求证:BE∥平面 PDF; ⑵求三棱锥 P-DEF 的体积.

19. (本小题满分 12 分) 已知直线 ln : y ? x ? 2n 与圆 Cn : x 2 ? y 2 ? 2an ? n ? 2 ? n ? N ? ? 交于不同点 An , Bn 。其中 数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an ?1 ?
1 2 An Bn . 4 ⑴求数列 ?an ? 的通项公式;

⑵设 bn ?

n ? an ? 2 ? , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 3

20. (本题满分 13 分)
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F1 , F2;F2 也 a 2 b2 5 是抛物线 C2 : y 2 ? 4x 的焦点,点 M 为C1与C2 在第一象限的交点,且 MF2 ? 。 3 ⑴求 C1 的方程; ???? ???? ???? ? ? ? ⑵平面上的点 N 满足 MN ? MF1 ? MF2 ,直线 l∥MN ,且与 C1 交于 A、B 两点,若

在直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C1 :

OA ? OB ? 0 求直线 l 的方程。

21. (本题满分 14 分) 设函数 f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a. ⑴ 当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; ⑵ 当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的 取值范围; ⑶ 是否存在实数 m, 使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若 存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由。

答案

1——5 D B A C B 11.
3 10

6——10 C B A D C 13. (0,1] U (3, 4) 14. 4 2 15.
?
3

12.

1 18

6 3

16.解析: (1)因为 A,B,C 成等差数列,所以 B=
??? ??? ? ?

.-------1 分

3 3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 因为 b= 3 ,b ? a ? c ? 2ac cos B ,所以 a ? c ? ac =3,即 (a ?c) 2 ?3ac =3.-----5

因为 AB ? BC = ? ,所以 ac cos(? ? B) = ? ,所以 ac = ,即 ac=3.-------3 分 分 所以 (a ? c)2 =12,所以 a+c= 2 3 . ------------6 分 (2) 2sin A ? sin C = 2sin( 分
3 2? ,所以 3 cosC ∈ (? , 3) .-------10 分 2 3 3 所以 2sin A ? sin C 的取值范围是 (? , 3) .---------- 12 分 2

3 1 2? ? C ) ? sin C = 2( cos C ? sin C ) ? sin C = 3 cosC .----8 2 2 3

因为 0<C<

460 ? 70 ? 23 (人)????3 分 1400 3? 7 ?8?8? 4 (2)“服务满意度为 3”时的 5 个数据的平均数为 ? 6, 5

17.解: (1)共有 1400 名学生,高二级抽取的人数为

? 2 ?8 ? 6 ? ? ? 4 ? 6 ? ? 4.4 ??????7 分 所以方差 s 5 (3)符合条件的所有学生共 7 人,其中“服务满意度为 2”的 4 人记为 a, b, c, d “服务满意度为 1”的 3 人记为 x, y, z .
2 2 2 2 2

?3 ? 6? ? ?7 ? 6? ?

在这 7 人中抽取 2 人有如下情况: ? a, b ? , ? a, c ? , ? a, d ? , ? a, x ? , ? a, y ? , ? a, z ?

? b, c ? , ? b, d ? , ? b, x ? , ? b, y ? , ? b, z ? ? c, d ? , ? c, x ? , ? c, y ? , ? c, z ? ? d , x ? , ? d , y ? , ? d , z ? ? x, y ? , ? x, z ? , ? y, z ? 共 21 种情况
其中至少有一人的“服务满意度为 1”的情况有 15 种. ????????10 分 15 5 所以至少有一人的“服务满意度”为 1 的概率为 p ? ? ????????12 分 21 7 18.解析: (1)取 PD 的中点为 M,连结 ME,MF,------1 分 ? E 是 PC 的中点, ? ME // 1 CD -------2 分 2 又? F 是 AB 的中点,且由于 ABCD 是菱形, AB//CD

? ME//FB -------3 分 ? 四边形 MEBF 是平行四边形,------4 分

? BE∥MF.-------5 分 又? BE ? 平面 PDF,MF ? 平面 PDF, ? BE∥平面 PDF.--------6 分 (2)? E 是 PC 的中点, ? 点 P 到平面 EFD 的距离与点 C 到平面 EFD 的距离相等,-------7 分
故 VP ? DEF = VC ? DEF = VE ? DFC ,-------8 分 又 S ?DFC = ×2× 3 = 3 ,--------9 分 E 到平面 DFC 的距离 h= PA = ,-------10 分 所以 VE ? DFC = × 3 × =
1 3
1 2
3 ---------12 分 6

1 2

1 2

1 2

19.解析: (1)圆心到直线的距离 d ?
2

? 2n 2

? n , ---------1 分

?a1 ? 1,?数列?an ? 2? 是首项为 3,公比为 2 的等比数列,则
-----------6 分 an ? 2 ? 3? 2n?1,?an ? 3? 2n?1 ? 2. n ⑵ bn ? ? an ? 2 ? ? n?2n ?1. 3 S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n ?1 ①
2 S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? ? n ? 1? ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ? S n ? ? n ? 1? 2n ? 1. ② ① ? ②得,-S n ? 1 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? n ? 2n ? ?1 ? n ??2 n ? 1,

?1 ? ? an?1 ? ? An Bn ? ? ? 2an ? n ? 2? ? n ? 2an ? 2, --------2 分 ?2 ? 则 an?1 ? 2 ? 2 ? an ? 2? . ---------4 分

????(12 分)

???? ????? ???? ? ? ⑵由MF1 ? MF2 ? MN知四边形MF1 NF2是平行四边形,其中心为坐标原点O, 2 6 因为l∥MN , 所以l与OM 的斜率相同,故l的斜率k ? 3 ? 6. 2 3 设l的方程为y ? 6 ? x ? m ? . ?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12, ? 由? ? y ? 6 ? x ? m? , ? 消去y并化简得9 x 2 ? 16mx ? 8m 2 ? 4 ? 0. 设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , x1 ? x2 ? 16m , 9

8m 2 ? 4 x1 x2 ? . 9 ??? ??? ? ? 因为 OA ? OB ,所以 x1x2 ? y1 y2 ? 0.

x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 6 ? x1 ? m ?? x2 ? m ? ? 7 x1 x2 ? 6m ? x1 ? x2 ? ? 6m2

8m2 ? 4 16m 1 ? 7? ? 6m? ? 6m2 ? ?14m2 ? 28? ? 0. 9 9 9
所以 m ? ? 2 。此时 ? ? ?16m ? ? 4 ? 9 ?8m2 ? 4 ? ? 0, 故所求直线 l 的方程为 y ? 6x ? 2 3 ,
2

或 y ? 6x ? 2 3.

????(13 分)

21.(1)由 a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x x 即m ? ----------1 分 ln x x 记? ? ,则 f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 m ? ? ( x)min . ln x ln x ? 1 求得 ? '( x) ? 当 x ? (1, e) 时; ? '( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, ? '( x) ? 0 ln 2 x 故 ? ( x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值,------------3 分 即 ? ( x)min ? ? (e) ? e ,故 m ? e . ------------4 分 (2)函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2lnx=a, 在[1,3]上恰有两个相异实根。-----------5 分 2 令 g(x)=x-2lnx,则 g '( x ) ? 1 ? x 当 x ? [1, 2) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '( x) ? 0 g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数。---------6 分 故 g ( x)min ? g (2) ? 2 ? 2ln 2 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3----------7 分 ∵g(1)>g(3), ∴只需 g(2)<a≤g(3), 故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3] ---------8 分 1 (3)存在 m= ,使得函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单 调性 2 m 2x2 ? m f '( x) min ? 2 x ? ? ,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) 。---------9 分 x x 若 m ? 0 ,则 f ( x) ' ? 0 ,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意; -------10 分 若 m ? 0 ,由 f ( x) ' ? 0 可得 2x2-m>0,解得 x> 故 m ?0 时,函数的单调递增区间为( --------12 分 而 h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0, 故只需
1 1 ),单调递增区间是( ,+∞) 2 2

m m 或 x<(舍去)--------11 分 2 2 m m ,+ ∞ ) 单 调 递 减 区 间 为 (0, ) 2 2

1 m 1 = ,解之得 m= ----------13 分 2 2 2 1 即当 m= 时, 函数 f(x)和函数 h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。 -------14 2 分


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