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【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修2-1单元测评一 常用逻辑用语


高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1

单元测评(一)

常用逻辑用语

(时间:90 分钟 满分:120 分) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.命题“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是( A.不存在 x0∈R,2x0>0 B.存在 x0∈R,2x0≥0 C.对任意的 x∈R,2x≤0 D.对任意的 x∈R,2x>0 解析:因为命题“存在 x0∈R,2x0≤0”是特称命题,所以它的否定是全 称命题. 答案:D 2.(2013· 安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 解析:若(2x-1)x=0,则 x=2或 x=0,即不一定推出 x=0;若 x=0, 则一定能推出 (2x - 1)x = 0. 故 “(2x - 1)x = 0” 是 “x = 0” 的必要不充分条 件. 答案:B 3. 与命题“能被 6 整除的整数, 一定能被 3 整除”等价的命题是( A.能被 3 整除的整数,一定能被 6 整除 B.不能被 3 整除的整数,一定不能被 6 整除
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)

)

)

高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 C.不能被 6 整除的整数,一定不能被 3 整除 D.不能被 6 整除的整数,不一定能被 3 整除 解析:一个命题与它的逆否命题是等价命题,选项 B 中的命题为已知 命题的逆否命题. 答案:B 4.若向量 a=(x,3)(x∈R),则“x=4 是|a|=5”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由 x=4 知|a|= 42+32=5;反之,由|a|= x2+32=5,得 x=4 或 x=-4.故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件,故选 A. 答案:A 5.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知命题 p:?x∈R,2x<3x;命题 q:?x∈ R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( A.p∧q C.p∧綈 q ) )

B.綈 p∧q D.綈 p∧綈 q

解析:命题 p 为假,因为当 x<0 时,2x>3x.命题 q 为真,因为 f(x)=x3 +x2-1 在(0,+∞)内单调递增,且 f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以在(0,1) 内函数 f(x)必存在零点.所以綈 p∧q 为真命题,故选 B. 答案:B 6.在三角形 ABC 中,∠A>∠B,给出下列命题: ∠A ∠B ①sin∠A>sin∠B;②cos2∠A<cos2∠B;③tan 2 >tan 2 .
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高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 其中正确的命题个数是( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.3 个

解析:当∠A、∠B 均为锐角时,由函数的单调性及不等式的性质知都 成立;当∠B 为锐角,∠A 为钝角或直角时,又有∠A、∠B 为三角形的内 ∠B π π π ∠A π 角,所以2≤∠A<π,0<∠B<2,∠A+∠B<π,即4≤ 2 <2,0< 2 < ∠A ∠B π π ,∠ B < π -∠ A < ,即 tan > tan 4 2 2 2 ,sin∠B<sin(π-∠A)=sin∠A, cos∠B>cos(π-∠A)=-cos∠A≥0,所以 cos2∠A<cos2∠B. 答案:D 7.下面说法正确的是( )

2 A.命题“?x0∈R,使得 x0 +x0+1≥0”的否定是“?x∈R,使得 x2

+x+1≥0” B.实数 x>y 是 x2>y2 成立的充要条件 C.设 p,q 为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“綈 p∧綈 q”也为 假命题 D.命题“若 α=0,则 cosα=1”的逆否命题为真命题 解析:对 A 选项,命题的否定是:“?x∈R,使得 x2+x+1<0”,故 不正确,对于 B 选项,由 x>yA/?x2>y2,且 x2>y2A/?x>y,故不正确.对 于 C 选项,若“p∨q”为假命题, 则“綈 p∧綈 q”为真命题,故不正确. 对于 D 选项,若 α=0,则 cosα=1 是真命题,故其逆否命题也为真命 题,故正确. 答案:D
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高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 8.已知命题 p:?x0∈R,使 tanx0=1,命题 q:?x∈R,x2>0.下面 结论正确的是( )

A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧綈 q”是假命题 C.命题“綈 p∨q”是真命题 D.命题“綈 p∧綈 q”是假命题 解析:∵p 真,q 假.故 p∧q 为假,p∧綈 q 为真.綈 p∨q 为假,綈 p ∧綈 q 为假,选 D. 答案:D 9.下列结论错误的是( )

A. 命题“若 log2(x2-2x-1)=1, 则 x=-1”的逆否命题是“若 x≠- 1,则 log2(x2-2x-1)≠1”
? π π? B.设 α,β∈?-2,2?,则“α<β”是“tanα<tanβ”的充要条件 ? ?

C.若“(綈 p)∧q”是假命题,则“p∨q”为假命题 D.“?α∈R,使 sin2α+cos2α≥1”为真命题 解析:根据逆否命题定义知 A 选项正确.由正切函数单调性,可判断 B 选项正确.D 选项作为特称命题正确,对于 C 选项,“綈 p∧q”为假, 则綈 p,q 中至少一个为假,故 p∨q 真假不定,故选 C. 答案:C 10.给出下列三个命题: a b ①若 a≥b>-1,则 ≥ ;②若正整数 m 和 n 满足 m≤n,则 1+a 1+b
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高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 n mn-m2≤2;③设 P(x1,y1)是圆 O1:x2+y2=9 上的任意一点,圆 O2 以 Q(a, b)为圆心, 且半径为 1.当(a-x1)2+(b-y1)2=1 时, 圆 O1 与圆 O2 相切. 其中假命题的个数为( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.3 个

a b 1 1 1 1 解析:① ≥ ?1- ≥1- ? ≤ ,又 a≥b>- 1+a 1+b 1+a 1+b 1+a 1+b 1?a+1≥b+1>0 知本命题为真命题. ②用基本不等式:2xy≤x2+y2(x>0,y>0),取 x= m,y= n-m, 知本命题为真命题. ③圆 O1 上存在两个点 A、B 满足弦 AB=1,所以 P、O2 可能都在圆 O1 上,当 O2 在圆 O1 上时,圆 O1 与圆 O2 相交.故本命题为假命题. 答案:B 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.给出命题:“若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过 第四象限”.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个 数是__________. 解析:∵命题:“若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过 第四象限”是真命题,其逆命题“若函数 y=f(x)的图象不过第四象限,则 函数 y=f(x)是幂函数”是假命题,如函数 y=x+1.再由互为逆否命题真假 性相同知,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数 是 1 个. 答案:1 个

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高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 12.命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围 是__________. 解析: ∵命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题, ∴不等式 ax2-2ax
? ?a<0, -3≤0 对于任意的实数 x 恒成立, (1)当 a=0 时, 符合条件; (2)当? ?Δ≤0, ?

即-3≤a<0. 由(1)、(2)得实数 a 的取值范围是{a|a=0 或 a≤-3}. 答案:-3≤a≤0 13.若不等式|x-1|<a 成立的充分条件是 0<x<4,则实数 a 的取值范 围是__________. 解析:∵|x-1|<a?1-a<x<1+a, 又∵不等式|x-1|<a 成立的充分条件是 0<x<4,
? ? ?1-a≤0, ?a≥1, ? ∴ 即? ∴a≥3. ?1+a≥4, ? ? ?a≥3,

答案:[3,+∞) 14.已知命题 p:?x∈[1,2],x2-a≥0,命题 q:?x∈R,x2+2ax+2 -a=0,若“p∧q”为真命题,则实数 a 的取值范围是__________. 解析:∵“p∧q”为真命题,∴p,q 均为真命题. 由 p 为真命题得 a≤1.由 q 为真命题得 a≤-2 或 a≥1. ∴当 p,q 同时为真时,有 a≤-2 或 a=1. 答案:a≤-2 或 a=1 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. 15.(12 分)命题:已知 a,b 为实数,若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有非空解集,则 a2-4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并 判断这些命题的真假.
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高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 解:逆命题:已知 a、b 为实数,若 a2-4b≥0,则关于 x 的不等式 x2 +ax+b≤0 有非空解集.(3 分) 否命题:已知 a、b 为实数,若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空 解集,则 a2-4b<0.(6 分) 逆否命题:已知 a、b 为实数,若 a2-4b<0,则关于 x 的不等式 x2+ ax+b≤0 没有非空解集.(9 分) 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题. (12 分) 16.(12 分)已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若綈 p 是 綈 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 解:由题意 p:-2≤x-3≤2, ∴1≤x≤5. ∴綈 p:x<1 或 x>5.(4 分) q:m-1≤x≤m+1, ∴綈 q:x<m-1 或 x>m+1.(8 分) 又∵綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,
? ?m-1≥1, ∴? ? ?m+1≤5.

∴2≤m≤4.(12 分)
2 17.(12 分)设命题 p:?x0∈R,x0 +2ax0-a=0.命题 q:?x∈R,ax2

+4x+a≥-2x2+1.如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实 数 a 的取值范围.
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高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 解:当命题 p 为真时,Δ=4a2+4a≥0 得 a≥0 或 a≤-1,当命题 q 为 真时,(a+2)x2+4x+a-1≥0 恒成立, ∴a+2>0 且 16-4(a+2)(a-1)≤0,即 a≥2.(6 分) 由题意得,命题 p 和命题 q 一真一假. 当命题 p 为真,命题 q 为假时,得 a≤-1; 当命题 p 为假,命题 q 为真时,得 a∈?; ∴实数 a 的取值范围为(-∞,-1].(12 分) 18.(14 分)给出两个命题: 命题甲:关于 x 的不等式 x2+(a-1)x+a2≤0 的解集为?,命题乙:函 数 y=(2a2-a)x 为增函数. 分别求出符合下列条件的实数 a 的取值范围. (1)甲、乙至少有一个是真命题; (2)甲、乙中有且只有一个是真命题. 1 解:甲命题为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0,即 a>3或 a<-1. 1 乙命题为真时,2a2-a>1,即 a>1 或 a<-2. (1)甲、乙至少有一个是真命题时, 即上面两个范围取并集, 1 1 ∴a 的取值范围是{a|a<-2或 a>3}.(7 分) (2)甲、乙中有且只有一个是真命题,有两种情况: 1 1 甲真乙假时,3<a≤1,甲假乙真时,-1≤a<-2, 1 ∴甲、乙中有且只有一个真命题时,a 的取值范围为{a|3<a≤1 或-

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高中·新课标 A 版·数学·选修 2-1 1 1≤a<-2}.(14 分)

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