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高中数学选修4-5 北师大版 含有绝对值的不等式的证明 教案


选修 4_5 课 题: 第 03 课时 一、引入: 不等式选讲 含有绝对值的不等式的证明 证明一个含有绝对值的不等式成立, 除了要应用一般不等式的基本性质之外, 经常还要 用到关于绝对值的和、差、积、商的性质: (1) a ? b ? a ? b (3) a ? b ? a ? b (2) a ? b ? a ? b (4) a b ? a (b ? 0) b 请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理? 实际上,性质 a ? b ? a ? b 和 a b ? a (b ? 0) 可以从正负数和零的乘法、除法法则直 b 接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明 a ? b ? a ? b 对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题:设 a 为实数, a 和 a 哪个大? 显然 a ? a ,当且仅当 a ? 0 时等号成立(即在 a ? 0 时,等号成立。在 a ? 0 时,等 号不成立) 。同样, a ? ?a. 当且仅当 a ? 0 时,等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中,常常利用 a ? ?a 、 a ? ?a 及绝对值的和的性质。 二、典型例题: 例 1、证明 (1) a ? b ? a ? b , (2) a ? b ? a ? b 。 证明(1)如果 a ? b ? 0, 那么 a ? b ? a ? b. 所以 a ? b ? a ? b ? a ? b . 如 果 a ? b ? 0, 那 么 a ? b ? ?(a ? b). 所 以 a ? b ? ?a ? (?b) ? ?(a ? b) ? a ? b (2)根据(1)的结果,有 a ? b ? ? b ? a ? b ? b ,就是, a ? b ? b ? a 。 所以, a ? b ? a ? b 。 例 2、证明 a ? b ? a ? b ? a ? b 。 例 3、证明 a ? b ? a ? c ? b ? c 。 [] 思考:如何利用数轴给出例 3 的几何解释? (设 A,B,C 为数轴上的 3 个点,分别表示数 a,b,c,则线段 AB ? AC ? CB. 当且 仅当 C 在 A,B 之间时,等号成立。这就是上面的例 3。特别的,取 c=0(即 C 为原点) , 就得到例 2 的后半部分。 ) 探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式 a ? b ? a ? b 的几何解释? 含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例 1,例 2 和 例 3 的结果来证明。 例 4、已知 x ? a ? c c , y ? b ? ,求证 ( x ? y) ? (a ? b) ? c. 2 2 ? x ?a ? y ?b (1) 证明 ( x ? y) ? (a ? b) ? ( x ? a) ? ( y ? b) ? x?a ? c c , y ?b ? , 2 2 c c ? ?c 2 2 (2) ∴ x?a ? y ?b ? 由(1) , (2)得: ( x ? y) ? (a ? b) ? c 例 5、已知 x ? a a , y ? . 求证: 2x ? 3 y ? a 。 4 6 a a a a , y ? ,∴ 2 x ? , 3 y ? , 4 6 2 2 a a ? ? a。 2 2 证明 ? x ? 由例 1 及上式, 2 x ? 3 y ? 2 x ? 3 y

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