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不定积分例题及参考答案

不定积分例题及参考答案第 4 章 内容概要 名称 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 不定积分 设 f ( x ) , x ? I ,若存在函数 F ( x) ,使得对任意 x ? I 均有 F ?( x) ? f ( x) 或 dF ( x) ? f ( x)dx ,则称 F ( x) 为 f ( x ) 的一个原函数。 f ( x) 的全部原函数称为 f ( x) 在区间 I 上的不定积分,记为 ? f ( x)dx ? F ( x) ? C 注: (1)若 f ( x ) 连续,则必可积; (2)若 F ( x), G( x) 均为 f ( x ) 的原函数,则 F ( x) ? G( x) ? C 。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 不 定 积 分 性质 1: d ? ? ? f ( x)dx ? ? ? f ( x) 或 d ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ; dx ? ? 性质 2: F ?( x )dx ? F ( x ) ? C 或 dF ( x ) ? F ( x ) ? C ; 性质 3: [? f ( x) ? ? g ( x)]dx ? ? 计 算 方 法 ? ? ? ? f ( x)dx ? ? ? g ( x)dx ,? , ? 为非零常数。 第一换元 积分法 (凑微分 法) 第二类 换元积 分法 设 f (u ) 的 原函数为 F (u ) , u ? ? ( x) 可导,则有换元公式: ? f (? ( x))? ?( x)dx ? ? f (? ( x))d? ( x) ? F (? ( x)) ? C 设 x ? ? (t ) 单调、可导且导数不为零, f [? (t )]? ?(t ) 有原函数 F (t ) , ?1 则 ? f ( x)dx ? ? f (? (t ))? ?(t )dt ? F (t ) ? C ? F (? 分部积分 法 有理函数 积分 本章 的地 位与 作用 ( x)) ? C ? u ( x)v?( x)dx ? ? u ( x)dv( x) ? u ( x)v( x) ? ? v( x)du( x) 若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真 分式的处理按情况确定。 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题,实质上是求被积函数 的原函数问题;后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最 终的解决都归结为对定积分的求解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。 从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用,积分的问题会 不会求解及求解的快慢程度,几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学 习的深入,同学们会慢慢体会到! 1 课后习题全解 习题 4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) ?x dx 2 x 思路: 被积函数 1 x2 x 5 ? x 2 ,由积分表中的公式(2)可解。 3 ? 5 解: ?x ? dx 2 ? 2 ? ? ? x 2 dx ? ? x 2 ? C 3 x ★(2) ( 3 x ? 1 x )dx 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 3 解: ? ( x ? )dx ? ? ( x ? x )dx ? ? x dx ? ? x dx ? x 3 ? 2 x 2 ? C 4 x 3 ? ? x 2 dx ★(3) (2 ? x ) 1 1 3 1 2 1 3 1 2 4 1 ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 dx ? 2 dx ? x dx ? 解: (2 ? x ) x 2 x 2 ? ? ? 2x 1 3 ? x ?C ln 2 3 ★(4) ? x ( x ? 3) dx 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ? 2 x ( x ? 3)dx ? ? x dx ? 3? x dx ? x 2 ? 2 x 2 ? C 5 3x 4 ? 3x 2 ? 1 ? x2 ? 1 dx 3x 4 ? 3x 2 ? 1 1 ? 3x 2 ? 2 后, 根据不定积分的线性性质, 将被积函数分项, 2 x ?1 x ?1 3 2 1 2 5 3 ★★(5) 思路:观察到 分别积分。 解: 3x 4 ? 3x 2 ? 1 1 2 3 ? x2 ? 1 dx ? ? 3x dx ? ? 1 ? x2 dx ? x ? arctan x ? C 2 ★★(6) x2 ? 1 ? x2 dx x2 x2 ? 1 ?1 1 ? ? 1? ,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 2 2 1? x 1? x 1 ? x2 思路:注意到 分别积分。 解: x2 1 ? 1 ? x2 dx ? ? dx ?? 1 ? x2 dx ? x ? arctan x ? C. 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7) ( - ? x 1 3 4 + - ) dx 2 x x3 x 4 思路:分项积分。 解: ( - x 1 3 4 1 1 + 3 - 4) dx ? ? xdx ? ? dx ? 3? x ?3 dx ? 4? x ?4 dx 2 x x x 2 x 1 3 4 ? x 2 ? ln | x | ? x ?2 ? x ?3 ? C. 4 2 3 ? ★(8) ( ? 3 2 ? )dx 2 1? x 1 ? x2 思路:分项积分。 解: ( ? 3 2 1

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