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双曲线专题复习讲义(学生)


双 曲 线
★知识梳理★

1. 双曲线的定义 (1)第一定义:当 || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ?| F1F2 | 时, P 的轨迹为双曲线; 当 || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ?| F1F2 | 时, P 的轨迹不存在; 当 | PF 1 ? PF 2 |? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹为以 F1、F2 为端点的两条射线 (2)双曲线的第二义 平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常数 e ( e ? 1 )的点的轨迹为双曲 线 2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(c,0), (?c,0) ,

y2 x2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(0, c), (0,?c)

焦点 性 质 焦距 范围 顶点 对称性 离心率 准线

2c
| x |? a, y ? R
(a,0), (?a,0)
关于 x 轴、y 轴和原点对称

| y |? a, x ? R
(0,?a), (0, a)
e? c ? (1, ??) a

渐近线

a2 c b y?? x a x??

a2 c a y?? x b y??

与双曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共渐近线的双曲线系方程为: ? ? ? (? ? 0) a2 b2 a2 b2 y 2 x2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 共轭的双曲线为 a2 b2 b2 a 2

与双曲线

等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? ? a 2 的渐近线方程为 y ? ? x ,离心率为 e ? 2 .;

★基础巩固训练★

1. 以椭圆

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1的右焦点为圆心,且与双曲线 ? ? 1 的渐近线相切的圆的方程是 169 144 9 16
2 2

(A) x ? y ? 10 x ? 9 ? 0

(B) x ? y ? 10 x ? 9 ? 0
2 2

(C) x ? y ? 10 x ? 9 ? 0
2 2

(D) x ? y ? 10 x ? 9 ? 0
2 2

2.已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 10 , 0) 、 F2 ( 10 , 0) , M 是此双曲线上的一点,且满足 ???? ? ????? ???? ? ????? ( ) MF1 ? MF2 ? 0 , | MF1 | ? | MF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是 A.

x2 ? y2 ? 1 9

B. x 2 ?

y2 ?1 9

C.

x2 y 2 ? ?1 3 7

D.

x2 y 2 ? ?1 7 3

3.两个正数 a、b 的等差中项是 为( A. )

9 x2 y2 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率 a b 2

41 5 D. 5 4 4.设 e1 , e 2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 为两曲线的一个公共点,且

5 3

B.

41 4

C.

满足 PF1 ? PF2 ? 0 ,则 A.

2 e12 ? e2 的值为( C (e1e2 ) 2

)

1 2

B.1

C.2

D.不确定

5.已知 F1,F2 分别是双曲线 (A). (1 ? 6.曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与 a2 b2
(C). (1, 3 ) (D). ( 3,2 2 ) ( )

双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( )

2 ,??)

(B). (1,1 ? 2 )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? n ? 9) 的 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n
B.焦点相同 C.离心率相等 D.以上都不对

A.焦距相等

★综合提高训练★

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 有公共的焦点. 7. 已知椭圆 和双曲线 2m 2 3n 2 3m 2 5n 2
(1)求双曲线的渐近线方程 (2)直线 l 过焦点且垂直于 x 轴,若直线 l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为 的方程

3 ,求双曲线 4

8.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左, 右焦点,点 P?x, y ? 是双曲线右支上的一个动点,且 PF1 的 a2 b2

最小值为 8 ,双曲线的一条渐近线方程为 y ?

4 x . 求双曲线的方程; 3

9.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ? 2, 0 ? ,右顶点为 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程

?

3, 0 .
??? ? ??? ?

?

(Ⅱ) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA ? OB ? 2(其中 O 为原点) , 求 k 的取值范围


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