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江苏省扬州市2017届高三考前调研测试数学试题+Word版含答案


扬州市 2017 届高三考前调研测试
2017.05

试 题Ⅰ
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1.已知 A ? ?0,1,2?, B ? ?2,4? ,则 A ? B ? ▲ . ▲ 象限.

2.若复数 z 满足 (2 ? i) z ? 1 ? i ,则复数 z 在复平面上对应的点在第

3.随着社会的发展,食品安全问题渐渐成为社会关注的热点,为了提高学生的食品安全意 识,某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛,成绩的频率分布直方图如下图所示,数据 的分组依次为 ? 20, 40 ? , ? 40,60 ? , ? 60,80 ? , ?80,100? ,若该校的学生总人数为 3000,则成 绩不超过 60 分的学生人数大约为 ▲ .

第3题 4.在区间 ? 0,5? 内任取一个实数 m , 则满足 3 ? m ? 4 的概率为 5.如图是一个算法流程图,则输出 S 的值为 6.函数 f ( x) ? ( ) ? 4 的定义域为
x



.

▲ ▲ .



1 2

7.已知双曲线 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 2 x ,则该双曲线的焦距为 a 2 20
1 ? , ? ? (0, ) ,则 tan 2? ? 3 2

8.已知 sin ? ?



.

9.已知圆锥的侧面展开图是半径为 4,圆心角等于

? 的扇形,则这个圆锥的体积是 2



10.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2ax ? 2 y ? 2 ? 0(a 为常数)与直线 y ? x 相交于 A, B 两点,若

?ACB ?

?
3

,则实数 a ?



. ▲ .

11、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 3 , S10 ? 40 , 则 nS n 的最小值为 12. 若动直线 x ? t (t ? R) 与函数 f ( x) ? cos (
2

?

? x) ,g ( x) ? 3 sin( ? x) cos( ? x) 的 4 4 4
▲ .

?

?

图象分别交于 P, Q 两点,则线段 PQ 长度的最大值为

13.在 ?ABC 中, D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点, M 是直线 DE 上的动点.若 ?ABC 的 面积为 2,则 MB ? MC ? BC 的最小值为
2



.

?kx 2 ? 2 x ? 1, x ? (0,1] 1 1 14.已知函数 f ( x) ? ? 有两个不相等的零点 x1 , x2 ,则 ? 的最大 x1 x2 ?kx ? 1, x ? (1, ??)
值为 ▲ . 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2 ? c2 ? 2ac ? b2 , sin A ? ⑴求 sin C 的值; ⑵若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

10 . 10

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,CD∥AB,AB=2CD, AC 交 BD 于 O, 锐角 ? PAD 所在平面⊥底面 ABCD,PA⊥BD,点 Q 在侧棱 PC 上,且 PQ=2QC. 求证:⑴PA∥平面 QBD; ⑵BD ? AD.

17. (本小题满分 14 分) 如图是一座桥的截面图,桥的路面由三段曲线构成,曲线 AB 和曲线 DE 分别是顶点在 路面 A 、 E 的抛物线的一部分,曲线 BCD 是圆弧,已知它们在接点 B 、 D 处的切线相同, 若桥的最高点 C 到水平面的距离 H ? 6 米,圆弧的弓高 h ? 1 米,圆弧所对的弦长 BD ? 10 米.

? 所在圆的半径; (1)求弧 BCD
(2)求桥底 AE 的长.

18. (本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆 E :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A(?2, 0) ,且点 ( ?1, ) 在椭圆上, 2 2 a b

F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点。过点 A 作斜率为 k (k ? 0) 的直线交椭圆 E 于另一点 B ,
直线 BF2 交椭圆 E 于点 C . (1)求椭圆 E 的标准方程;

B 的坐标; (2)若 ?CF 1F 2 为等腰三角形,求点
(3)若 FC ? AB ,求 k 的值. 1

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 3x+2) ,其中 a 为参数.
2

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x ) 极值点的个数,并说明理由; (3)若对任意 x ? [1, ??) , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知各项不为零的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 a1 ? 1 ,Sn ? pan an?1 (n ? N? ) ,p ? R . (1)若 a1 , a2 , a3 成等比数列,求实数 p 的值; (2)若 a1 , a2 , a3 成等差数列, ①求数列 {an } 的通项公式;

②在 a n 与 an ?1 间插入 n 个正数,共同组成公比为 q n 的等比数列,若不等式

? qn ?

( n ?1)( n ? a )

? e 对任意的 n ? N? 恒成立,求实数 a 的最大值.

扬州市 2017 届高三考前调研测试 数学Ⅱ(附加题
21.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

共 40 分)

?2 ?2? 2 2 ? ,设曲线 C: ( x ? y) ? y ? 1在矩阵 A 对应的变换下得到曲 0 1 ? ?

线 C′,求 C′的方程.

22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中, 直线 l 和圆 C 的极坐标方程为 ? cos(? ? 若直线 l 与圆 C 有且只有一个公共点,求 a 的值.

?
6

) ? a ( a ? R )和 ? ? 4sin ? .

23.(本小题满分 10 分) 某校举办校园科技文化艺术节,在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》 两场讲座.已知 A、 B 两学习小组各有 5 位同学, 每位同学在两场讲座任意选听一场.若 A 组 1 人选听《生活趣味数学》 ,其余 4 人选听《校园舞蹈赏析》 ;B 组 2 人选听《生活趣味数学》 , 其余 3 人选听《校园舞蹈赏析》. ⑴若从此 10 人中任意选出 3 人,求选出的 3 人中恰有 2 人选听《校园舞蹈赏析》的概率; ⑵若从 A、B 两组中各任选 2 人,设 X 为选出的 4 人中选听《生活趣味数学》的人数,求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .

24. (本小题满分 10 分) 在数列 ?an ? 中, an = cos

?
3? 2
n?2

(n?N )

?

⑴试将 an ?1 表示为 an 的函数关系式; ⑵若数列 ?bn ? 满足 bn = 1 ?

2 ? ( n?N ) ,猜想 an 与 bn 的大小关系,并证明你的结论. n ? n!

扬州市 2017 届高三考前调研测试
数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案
一、填空题 1. ?0,1,2,4? 6. ? ??, ?2? 11. ?32 2.一 3.900 4. 2017.5

1 5

5. 120

7.10 12.

8.

4 2 7

9. 14.

15 ? 3
9 4

10. ?5

3 2

13. 2 3

15. 【解析】⑴由 a2 ? c2 ? 2ac ? b2 得 cos B ? 又 B ? (0,? ) ,所以 B ? 因为 sin A ?

a 2 ? c2 ? b2 2 ?? , 2ac 2
??????3 分

3? , 4

10 3 10 ,且 B 为钝角,所以 cos A ? , 10 10
3? 10 2 3 10 2 5 )? ? (? )? ? ? . 4 10 2 10 2 5

??????6 分

所以 sin C ? sin( A ?

??????8 分

5 a sin C a c 5 ?2 2 = = ⑵由正弦定理得 ,所以 c ? , ??? 11 分 sin A 10 sin A sin C 10 2?
所以 ?ABC 的面积 S?ABC = ac sin B ?

1 2

1 2 ? 2? 2 2 ? ? 2. 2 2

??????14 分

16. 【解析】⑴如图,连接 OQ,
因为 AB∥CD,AB =2 CD, 所以 AO =2OC,又 PQ=2QC,

所以 PA∥OQ,

???????3 分

又 OQ ? 平面 QBD,PA ? 平面 QBD, 所以 PA∥平面 QBD.

??????? 6 分

⑵在平面 PAD 内过 P 作 PH ? AD 于 H,因为侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, PH ? 平面 PAD,所以 PH ? 平面 ABCD, 又 BD ? 平面 ABCD,所以 PH ? BD,又 PA⊥BD, 且 PA 和 PH 是平面 PAD 内的两条相交直线,所以 BD ? 平面 PAD,…………………12 分 ???????9 分

又 AD ? 平面 PAD,所以 BD ? AD. 分

…………………14

? 所在圆的半径为( 17. 解: (1)设弧 BCD ,由题意得 r =5 ? (r ?1) ,? r ? 13. r r ? 0)
2 2 2

? 所在圆的半径为 13 米。 即弧 BCD
? H ? 6 米, BD ? 10 米,弓高 h ? 1 米,

???????4 分

(2)以线段 AE 所在直线为 x 轴,线段 AE 的中垂线为 y 轴,建立如图的平面直角坐标系。

? 所在圆的方程为 x2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) ? B(?5,5) , D(5,5) , C (0, 6) ,设 BCD
则?

?(6 ? b) 2 ? r 2 ?b ? ?7 ? ?? 2 2 2 ? ?r ? 13 ?5 ? (5 ? b) ? r
???????6 分 ???????8 分 ???????10 分

? 的方程为 x2 ? ( y ? 7)2 ? 169(5 ? y ? 6) ? 弧 BCD
设曲线 AB 所在抛物线的方程为: y ? a( x ? m) ,
2

? ? m 2) ? 点 B(?5,5) 在曲线 AB 上 ?5 ? a ( 5

? 与曲线段 AB 在接点 B 处的切线相同,且弧 BCD ? 在点 B 处的切线的斜率为 又弧 BCD
由 y ? a( x ? m) 得 y? ? 2a( x ? m) ,? 2a (?5 ? m) ?
2

5 , 12

5 , 12

? 2a(5 ? m) ? ?

5 ? 12

???????12 分

由??得 m ? ?29 , ? A(?29,0) , E (29, 0)

? 桥底 AE 的长为 58 米
? 所在圆的半径为 13 米; 答: (1)弧 BCD
(2)桥底 AE 的长 58 米。 (答和单位各 1 分)

???????13 分

???????14 分

? ?a ? 2 ?a ? 2 ? ? 2 2 2 18. 解: (1)由题意得 ?a ? b ? c ,解得 ?b ? 3 ?1 ?c ? 1 9 ? ? ? 2 ?1 ? 4 4b

? 椭圆 E 的标准方程:

x2 y 2 ? ?1 4 3

???????4 分

(2)? ?CF 1F 2 为等腰三角形,且 k ? 0 ? 点 C 在 x 轴下方 1° 若 FC ? F2C ,则 C(0, ? 3) ; 1 2° 若 F1F2 ? CF2 ,则 CF2 ? 2 ,?C (0, ? 3) ; 3° 若 FC ? F1F2 ,则 CF1 ? 2 ,?C(0, ? 3) 1

?C(0, ? 3)
8 ? ? y ? 3( x ? 1) x? ? x ? 0 ? 5 ? ? ? 得? 或? ? 直线 BC 的方程 y ? 3( x ?1) ,由 ? x 2 y 2 ?1 ? ?y ? ? 3 ?y ? 3 3 ? ? 3 ?4 ? 5 ?
8 3 3 ? B( , ) 5 5
分 (3)设直线 AB 的方程 lAB : y ? k ( x ? 2) , (不讨论扣 2 分) ???????9

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ?12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
? xA ? xB ? ?2 xB ?
? yB ? k ( xB ? 2) ?

16k 2 ? 12 3 ? 4k 2
12k 3 ? 4k 2

? xB ?

?8k 2 ? 6 3 ? 4k 2

? ?8k 2 ? 6 12k ? ?B? , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4 k ?
1 2

???????11 分

AB 不垂直; ( 1, ) ? kCF1 ? ? , 若 k= , 则? B ,? C (1, - ) ,? F,1 (-1,0), ? FC 1 与

3 2

3 2

3 4

1 4k 1 ?k ? , , kCF1 ? ? , ? F2 (1,0) , k BF2 ? 2 2 1 ? 4k k

? 直线 BF2 的方程 lBF2 : y ?

4k 1 ( x ? 1) ,直线 CF1 的方程: lCF1 : y ? ? ( x ? 1) 2 1 ? 4k k



4k ? y? ( x ? 1) ? ? 1 ? 4k 2 ? ? y ? ? 1 ( x ? 1) ? k ?





? x ? 8k 2 ? 1 ? ? y ? ?8k

?C(8k 2 ?1, ?8k )
又点 C 在椭圆上得

???????13 分

1 (8k 2 ? 1) 2 (?8k ) 2 ? ? 1 ,即 (24k 2 ?1)(8k 2 ? 9) ? 0 ,即 k 2 ? 24 4 3
???????16

? k ? 0 ,? k ?


6 12

19. 解析: (1) y ? x ? 1 分 (2) f ( x) ? ln x ? a( x ? 3x+2) ,定义域为 (0, ??)
2

???????3

f ?( x) ?

1 2ax 2 ? 3ax ? 1 ? a(2 x ? 3) ? ,设 g ( x) ? 2ax2 ? 3ax ? 1 , x x

① 当 a ? 0 时, g ( x) ? 1 ,故 f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数,所以无极值点. 分
2 ②当 a ? 0 时, ? ? 9a ? 8a ,

???????4

若0 ? a ? 点. 若a ?

8 时 ? ? 0 , g ( x) ? 0 ,故 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ??) 上递增,所以无极值 9

8 时 ? ? 0 ,设 g ( x) ? 0 的两个不相等的实数根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 9

且 x1 ? x2 ?

3 3 ,而 g (0) ? 1 ? 0 ,则 0 ? x1 ? ? x2 , 2 4

所以当 x ? (0, x1 ), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增; 当 x ? ( x1 , x2 ), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减; 当 x ? ( x2 , ??), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增. 所以此时函数 f ( x) 有两个极值点; 分 ③当 a ? 0 时 ? ? 0 ,设 g ( x) ? 0 的两个不相等的实数根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 但 g (0) ? 1 ? 0 ,所以 x1 ? 0 ? x2 , 所以当 x ? (0, x2 ), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递増; 当 x ? ( x2 , ??), g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减. 所以此时函数 f ( x) 只有一个极值点。 综上得: 当 a ? 0 时 f ( x ) 有一个极值点; 当0 ? a ? 当a ? 分 (3)方法一: 当0 ? a ? ???????7

8 时 f ( x ) 的无极值点; 9
???????9

8 时, f ( x ) 的有两个极值点. 9

8 时,由(2)知 f ( x ) 在 [1, ??) 上递增, 9
???????10

所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,符合题意; 分 当

8 ? a ? 1 时, g (1) ? 1 ? a ? 0, x2 ? 1, f ( x) 在 [1, ??) 上递增,所以 f ( x) ? f (1) ? 0 , 9
符合题意; ???????12 分 所 以 函 数 f ( x ) 在 (1, x2 ) 上 递 减 , 所 以 1 ?a ? 0 x, ? ,1 2

当 a ? 1 时 , g( 1 ) ?

f ( x)? f ( 1 ?) ,0
不符合题意; ???????14 分

n x? x? 1 ,于是 f ( x) ? ln x ? a( x2 ? 3x+2) ? x ?1 ? a( x2 ? 3x+2) 当 a ? 0 时, 由 (1) 知l
当 x ? 2?

1 2 时, x ? 1 ? a( x ? 3x+2) ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 ,不符合题意. a
???????16 分

综上所述,a 的取值范围是 0 ? a ? 1 .

方法二: g ( x) ? 2ax2 ? 3ax ? 1 ,注意到对称轴为 x ?

3 , g (1) ? 1 ? a , 4

当 0 ? a ? 1 时,可得 g ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 [1, ??) 上递增,所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,符合题 意; 当 a ? 1 时 , g( 1 ) ? 所 以 函 数 f ( x ) 在 (1, x2 ) 上 递 减 , 此 时 1 ?a ? 0 x, ? ,1 2

f ( x)? f ( 1 ?) ,0
不符合题意;

n x? x? 1 ,于是 f ( x) ? ln x ? a( x2 ? 3x+2) ? x ?1 ? a( x2 ? 3x+2) 当 a ? 0 时, 由 (1) 知l
当 x ? 2?

1 时, x ? 1 ? a( x2 ? 3x+2) ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 ,不符合题意. a
???????16 分
a ? a2 1 1 ?1? , , 当 n ? 2 时,a1 ? a2 ? pa2 a3 ,a3 ? 1 p pa2 p

综上所述, a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . 20. 解: (1) 当 n ? 1 时,a1 ? pa1a2 ,a2 ?
2 由 a2 ? a1a3 得

1 1 ?1 ? 5 ? 1 ? ,即 p 2 ? p ? 1 ? 0 ,解得: p ? 。 2 p p 2

???????3

分 (2)由 2a2 ? a1 ? a3 得 p ?

1 1 ,故 a2 ? 2 , a3 ? 3 ,所以 Sn ? an an?1 , 2 2

1 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? an an?1 ? an?1an , 2 2
因为 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ?1 ? 2 分 故数列 {an } 的所有奇数项组成以 1 为首项 2 为公差的等差数列, 其通项公式 an ? 1 ? ( 分 同理,数列 {an } 的所有偶数项组成以 2 为首项 2 为公差的等差数列, ???????6

n ?1 ? 1) ? 2 ? n , 2

???????7

n 其通项公式是 an ? 2 ? ( ? 1) ? 2 ? n 2
分 所以数列 {an } 的通项公式是 an ? n 分

???????8

???????9

n ?1 (3) an ? n ,在 n 与 n ? 1 间插入 n 个正数,组成公比为 q n 的等比数列,故有 n ? 1 ? nqn ,

即 qn ? (

n ? 1 n1 ) ?1 , n

???????10

分 所以 ? qn ?
( n ?1)( n ? a )

? e ,即 (

n ? 1 n?a n ?1 ) ? e ,两边取对数得 (n ? a ) ln( ) ? 1, n n
???????11

分离参数得 a ?

1 ? n 恒成立 n ?1 ln( ) n

分 令 分

1 1 n ?1 , x ? (1, 2] , ? ? x , x ? (1, 2] ,则 a ? n ln x x ? 1

???????12

( x ? 1) 2 1 1 x , 令 f ( x) ? , x ? (1, 2] ,则 f '( x ) ? ? ln x x ? 1 (ln x) 2 ( x ? 1) 2 (ln x) 2 ?
下证 ln x ?

x ?1 , x ? (1, 2] , x
1 ( x ? 1)2 ? 2 ln x, x ? (1, ??) , 则 g?( x) ? ? 0 ,所以 g( x) ? 0 , x x2

令 g( x) ? x ?

即 2 ln x ? x ? 分

1 x ?1 ,用 x 替代 x 可得 ln x ? , x ? (1, 2] , x x

???????14

( x ? 1) 2 x ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, 2] 上递减, 所以 f '( x) ? 2 (ln x) ( x ? 1) 2 (ln x) 2 ?
所以 a ? f (2) ? 分

1 ?1 ln 2

???????16

扬州市 2017 届高三考前调研测试
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21. 【解析】 设 P( x0 , y0 ) 为曲线 C 上任意一点, 点 P 在矩阵 A 对应的变换下得到点 Q( x, y ) , 则 :

? x ? ? 2 ?2? ? x0 ? ? y ? ? ?0 1 ? ? y ? ? ? ? ?? 0?





? x ? 2 x0 ? 2 y0 ? ? y ? y0







x ? ? x0 ? ? y , 2 ? ? y ? ? 0 y

??????5 分

(注:用逆矩阵的方式求解同样给分) 又 ( x0 ? y0 )2 ? y02 ? 4 ,∴ ( ? y ? y ) 2 ? y 2 ? 1 ,即 ∴ 曲 线 C′ 的

x 2

x2 ? y 2 ? 1, 4
方 程 为

x2 ? y 2 ? 1. 4

??????10 分

22. 【解析】将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程得 3x ? y ? 2a ? 0 ; ?????? 2分 将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程得 x ? ( y ? 2) ? 4 .
2 2

??????

4分

因为直线与圆有且只有一个公共点,所以 d ? r ,即 d ? 8分 解 得

| ?2 ? 2a | =r ? 2 2
a= ? 3

??????

或 ??????10 分

a =1.

23.【解析】⑴设“选出的 3 人中恰 2 人选听《校园舞蹈赏析》 ”为事件 M , 则 P( M ) ?
2 1 C7 C3 21 ? , 3 C10 40

答:选出的 3 人中恰 2 人选听《校园舞蹈赏析》的概率为 3分 ⑵ X 可能的取值为 0,1, 2,3 ,

21 . 40

??????

P( X ? 0)= P( X ? 3) ?

1 1 2 2 1 1 2 2 C1 C4C3 ? C4 C2C3 12 C4 C3 9 P ( X ? 1) ? ? , , ? 2 2 2 2 C5 C5 25 C5 C5 50
1 1 2 3 C1 C4C2 1 ,故 P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P ( X ? 3) ? . ? 2 2 10 C5 C5 25

所以 X 的分布列为: X 0 1 2 3

P

9 50

12 25

3 10

1 25
?????

?8 分 所 以

X











E( X ? ?

9 ) ? ? 5

1 ? ?0 ? ? 0

2 ? . 1 2

5

2 ?????? 10 分 1
2

3

1 0

3

6 2

5

24.【解析】 (1) an = cos

?
3 ? 2n ?2

= cos

2? ? ? ? = = 2 ? cos ? ?1 n ?1 3? 2 3 ? 2n?1 ? ?

? an ? 2an?12 ?1 ? an?1 = ?
?

an +1 2 an +1 2
??????3 分

又 n ? N , n+1 ? 2 , an?1 >0 ? an ?1 = ⑵当 n=1 时, a1 ? ?

1 , b1 ? 1 ? 2 ? ?1 ,? a1 ? b1 2

当 n=2 时, a2 ? 当 n=3 时, a3 ?

1 1 1 , b2 ? 1 ? ? ,? a2 ? b2 2 2 2

1 8 3 , b3 ? 1 ? ? ,? a3 ? b3 9 9 2

??????4 分 ??????5 分

猜想:当 n ? 3 时, an ? bn , 下面用数学归纳法证明: 证:①当 n=3 时,由上知, a3 ? b3 ,结论成立。
? ②假设 n=k, k ? 3,n ? N 时, ak ? bk 成立,即 ak < 1 ?

2 k ?k !

ak ? 1 < 则当 n=k+1, ak ?1 ? 2

2?

2 2 k ?k ! = 1 ? 1 , b = 1 ? k+1 2 k ?k ! ? k ? 1??? k ? 1?!
2 2

? ? 1 ? ? 2 要证 ak ?1 ? bk ?1 ,即证明 ? 1 ? < 1 ? ? ? ? ? ? k ?k ! ? ? k ? 1?! ? ? ? ? ? k ? 1?? ? ? ? 1 4 2 即证明 1 ? <1?? ? k ?k ! ? k ? 1??? k ? 1?! ? ? k ? 1?! ? ? ? k ? 1?? ? ? ? 1 4 2 即证明 ?? ? ? ?0 k ?k ! ? k ? 1?? k ? 1 ? k ? 1 ! ? k ? 1?! ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k ? 1? 2 即证明 ?? ? k ? k ? 1?? ? k ? 1?! ? ? k ? 1?! ? ? ? k ? 1?? ?
2 2 2 2

? 0 ,显然成立。

∴ n ? k ? 1 时,结论也成立. 综合①②可知:当 n ? 3 时, an ? bn 成立。 综上可得:当 n=1 时, a1 ? b1 ;当 n=2 时, a2 ? b2 当 n ? 3 , n ? N 时, an ? bn
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??????10 分


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