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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 选4-5-2


高考进行时 一轮总复习

新课标通用 A 版

数学(理)

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1.已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm +an)的最小值为__________. 解析:由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ab+bd)2,当且仅当 ad=bc 时 “=”成立,得(am+bn)(bm+an)≥( am· an+ bm bn)2=mn(a+b)2=2. 答案:2 2. [2014· 陕西]设 a, b, m, n∈R, 且 a2+b2=5, ma+nb=5, 则 m2+n2 的最小值为__________. 解析:由柯西不等式得(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2),即 m2+n2≥5,∴ m2+n2≥ 5,∴所求最小值为 5. 答案: 5 3.设正数 x,y,z 满足 2x+2y+z=1. (1)求 3xy+yz+zx 的最大值; 3 1 1 125 (2)证明: + + ≥ 26 . 1+xy 1+yz 1+zx 解析:(1)3xy+yz+zx=3xy+(x+y)z=3xy+(x+y)· [1-2(x+y)] 3 =3xy+(x+y)-2(x+y)2≤4(x+y)2+(x+y)-2(x+y)2 5 =-4(x+y)2+(x+y) 5 2 1 1 =-4[(x+y)-5]2+5≤5. 1 1 当且仅当 x=y=z=5时等号成立,3xy+yz+zx 取得最大值5. (2) 证 明 : 由 柯 西 不 等 式 和 (1) 得 ,
1

3 1 1 + + 1+xy 1+yz 1+zx

高考进行时 一轮总复习 ≥ 25 25 125 ≥ 1= 26 . 3?1+xy?+?1+yz?+?1+zx? 5+5

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数学(理)

1 1 1 4.(1)设 x≥1,y≥1,证明:x+y+xy≤x +y +xy; (2)设 1<a≤b≤c,证明:logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 证明:(1)由于 x≥1,y≥1, 1 1 1 要证 x+y+xy≤x+y+xy, 只需证 xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 因为[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1] =[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1), 由条件 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立. 1 1 (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 logca=xy,logba=x, 1 logcb=y ,logac=xy. 于是,所要证明的不等式即为 1 1 1 x+y+xy≤x +y +xy, 由题意知 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立.

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