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2016年全国统一高考数学试卷(新课标1)(理科)及讲解


2016 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷 ( 新 课 标 Ⅰ) (理科)
一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只有一项是符合题目要求的. 1. ( 5 分 ) 设 集 合 A={x |x ﹣ 4x+3 < 0} , B={x |2x ﹣ 3 > 0} , 则 A ∩ B= ( A. ( ﹣ 3, ﹣ ) B. ( ﹣ 3, ) C. ( 1, ) D. ( , 3)
2



2. ( 5 分 ) 设 ( 1+ i ) x =1+ yi , 其 中 x , y 是 实 数 , 则 |x+ yi|= ( ) A. 1 B. C. D. 2 3. ( 5 分 ) 已 知 等 差 数 列 {a n } 前 9 项 的 和 为 2 7 , a 1 0 =8 , 则 a 1 0 0 = ( ) A . 100 B . 99 C . 98 D . 97 4. ( 5 分 ) 某 公 司 的 班 车 在 7 : 00 , 8 : 0 0 , 8 : 3 0 发 车 , 小 明 在 7 : 5 0 至 8 : 30 之 间 到 达 发 车 站 乘 坐 班 车 , 且 到 达 发 车 站 的 时 刻 是 随 机 的 , 则 他 等 车 时 间 不 超 过 10 分 钟 的 概 率 是 ( ) A. B. C. D.

5. (5 分)已知方程



=1 表 示 双 曲 线 , 且 该 双 曲 线 两 焦 点 间 的

距 离 为 4, 则 n 的 取 值 范 围 是 ( ) A. ( ﹣ 1, 3) B. ( ﹣ 1, ) C. ( 0, 3) D. ( 0, ) 6. (5 分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相 互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( )

A . 17 π B . 18 π C . 20 π D . 28 π 7. ( 5 分 ) 函 数 y=2x ﹣ e
2 |x|

在 [﹣ 2, 2]的 图 象 大 致 为 (



第 1 页(共 55 页)

A.

B.

C.

D. 8. ( 5 分 ) 若 a> b> 1, 0< c< 1, 则 ( ) c c c c A . a < b B . ab < ba C . alog b c < b log a c D . log a c < log b c 9. ( 5 分 ) 执 行 如 图 的 程 序 框 图 , 如 果 输 入 的 x=0 , y=1 , n=1 , 则 输 出 x , y 的值满足( )

A . y=2x B . y=3x C . y=4x D . y=5x 10 . ( 5 分 )以 抛 物 线 C 的 顶 点 为 圆 心 的 圆 交 C 于 A、B 两 点 ,交 C 的 准 线 于 D 、 E 两 点 .已 知 |AB |= 4 , |DE |= 2 ,则 C 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 11 . ( 5 分 )平 面 α 过 正 方 体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 的 顶 点 A ,α ∥平 面 CB 1 D 1 ,α∩ 平 面 ABCD=m , α∩ 平 面 ABA 1 B 1 =n , 则 m 、 n 所 成 角 的 正 弦 值 为 ( ) A. B. C. D.

第 2 页(共 55 页)

12 . ( 5 分 )已 知 函 数 f( x ) =sin( ω x+ φ ) ( ω > 0, |φ |≤ 的 零 点 , x= 为 y=f ( x ) 图 象 的 对 称 轴 , 且 f ( x ) 在 (

) , x= ﹣ ,

为 f( x ) )单 调 ,则

ω 的最大值为( ) A . 11 B . 9 C . 7 D . 5 二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 25 分 . 13 . (5 分) 设向量 = ( m, 1) ,= ( 1, 2) , 且 | + | =| | +| | , 则 m= 14 . (5 分) ( 2x+ 答案) ) 的 展 开 式 中 ,x 的 系 数 是
5 3 2 2 2

. . (用数字填写

15 . ( 5 分 ) 设 等 比 数 列 {a n } 满 足 a 1 +a 3 =10 , a 2 +a 4 =5 , 则 a 1 a 2 … a n 的 最 大 值 为 . 16 . ( 5 分 )某 高 科 技 企 业 生 产 产 品 A 和 产 品 B 需 要 甲 、乙 两 种 新 型 材 料 .生 产 一 件 产 品 A 需 要 甲 材 料 1.5kg , 乙 材 料 1k g , 用 5 个 工 时 ; 生 产 一 件 产 品 B 需 要 甲 材 料 0.5kg , 乙 材 料 0.3kg , 用 3 个工时, 生 产 一 件 产 品 A 的 利 润 为 2100 元, 生 产 一 件 产 品 B 的 利 润 为 900 元 . 该 企 业 现 有 甲 材 料 150kg , 乙 材 料 90kg , 则 在 不 超 过 600 个 工 时 的 条 件 下 , 生 产 产 品 A 、 产 品 B 的 利 润 之 和 的 最 大 值 为 元. 三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 满 分 60 分 , 解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或演算步骤. 17 . ( 12 分 ) △ ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 已 知 2cosC ( acosB+bcosA ) =c . ( Ⅰ) 求 C ; ( Ⅱ) 若 c= , △ ABC 的 面 积 为 , 求 △ ABC 的 周 长 .

18 . ( 12 分 ) 如 图 , 在 以 A , B , C , D , E , F 为 顶 点 的 五 面 体 中 , 面 ABEF 为 正 方 形 , A F=2 FD , ∠ AFD=90 °, 且 二 面 角 D ﹣ AF ﹣ E 与 二 面 角 C ﹣ BE ﹣ F 都 是 60 °. ( Ⅰ) 证 明 平 面 ABE F ⊥平 面 E FDC ; ( Ⅱ) 求 二 面 角 E ﹣ B C ﹣ A 的 余 弦 值 .

19 . ( 12 分 ) 某 公 司 计 划 购 买 2 台 机 器 , 该 种 机 器 使 用 三 年 后 即 被 淘 汰 . 机 器 有 一 易 损 零 件 ,在 购 进 机 器 时 ,可 以 额 外 购 买 这 种 零 件 作 为 备 件 ,每 个 200 元 . 在 机 器 使 用 期 间 , 如 果 备 件 不 足 再 购 买 , 则 每 个 500 元 . 现 需 决 策 在 购 买 机 器 时 应 同 时 购 买 几 个 易 损 零 件 , 为 此 搜 集 并 整 理 了 100 台 这 种 机 器 在 三 年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:

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以 这 100 台 机 器 更 换 的 易 损 零 件 数 的 频 率 代 替 1 台 机 器 更 换 的 易 损 零 件 数 发 生的概率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. ( Ⅰ) 求 X 的 分 布 列 ; ( Ⅱ) 若 要 求 P ( X ≤ n ) ≥ 0.5 , 确 定 n 的 最 小 值 ; ( Ⅲ) 以 购 买 易 损 零 件 所 需 费 用 的 期 望 值 为 决 策 依 据 , 在 n=19 与 n=20 之 中 选其一,应选用哪个?

20 . ( 12 分 ) 设 圆 x + y +2x ﹣ 15=0 的 圆 心 为 A , 直 线 l 过 点 B( 1 , 0 ) 且 与 x 轴 不 重 合 , l 交 圆 A 于 C , D 两 点 , 过 B 作 AC 的 平 行 线 交 AD 于 点 E . ( Ⅰ) 证 明 |EA |+ |EB | 为 定 值 , 并 写 出 点 E 的 轨 迹 方 程 ; ( Ⅱ)设 点 E 的 轨 迹 为 曲 线 C 1 ,直 线 l 交 C 1 于 M , N 两 点 ,过 B 且 与 l 垂 直 的 直 线 与 圆 A 交 于 P , Q 两 点 , 求 四 边 形 MP NQ 面 积 的 取 值 范 围 . 21 . ( 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ( x ﹣ 2 ) e +a ( x ﹣ 1 ) 有 两 个 零 点 . ( Ⅰ) 求 a 的 取 值 范 围 ; ( Ⅱ) 设 x 1 , x 2 是 f ( x ) 的 两 个 零 点 , 证 明 : x 1 +x 2 < 2 . 请 考 生 在 22 、 23 、 24 题 中 任 选 一 题 作 答 , 如果多做, 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 .[ 选 修 4-1 : 几 何 证 明 选 讲 ] 22 . ( 10 分 ) 如 图 , △ OAB 是 等 腰 三 角 形 , ∠ AOB=120 °. 以 O 为 圆 心 , 为半径作圆. ( Ⅰ) 证 明 : 直 线 AB 与 ⊙ O 相 切 ; ( Ⅱ) 点 C , D 在 ⊙ O 上 , 且 A , B , C , D 四 点 共 圆 , 证 明 : AB ∥ CD . OA
x 2

2

2

[ 选 修 4-4 : 坐 标 系 与 参 数 方 程 ] 23 . 在 直 线 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C 1 的 参 数 方 程 为 (t 为参数,a

> 0) . 在 以 坐 标 原 点 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C2: ρ =4cos θ .
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( Ⅰ) 说 明 C 1 是 哪 一 种 曲 线 , 并 将 C 1 的 方 程 化 为 极 坐 标 方 程 ; ( Ⅱ) 直 线 C 3 的 极 坐 标 方 程 为 θ = α 0 , 其 中 α 0 满 足 tan α 0 =2 , 若 曲 线 C 1 与 C 2 的 公 共 点 都 在 C3 上 , 求 a. [ 选 修 4-5 : 不 等 式 选 讲 ] 24 . 已 知 函 数 f ( x ) = |x+1 | ﹣ |2x ﹣ 3 | . ( Ⅰ) 在 图 中 画 出 y=f ( x ) 的 图 象 ; ( Ⅱ) 求 不 等 式 |f ( x ) | > 1 的 解 集 .

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2016 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷 ( 新 课 标 Ⅰ) (理科)
参考答案与试题解析

一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只有一项是符合题目要求的. 1. ( 5 分 ) 设 集 合 A={x |x ﹣ 4x+3 < 0} , B={x |2x ﹣ 3 > 0} , 则 A ∩ B= ( A. ( ﹣ 3, ﹣ ) B. ( ﹣ 3,
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2



) C. ( 1,

) D. (

, 3)

【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;定义法;集合. 【 分 析 】 解 不 等 式 求 出 集 合 A, B, 结 合 交 集 的 定 义 , 可 得 答 案 . 【 解 答 】 解 : ∵集 合 A={x|x ﹣ 4x+3 < 0}= ( 1 , 3 ) , B={x |2x ﹣ 3 > 0 }= ( ∴ A ∩ B= ( , 3) , , +∞) ,
2

故选:D 【 点 评 】本 题 考 查 的 知 识 点 是 集 合 的 交 集 及 其 运 算 ,难 度 不 大 ,属 于 基 础 题 . 2. ( 5 分 ) 设 ( 1+ i ) x =1+ yi , 其 中 x , y 是 实 数 , 则 |x+ yi|= ( ) A. 1 B. C. D. 2 【考点】复数求模. 【专题】方程思想;定义法;数系的扩充和复数. 【 分 析 】 根 据 复 数 相 等 求 出 x, y 的 值 , 结 合 复 数 的 模 长 公 式 进 行 计 算 即 可 . 【 解 答 】 解 : ∵( 1+i ) x=1+ yi ,
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,解得

, 即 |x+ yi|= |1 +i|=



故 选 : B. 【 点 评 】本 题 主 要 考 查 复 数 模 长 的 计 算 ,根 据 复 数 相 等 求 出 x , y 的 值 是 解 决 本题的关键. 3. ( 5 分 ) 已 知 等 差 数 列 {a n } 前 9 项 的 和 为 2 7 , a 1 0 =8 , 则 a 1 0 0 = ( A . 100 B . 99 C . 98 D . 97 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;定义法;等差数列与等比数列. 【 分 析 】 根 据 已 知 可 得 a 5 =3 , 进 而 求 出 公 差 , 可 得 答 案 . 【 解 答 】 解 : ∵等 差 数 列 {a n } 前 9 项 的 和 为 27 , ∴ 9a 5 =27 , a 5 =3 , 又 ∵ a 1 0 =8 , ∴ d=1 , ∴ a 1 0 0 =a 5 +95d=98 , 故选:C
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【点评】本题考查的知识点是数列的性质,熟练掌握等差数列的性质,是解 答的关键. 4. ( 5 分 ) 某 公 司 的 班 车 在 7 : 00 , 8 : 0 0 , 8 : 3 0 发 车 , 小 明 在 7 : 5 0 至 8 : 30 之 间 到 达 发 车 站 乘 坐 班 车 , 且 到 达 发 车 站 的 时 刻 是 随 机 的 , 则 他 等 车 时 间 不 超 过 10 分 钟 的 概 率 是 ( ) A. B. C. D.
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【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【 分 析 】求 出 小 明 等 车 时 间 不 超 过 10 分 钟 的 时 间 长 度 ,代 入 几 何 概 型 概 率 计 算公式,可得答案. 【 解 答 】 解 : 设 小 明 到 达 时 间 为 y, 当 y 在 7 : 50 至 8 : 00 , 或 8 : 20 至 8 : 3 0 时 , 小 明 等 车 时 间 不 超 过 10 分 钟 , 故 P= = ,

故选:B 【点评】本题考查的知识点是几何概型,难度不大,属于基础题.

5. (5 分)已知方程



=1 表 示 双 曲 线 , 且 该 双 曲 线 两 焦 点 间 的

距 离 为 4, 则 n 的 取 值 范 围 是 ( ) A. ( ﹣ 1, 3) B. ( ﹣ 1, ) C. ( 0, 3) D. ( 0, ) 【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题;转化思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【 分 析 】由 已 知 可 得 c =2 ,利 用 4= ( m +n )+ ( 3m ﹣ n ) ,解 得 m =1 ,又( m +n ) 2 ( 3m ﹣ n) > 0, 从 而 可 求 n 的 取 值 范 围 . 【 解 答 】 解 : ∵双 曲 线 两 焦 点 间 的 距 离 为 4 , ∴ c=2 , 可 得 : 4= ( m +n ) + ( 3m ﹣ n ) , 解 得 : m =1 , ∵方 程
2 2 2 2

2

2

2

2


2

=1 表 示 双 曲 线 ,

∴( m +n ) ( 3m ﹣ n) > 0, 可 得 : ( n+1 ) ( 3﹣ n) > 0, 解 得 : ﹣ 1< n< 3, 即 n 的 取 值 范 围 是 : ( ﹣ 1, 3) . 故 选 : A. 【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用,考查了不等式的解法,属于基 础题. 6. (5 分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相 互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( )

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A . 17 π B . 18 π C . 20 π D . 28 π 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;空间位置关系与距离. 【分析】判断三视图复原的几何体的形状,利用体积求出几何体的半径,然 后求解几何体的表面积.
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【解答】解:由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉 如图: 可得: 它的表面积是: 故 选 : A. = , R=2 .
2

后的几何体,

× 4 π? 2 +

=17 π .

【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积,考查计算能力以及空 间想象能力. 7. ( 5 分 ) 函 数 y=2x ﹣ e
2 |x|

在 [﹣ 2, 2]的 图 象 大 致 为 (



A.

B.

C.

D.
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【考点】函数的图象. 【专题】图表型;分析法;函数的性质及应用. 【分析】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性,最大值及单调性, 利用排除法,可得答案. 2 |x| 【 解 答 】 解 : ∵ f ( x ) = y=2x ﹣ e , 2 |﹣ x| 2 |x| ∴ f ( ﹣ x ) =2 ( ﹣ x ) ﹣ e =2x ﹣ e , 故函数为偶函数,
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当 x= ± 2 时 , y=8 ﹣ e ∈ ( 0 , 1 ) , 故 排 除 A, B; 2 x 当 x ∈ [0 , 2 ] 时 , f ( x ) = y=2x ﹣ e , x ∴ f ′ ( x ) =4x ﹣ e =0 有 解 , 2 |x| 故 函 数 y=2 x ﹣ e 在 [0 , 2 ] 不 是 单 调 的 , 故 排 除 C , 故选:D 【点评】本题考查的知识点是函数的图象,对于超越函数的图象,一般采用 排除法解答. 8. ( 5 分 ) 若 a> b> 1, 0< c< 1, 则 (
c c c c

2



A . a < b B . ab < ba C . alog b c < b log a c D . log a c < log b c 【考点】不等式比较大小;对数值大小的比较. 【专题】函数思想;转化思想;转化法;函数的性质及应用;不等式. 【 分 析 】 根 据 已 知 中 a> b> 1, 0< c< 1, 结 合 对 数 函 数 和 幂 函 数 的 单 调 性 , 分析各个结论的真假,可得答案. 【 解 答 】 解 : ∵a> b> 1, 0< c< 1, c c c ∴函 数 f ( x ) =x 在 ( 0 , + ∞ ) 上 为 增 函 数 , 故 a > b , 故 A 错 误 ; c﹣ 1 c﹣ 1 c﹣ 1 c c 函 数 f ( x ) =x 在 ( 0, +∞) 上 为 减 函 数 , 故 a <b , 故 ba < ab , 即 c c ab > ba ; 故 B 错 误 ;
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log a c < 0 ,且 log b c < 0 , log a b < 1 , 即 D 错误;

=

< 1 , 即 log a c > log b c .故

0 < ﹣ log a c < ﹣ lo g b c , 故 ﹣ blog a c < ﹣ alog b c , 即 b log a c > alog b c , 即 alog b c < blog a c , 故 C 正 确 ; 故选:C 【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小,熟练掌握对数函数和幂函 数的单调性,是解答的关键. 9. ( 5 分 ) 执 行 如 图 的 程 序 框 图 , 如 果 输 入 的 x=0 , y=1 , n=1 , 则 输 出 x , y 的值满足( )

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A . y=2x B . y=3x C . y=4x D . y=5x 【考点】程序框图. 【专题】计算题;操作型;算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输 出 变 量 x, y 的 值 , 模 拟 程 序 的 运 行 过 程 , 分 析 循 环 中 各 变 量 值 的 变 化 情 况 , 可得答案. 【 解 答 】 解 : 输 入 x=0 , y=1 , n=1 , 2 2 则 x=0 , y=1 , 不 满 足 x + y ≥ 36 , 故 n=2 ,
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则 x= 则 x=

, y=2 , 不 满 足 x +y ≥ 36 , 故 n=3 , , y=6 , 满 足 x +y ≥ 36 ,
2 2

2

2

故 y=4x , 故选:C 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时, 常采用模拟循环的方法解答. 10 . ( 5 分 )以 抛 物 线 C 的 顶 点 为 圆 心 的 圆 交 C 于 A、B 两 点 ,交 C 的 准 线 于 D 、 E 两 点 .已 知 |AB |= 4 , |DE |= 2 ,则 C 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【考点】圆与圆锥曲线的综合;抛物线的简单性质. 【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与 方程. 【分析】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程 求解即可. 2 【 解 答 】 解 : 设 抛 物 线 为 y =2px , 如 图 : |AB|=4 , |AM|=2 ,
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|DE |=2

, |DN |=

, |ON |=



x A=

=


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|OD |= |OA | , = +5 ,

解 得 : p=4 . C 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 : 4. 故 选 : B.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线与圆的方程的应用,考 查计算能力.转化思想的应用. 11 . ( 5 分 )平 面 α 过 正 方 体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 的 顶 点 A ,α ∥平 面 CB 1 D 1 ,α∩ 平 面 ABCD=m , α∩ 平 面 ABA 1 B 1 =n , 则 m 、 n 所 成 角 的 正 弦 值 为 ( ) A. B. C. D.
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【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;空间角. 【 分 析 】 画 出 图 形 , 判 断 出 m、 n 所 成 角 , 求 解 即 可 . 【 解 答 】解 :如 图 :α ∥平 面 CB 1 D 1 ,α∩ 平 面 ABCD=m ,α∩ 平 面 ABA 1 B 1 =n , 可知: n ∥ CD 1 , m∥B 1 D1 , ∵△ CB 1 D 1 是 正 三 角 形 . m、 n 所 成 角 就 是 ∠ CD 1 B 1 =60 °. 则 m、 n 所 成 角 的 正 弦 值 为 : 故 选 : A. .

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【点评】 本题考查异面直线所成角的求法, 考查空间想象能力以及计算能力.

12 . ( 5 分 )已 知 函 数 f( x ) =sin( ω x+ φ ) ( ω > 0, |φ |≤ 的 零 点 , x= 为 y=f ( x ) 图 象 的 对 称 轴 , 且 f ( x ) 在 (

) , x= ﹣ ,

为 f( x ) )单 调 ,则

ω 的最大值为( ) A . 11 B . 9 C . 7 D . 5 【考点】正弦函数的对称性. 【专题】转化思想;转化法;三角函数的图像与性质.
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【 分 析 】解 法 一 :根 据 已 知 可 得 ω 为 正 奇 数 ,且 ω≤ 12 ,结 合 x= ﹣ 的 零 点 , x= ( x) 在 (

为 f( x )

为 y= f ( x ) 图 象 的 对 称 轴 , 求 出 满 足 条 件 的 解 析 式 , 并 结 合 f , )单调,可得 ω 的最大值. , )单 调 ,构 造 不

解 法 二 :根 据 已 知 可 得 ω 为 正 奇 数 ,结 合 ( x)在 ( 等式可得答案. 【 解 答 】 解 法 一 : ∵x=﹣ 轴, ∴ ,即 , ( n∈N) 为 f ( x ) 的 零 点 , x=

为 y=f ( x ) 图 象 的 对 称

即 ω =2n+1 , ( n∈N) 即 ω 为正奇数, ∵f( x) 在 ( 即 T= ≥ , )则 ﹣ = ≤ ,

, 解 得 : ω≤ 12 , + φ =k π , k ∈ Z ,

当 ω =11 时 , ﹣ ∵ |φ |≤ ∴φ=﹣ , ,

此 时 f( x) 在 ( 当 ω =9 时 , ﹣ ∵ |φ |≤ ∴φ= , ,



)不单调,不满足题意;

+ φ =k π , k ∈ Z ,

第 12 页(共 55 页)

此 时 f( x) 在 (



)单调,满足题意;

故 ω 的 最 大 值 为 9, 解 法 二 : ∵ x= ﹣ 为 f ( x ) 的 零 点 , x= 为 y=f ( x ) 图 象 的 对 称 轴 ,





∴ 又 ∵ |φ |≤ ∴φ= , ,



由 解 法 一 可 得 : ω =2n+ 1 , ( n∈N) ∵f( x) 在 ( , )单调,



,即

( k, n∈Z) ,

解得:

, 故 n 的 最 大 值 为 4,

故 ω =2n+1 ≤ 9 , 故选:B 【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,本题转化困难,难 度较大. 二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 25 分 . 13 . ( 5 分 )设 向 量 = ( m ,1 ) , = ( 1 ,2 ) ,且 | + | = | | + | | ,则 m=
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2

2

2

﹣2



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;规律型;转化思想;平面向量及应用. 【分析】利用已知条件,通过数量积判断两个向量垂直,然后列出方程求解 即可. 【 解 答 】 解 : | + | =| | +| | , 可 得 ? =0 . 向 量 =( m, 1) , =( 1, 2) , 可 得 m+2=0 , 解 得 m= ﹣ 2 .
第 13 页(共 55 页)
2 2 2

故 答 案 为 : ﹣ 2. 【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直条件的应用,考查计算 能力. 14 . (5 分) ( 2x+ ) 的 展 开 式 中 , x 的 系 数 是 10 . (用数字填写答案) 【考点】二项式定理的应用. 【专题】计算题;方程思想;综合法;二项式定理. 【分析】 利 用 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 求 出 第 r+1 项 , 令 x 的 指 数 为 3, 求 出 r, 3 即可求出展开式中 x 的系数.
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5

3

【 解 答 】解 : ( 2x+

) 的 展 开 式 中 ,通 项 公 式 为 :T r + 1 =

5

=2

5



r

, =3 , 解 得 r=4 =10 .

令 5﹣
3

∴x 的 系 数 2

故 答 案 为 : 10 . 【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题. 15 . ( 5 分 ) 设 等 比 数 列 {a n } 满 足 a 1 +a 3 =10 , a 2 +a 4 =5 , 则 a 1 a 2 … a n 的 最 大 值 为 64 . 【考点】数列与函数的综合;等比数列的性质. 【专题】计算题;规律型;转化思想;等差数列与等比数列. 【 分 析 】 求 出 数 列 的 等 比 与 首 项 , 化 简 a1a2…an, 然 后 求 解 最 值 . 【 解 答 】 解 : 等 比 数 列 {a n } 满 足 a 1 +a 3 =10 , a 2 +a 4 =5 ,
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可 得 q ( a 1 +a 3 ) =5 , 解 得 q= a 1 +q a 1 =10 , 解 得 a 1 =8 . 则 a 1 a 2 … a n =a 1 ? q
n 2



1+2+3+…+( n﹣ 1)

=8 ?

n

=

=



当 n=3 或 4 时 , 表 达 式 取 得 最 大 值 :

=64 .

故 答 案 为 : 64 . 【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用,转化思想的应用, 考查计算能力. 16 . ( 5 分 )某 高 科 技 企 业 生 产 产 品 A 和 产 品 B 需 要 甲 、乙 两 种 新 型 材 料 .生 产 一 件 产 品 A 需 要 甲 材 料 1.5kg , 乙 材 料 1k g , 用 5 个 工 时 ; 生 产 一 件 产 品 B 需 要 甲 材 料 0.5kg , 乙 材 料 0.3kg , 用 3 个工时, 生 产 一 件 产 品 A 的 利 润 为 2100 元, 生 产 一 件 产 品 B 的 利 润 为 900 元 . 该 企 业 现 有 甲 材 料 150kg , 乙 材 料 90kg ,
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则 在 不 超 过 600 个 工 时 的 条 件 下 , 生 产 产 品 A 、 产 品 B 的 利 润 之 和 的 最 大 值 为 216000 元 . 【考点】简单线性规划的应用. 【专题】计算题;规律型;数形结合;函数思想;转化思想. 【 分 析 】 设 A、 B 两 种 产 品 分 别 是 x 件 和 y 件 , 根 据 题 干 的 等 量 关 系 建 立 不 等式组以及目标函数, 利用线性规划作出可行域, 通过目标函数的几何意义, 求出其最大值即可; 【解答】解: ( 1) 甲 、 乙 两 种 两 种 新 型 材 料 , 设 A、 B 两 种 产 品 分 别 是 x 件 和 y 件,获利为 z 元.
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由题意,得

, z=2100x+900 y .

不等式组表示的可行域如图: 由题意可得

, 解得:

, A ( 60 ,

100 ) , 目 标 函 数 z=2100x+900 y . 经过 A 时, 直线的截距最大, 目标函数取得最大值: 2100 × 60+900 × 100=216 000 元 . 故 答 案 为 : 216000 .

【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,二元一次方程组 的解法的运用,不等式组解实际问题的运用,不定方程解实际问题的运用, 解答时求出最优解是解题的关键. 三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 满 分 60 分 , 解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或演算步骤. 17 . ( 12 分 ) △ ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 已 知 2cosC ( acosB+bcosA ) =c . ( Ⅰ) 求 C ;

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( Ⅱ) 若 c=

, △ ABC 的 面 积 为
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, 求 △ ABC 的 周 长 .

【考点】解三角形. 【专题】综合题;转化思想;综合法;解三角形. 【分析】 ( Ⅰ) 已 知 等 式 利 用 正 弦 定 理 化 简 , 整 理 后 利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 及 诱 导 公 式 化 简 , 根 据 sinC 不 为 0 求 出 cosC 的 值 , 即 可 确 定 出 出 C 的度数; ( 2 ) 利 用 余 弦 定 理 列 出 关 系 式 , 利 用 三 角 形 面 积 公 式 列 出 关 系 式 , 求 出 a+b 的 值 , 即 可 求 △ ABC 的 周 长 . 【解答】 解: ( Ⅰ) 已知等式利用正弦定理化简得: 2cosC ( sinAcosB +sinBcosA ) =sinC , 整 理 得 : 2cosC sin ( A +B ) =sinC , ∵ sinC ≠ 0 , sin ( A+B ) =sinC ∴ cosC= ,

又 0< C< π, ∴ C= ;
2 2

( Ⅱ) 由 余 弦 定 理 得 7 =a +b ﹣ 2ab ? ∴( a+b ) ﹣ 3ab=7 , ∵ S= absinC=
2 2



ab=



∴ ab=6 , ∴( a+b ) ﹣ 18=7 , ∴ a+b=5 , ∴△ ABC 的 周 长 为 5+ . 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及三角函数的 恒等变形,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18 . ( 12 分 ) 如 图 , 在 以 A , B , C , D , E , F 为 顶 点 的 五 面 体 中 , 面 ABEF 为 正 方 形 , A F=2 FD , ∠ AFD=90 °, 且 二 面 角 D ﹣ AF ﹣ E 与 二 面 角 C ﹣ BE ﹣ F 都 是 60 °. ( Ⅰ) 证 明 平 面 ABE F ⊥平 面 E FDC ; ( Ⅱ) 求 二 面 角 E ﹣ B C ﹣ A 的 余 弦 值 .

【考点】与二面角有关的立体几何综合题. 【专题】计算题;方程思想;综合法;空间向量及应用;立体几何. 【分析】 ( Ⅰ)证 明 A F ⊥平 面 E FDC ,利 用 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 平 面 ABEF ⊥平 面 E FDC ;
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( Ⅱ)证 明 四 边 形 E FD C 为 等 腰 梯 形 ,以 E 为 原 点 ,建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 , 求 出 平 面 BEC 、 平 面 ABC 的 法 向 量 , 代 入 向 量 夹 角 公 式 可 得 二 面 角 E ﹣ BC ﹣A 的余弦值. 【解答】 ( Ⅰ) 证 明 : ∵ ABEF 为 正 方 形 , ∴ A F ⊥ E F . ∵∠ AFD=90 °, ∴ A F ⊥ D F , ∵ DF ∩ E F= F , ∴ AF ⊥平 面 E FDC , ∵ AF ? 平 面 ABE F , ∴平 面 ABEF ⊥平 面 E FDC ; ( Ⅱ) 解 : 由 A F ⊥ D F , A F ⊥ E F , 可 得 ∠ D FE 为 二 面 角 D ﹣ AF ﹣ E 的 平 面 角 ; 由 CE ⊥ BE , BE ⊥ EF , 可 得 ∠ CE F 为 二 面 角 C ﹣ BE ﹣ F 的 平 面 角 . 可 得 ∠ D FE= ∠ CE F=60 °. ∵ AB ∥ EF , AB ? 平 面 E FDC , E F ? 平 面 E FD C , ∴ AB ∥平 面 EFDC , ∵平 面 E FDC ∩ 平 面 ABCD=CD , AB ? 平 面 ABCD , ∴ AB ∥ CD , ∴ CD ∥ EF , ∴四 边 形 E FDC 为 等 腰 梯 形 . 以 E 为 原 点 , 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 , 设 FD=a , 则 E( 0, 0, 0) , B ( 0 , 2a , 0 ) , C( ∴ = ( 0 , 2a , 0 ) , =( , ﹣ 2a , , 0, a) , a) , A ( 2a , 2a , 0 ) , = ( ﹣ 2a , 0 , 0 )

设 平 面 BEC 的 法 向 量 为 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) ,则





, 取 =(

, 0, ﹣ 1) .

设 平 面 ABC 的 法 向 量 为 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则





, 取 =( 0,

, 4) .

设 二 面 角 E ﹣ BC ﹣ A 的 大 小 为 θ , 则 co s θ =

=

=﹣


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则 二 面 角 E ﹣ BC ﹣ A 的 余 弦 值 为 ﹣



【点评】 本题考查平面与平面垂直的证明, 考查用空间向量求平面间的夹角, 建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键. 19 . ( 12 分 ) 某 公 司 计 划 购 买 2 台 机 器 , 该 种 机 器 使 用 三 年 后 即 被 淘 汰 . 机 器 有 一 易 损 零 件 ,在 购 进 机 器 时 ,可 以 额 外 购 买 这 种 零 件 作 为 备 件 ,每 个 200 元 . 在 机 器 使 用 期 间 , 如 果 备 件 不 足 再 购 买 , 则 每 个 500 元 . 现 需 决 策 在 购 买 机 器 时 应 同 时 购 买 几 个 易 损 零 件 , 为 此 搜 集 并 整 理 了 100 台 这 种 机 器 在 三 年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图: 以 这 100 台 机 器 更 换 的 易 损 零 件 数 的 频 率 代 替 1 台 机 器 更 换 的 易 损 零 件 数 发 生的概率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. ( Ⅰ) 求 X 的 分 布 列 ; ( Ⅱ) 若 要 求 P ( X ≤ n ) ≥ 0.5 , 确 定 n 的 最 小 值 ; ( Ⅲ) 以 购 买 易 损 零 件 所 需 费 用 的 期 望 值 为 决 策 依 据 , 在 n=19 与 n=20 之 中 选其一,应选用哪个?

【考点】离散型随机变量及其分布列. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】 ( Ⅰ) 由 已 知 得 X 的 可 能 取 值 为 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 2 1 , 22 , 分 别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列.
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( Ⅱ) 由 X 的 分 布 列 求 出 P ( X ≤ 18 ) = P ( X ≤ n ) ≥ 0.5 中 n 的 最 小 值 . ( Ⅲ)由 X 的 分 布 列 得 P( X ≤ 19 ) =

, P ( X ≤ 19 ) =

.由此能确 定满足

.求 出 买 19 个 所 需 费 用 期 望 EX 1 和 买

20 个 所 需 费 用 期 望 EX 2 , 由 此 能 求 出 买 19 个 更 合 适 .
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【 解 答 】解 : ( Ⅰ) 由 已 知 得 X 的 可 能 取 值 为 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , P ( X=16 ) = ( P ( X=17 ) = P ( X=18 ) = ( P ( X=19 ) = P ( X=20 ) = P ( X=21 ) = P ( X=22 ) = ∴X 的 分 布 列 为 : X 16 P ( Ⅱ) 由 ( Ⅰ) 知 : P ( X ≤ 18 ) =P ( X=16 ) +P ( X=17 ) +P ( X=18 ) = = . = , , = ) +2 (
2

) =

2

, , ) =
2

, = , ,

17

18

19

20

21

22

P ( X ≤ 19 ) =P ( X=16 ) +P ( X=17 ) +P ( X=18 ) +P ( X=19 ) = + = .

∴ P ( X ≤ n ) ≥ 0.5 中 , n 的 最 小 值 为 19 . ( Ⅲ)由( Ⅰ)得 P( X ≤ 19 ) =P( X=16 ) +P( X=17 ) +P( X=18 ) +P( X=19 ) = + = .

买 19 个 所 需 费 用 期 望 : EX 1 =200 × × =4040 , + ( 200 × 19+500 ) × + ( 200 × 19+500 × 2 ) × + ( 200 × 19+500 × 3 )

买 20 个 所 需 费 用 期 望 : EX 2 = + ( 200 × 20+500 ) × + ( 200 × 20+2 × 500 ) × =4080 ,

∵ EX 1 < EX 2 , ∴买 19 个 更 合 适 . 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用,是中 档题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.

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20 . ( 12 分 ) 设 圆 x + y +2x ﹣ 15=0 的 圆 心 为 A , 直 线 l 过 点 B( 1 , 0 ) 且 与 x 轴 不 重 合 , l 交 圆 A 于 C , D 两 点 , 过 B 作 AC 的 平 行 线 交 AD 于 点 E . ( Ⅰ) 证 明 |EA |+ |EB | 为 定 值 , 并 写 出 点 E 的 轨 迹 方 程 ; ( Ⅱ)设 点 E 的 轨 迹 为 曲 线 C 1 ,直 线 l 交 C 1 于 M , N 两 点 ,过 B 且 与 l 垂 直 的 直 线 与 圆 A 交 于 P , Q 两 点 , 求 四 边 形 MP NQ 面 积 的 取 值 范 围 . 【考点】直线与椭圆的位置关系;圆的一般方程. 【专题】方程思想;分析法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 ( Ⅰ)求 得 圆 A 的 圆 心 和 半 径 ,运 用 直 线 平 行 的 性 质 和 等 腰 三 角 形 的 性 质 , 可 得 EB=ED , 再 由 圆 的 定 义 和 椭 圆 的 定 义 , 可 得 E 的 轨 迹 为 以 A , B 为 焦 点 的 椭 圆 , 求 得 a, b, c, 即 可 得 到 所 求 轨 迹 方 程 ; ( Ⅱ) 设 直 线 l: x= my+1 , 代入椭圆方程, 运用韦达定理和弦长公式, 可 得 |MN | , 由 P Q ⊥ l , 设 PQ : y= ﹣ m( x ﹣ 1 ) , 求 得 A 到 PQ 的 距 离 , 再 由 圆 的 弦 长 公 式 可 得 |P Q | , 再 由 四 边 形 的 面 积 公 式 , 化 简 整 理 , 运 用 不 等 式 的 性 质 , 即 可 得 到所求范围. 2 2 2 2 【解答】解: ( Ⅰ) 证 明 : 圆 x + y +2x ﹣ 15= 0 即 为 ( x+1 ) + y =16 , 可 得 圆 心 A( ﹣ 1, 0) , 半 径 r=4 , 由 BE ∥ AC , 可 得 ∠ C= ∠ EBD , 由 AC=AD , 可 得 ∠ D= ∠ C , 即 为 ∠ D= ∠ EBD , 即 有 EB=ED , 则 |EA |+ |EB |= |EA |+ |ED |= |AD|=4 , 故 E 的 轨 迹 为 以 A, B 为 焦 点 的 椭 圆 ,
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2

2

且 有 2a=4 , 即 a=2 , c =1 , b=

=



则点 E 的轨迹方程为

+

=1 ( y ≠ 0 ) ;

( Ⅱ) 椭 圆 C 1 :

+

=1 , 设 直 线 l : x= my+1 ,

由 P Q ⊥ l , 设 PQ : y= ﹣ m ( x ﹣ 1 ) , 由 可 得 ( 3 m +4 ) y +6my ﹣ 9=0 ,
2 2

设 M( x 1 , y1 ) , N ( x 2 , y2 ) , 可 得 y1 + y2 = ﹣ , y1 y2 = ﹣ ,

则 |MN |=

? |y 1 ﹣ y 2 |=

?

=

?

=12 ?



A 到 PQ 的 距 离 为 d=

=



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|P Q |=2

=2

=



则 四 边 形 MP NQ 面 积 为 S=

|P Q | ? |MN |=

?

? 12 ?

=24 ?

=24



当 m=0 时 , S 取 得 最 小 值 12 , 又

> 0 , 可 得 S < 24 ? ) .

=8



即 有 四 边 形 MP NQ 面 积 的 取 值 范 围 是 [12 , 8

【点评】本题考查轨迹方程的求法,注意运用椭圆和圆的定义,考查直线和 椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,以及直线和圆相交的弦长公式, 考查不等式的性质,属于中档题. 21 . ( 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ( x ﹣ 2 ) e +a ( x ﹣ 1 ) 有 两 个 零 点 . ( Ⅰ) 求 a 的 取 值 范 围 ; ( Ⅱ) 设 x 1 , x 2 是 f ( x ) 的 两 个 零 点 , 证 明 : x 1 +x 2 < 2 . 【考点】利用导数研究函数的极值;函数的零点. 【专题】分类讨论;转化思想;分类法;转化法;函数的性质及应用. x 2 【分析】 ( Ⅰ)由 函 数 f( x ) =( x ﹣ 2 ) e +a( x ﹣ 1 ) 可 得 : f ′( x ) =( x ﹣ 1 ) x x e +2a ( x ﹣ 1 ) = ( x ﹣ 1 ) ( e +2a ) ,对 a 进行分类讨论,综合讨论结果,可得 答案.
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x

2

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( Ⅱ) 设 x 1 , x 2 是 f ( x ) 的 两 个 零 点 , 则 ﹣ a=

=



令 g( x) =

, 则 g ( x 1 ) =g ( x 2 ) = ﹣ a , 分 析 g ( x ) 的 单 调 性 ,

令 m > 0 , 则 g ( 1+ m ) ﹣ g ( 1 ﹣ m ) =



设 h( m ) =

, m > 0 , 利 用 导 数 法 可 得 h( m )> h( 0 ) =0 恒 成 立 ,

即 g ( 1+ m ) > g ( 1 ﹣ m ) 恒 成 立 , 令 m=1 ﹣ x 1 > 0 , 可 得 结 论 . x 2 【解答】解: ( Ⅰ) ∵ 函 数 f ( x ) = ( x ﹣ 2 ) e +a ( x ﹣ 1 ) , x x ∴ f ′ ( x ) = ( x ﹣ 1 ) e +2a ( x ﹣ 1 ) = ( x ﹣ 1 ) ( e +2a ) , x ① 若 a=0 , 那 么 f ( x ) =0 ? ( x ﹣ 2 ) e =0 ? x=2 , 函 数 f( x) 只 有 唯 一 的 零 点 2, 不 合 题 意 ; ② 若 a > 0 , 那 么 e +2a > 0 恒 成 立 , 当 x< 1 时 , f′( x) < 0, 此 时 函 数 为 减 函 数 ; 当 x> 1 时 , f′( x) > 0, 此 时 函 数 为 增 函 数 ; 此 时 当 x=1 时 , 函 数 f ( x ) 取 极 小 值 ﹣ e , 由 f ( 2 ) =a > 0 , 可 得 : 函 数 f ( x ) 在 x > 1 存 在 一 个 零 点 ; x 当 x< 1 时 , e < e, x﹣ 2< ﹣ 1< 0, x 2 2 2 ∴ f ( x ) = ( x ﹣ 2 ) e + a ( x ﹣ 1 ) > ( x ﹣ 2 ) e+a ( x ﹣ 1 ) =a ( x ﹣ 1 ) +e ( x ﹣ 1) ﹣ e, 令 a ( x ﹣ 1 ) +e ( x ﹣ 1 ) ﹣ e=0 的 两 根 为 t 1 , t 2 , 且 t 1 < t 2 , 2 则 当 x < t 1 , 或 x > t 2 时 , f ( x ) > a ( x ﹣ 1 ) +e ( x ﹣ 1 ) ﹣ e > 0 , 故 函 数 f( x) 在 x< 1 存 在 一 个 零 点 ; 即 函 数 f( x) 在 R 是 存 在 两 个 零 点 , 满 足 题 意 ; ③若 ﹣
x 2 x

< a < 0 , 则 ln ( ﹣ 2a ) < lne=1 ,

当 x < ln ( ﹣ 2a ) 时 , x ﹣ 1 < ln ( ﹣ 2a ) ﹣ 1 < lne ﹣ 1=0 , e +2a < e +2a=0 , x 即 f′( x) =( x﹣ 1) ( e +2a ) > 0 恒 成 立 , 故 f ( x ) 单 调 递 增 , x ln( ﹣ 2a) 当 ln ( ﹣ 2 a ) < x < 1 时 , x ﹣ 1 < 0 , e +2a > e +2a=0 , x 即 f′( x) =( x﹣ 1) ( e +2a ) < 0 恒 成 立 , 故 f ( x ) 单 调 递 减 , x ln( ﹣ 2a) 当 x > 1 时 , x ﹣ 1 > 0 , e +2a > e +2a=0 , x 即 f′( x) =( x﹣ 1) ( e +2a ) > 0 恒 成 立 , 故 f ( x ) 单 调 递 增 , 故 当 x=ln ( ﹣ 2 a ) 时 , 函 数 取 极 大 值 , 2 由 f( ln( ﹣ 2 a ) ) =[ln( ﹣ 2a )﹣ 2 ]( ﹣ 2a ) +a[ln( ﹣ 2a )﹣ 1 ] =a{[ln( ﹣ 2 a ) 2 ﹣ 1 ] +1} < 0 得 : 函 数 f( x) 在 R 上 至 多 存 在 一 个 零 点 , 不 合 题 意 ; ④ 若 a= ﹣ , 则 ln ( ﹣ 2a ) =1 ,
x ln( ﹣ 2a) ln( ﹣ 2a)

当 x < 1=ln ( ﹣ 2 a ) 时 , x ﹣ 1 < 0 , e +2a < e

+2a=0 ,

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即 f′( x) =( x﹣ 1) ( e +2a ) > 0 恒 成 立 , 故 f ( x ) 单 调 递 增 , x ln( ﹣ 2a) 当 x > 1 时 , x ﹣ 1 > 0 , e +2a > e +2a=0 , x 即 f′( x) =( x﹣ 1) ( e +2a ) > 0 恒 成 立 , 故 f ( x ) 单 调 递 增 , 故 函 数 f( x) 在 R 上 单 调 递 增 , 函 数 f( x) 在 R 上 至 多 存 在 一 个 零 点 , 不 合 题 意 ; ⑤若 a< ﹣ , 则 ln ( ﹣ 2a ) > lne=1 ,
x ln( ﹣ 2a)

x

当 x < 1 时 , x ﹣ 1 < 0 , e +2a < e +2a=0 , x 即 f′( x) =( x﹣ 1) ( e +2a ) > 0 恒 成 立 , 故 f ( x ) 单 调 递 增 , x ln( ﹣ 2a) 当 1 < x < ln ( ﹣ 2a ) 时 , x ﹣ 1 > 0 , e +2a < e +2a=0 , x 即 f′( x) =( x﹣ 1) ( e +2a ) < 0 恒 成 立 , 故 f ( x ) 单 调 递 减 , x ln( ﹣ 2a) 当 x > ln ( ﹣ 2a ) 时 , x ﹣ 1 > 0 , e +2a > e +2a=0 , x 即 f′( x) =( x﹣ 1) ( e +2a ) > 0 恒 成 立 , 故 f ( x ) 单 调 递 增 , 故 当 x=1 时 , 函 数 取 极 大 值 , 由 f( 1) =﹣ e< 0 得 : 函 数 f( x) 在 R 上 至 多 存 在 一 个 零 点 , 不 合 题 意 ; 综 上 所 述 , a 的 取 值 范 围 为 ( 0, +∞) 证明: ( Ⅱ) ∵ x 1 , x 2 是 f ( x ) 的 两 个 零 点 , ∴ f ( x 1 ) =f ( x 2 ) =0 , 且 x 1 ≠ 1 , 且 x 2 ≠ 1 , ∴﹣ a= = ,

令 g( x) =

, 则 g ( x 1 ) =g ( x 2 ) = ﹣ a ,

∵g′( x) =



∴当 x < 1 时 , g ′ ( x ) < 0 , g ( x ) 单 调 递 减 ; 当 x> 1 时 , g′( x) > 0, g( x) 单 调 递 增 ; 设 m > 0 , 则 g ( 1+ m ) ﹣ g ( 1 ﹣ m ) = ﹣ =



设 h( m) =

, m> 0,

则 h′( m) =

>0 恒成立,

即 h( m) 在 ( 0 , +∞) 上 为 增 函 数 , h ( m ) > h ( 0 ) =0 恒 成 立 ,
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即 g ( 1+ m ) > g ( 1 ﹣ m ) 恒 成 立 , 令 m=1 ﹣ x 1 > 0 , 则 g( 1+1 ﹣ x 1 )> g( 1 ﹣ 1+x 1 )? g( 2 ﹣ x 1 )> g( x 1 )=g( x 2 )? 2 ﹣ x 1 > x 2 , 即 x 1 +x 2 < 2 . 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值,函数的零点,分类 讨论思想,难度较大. 请 考 生 在 22 、 23 、 24 题 中 任 选 一 题 作 答 , 如果多做, 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 .[ 选 修 4-1 : 几 何 证 明 选 讲 ] 22 . ( 10 分 ) 如 图 , △ OAB 是 等 腰 三 角 形 , ∠ AOB=120 °. 以 O 为 圆 心 , 为半径作圆. ( Ⅰ) 证 明 : 直 线 AB 与 ⊙ O 相 切 ; ( Ⅱ) 点 C , D 在 ⊙ O 上 , 且 A , B , C , D 四 点 共 圆 , 证 明 : AB ∥ CD . OA

【考点】圆的切线的判定定理的证明. 【专题】证明题;转化思想;综合法;推理和证明. 【分析】 ( Ⅰ) 设 K 为 AB 中 点 , 连 结 OK . 根 据 等 腰 三 角 形 AOB 的 性 质 知
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OK ⊥ AB , ∠ A=30 °, OK=OAsin30 °=

OA , 则 AB 是 圆 O 的 切 线 .

( Ⅱ) 设 圆 心 为 T , 证 明 OT 为 AB 的 中 垂 线 , OT 为 CD 的 中 垂 线 , 即 可 证 明结论. 【解答】证明: ( Ⅰ) 设 K 为 AB 中 点 , 连 结 OK , ∵ OA=OB , ∠ AOB=120 °, ∴ OK ⊥ AB , ∠ A=30 °, OK=OAsin30 °= OA ,

∴直 线 AB 与 ⊙ O 相 切 ; ( Ⅱ) 因 为 OA=2OD , 所 以 O 不 是 A , B , C , D 四 点 所 在 圆 的 圆 心 . 设 T 是 A, B, C, D 四 点 所 在 圆 的 圆 心 . ∵ OA=OB , TA=TB , ∴ OT 为 AB 的 中 垂 线 , 同 理 , OC=OD , TC=TD , ∴ OT 为 CD 的 中 垂 线 , ∴ AB ∥ CD . 【点评】本题考查了切线的判定,考查四点共圆,考查学生分析解决问题的 能 力 . 解 答 此 题 时 , 充 分 利 用 了 等 腰 三 角 形 “三 合 一 ”的 性 质 . [ 选 修 4-4 : 坐 标 系 与 参 数 方 程 ]

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23 . 在 直 线 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C 1 的 参 数 方 程 为

(t 为参数,a

> 0) . 在 以 坐 标 原 点 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C2: ρ =4cos θ . ( Ⅰ) 说 明 C 1 是 哪 一 种 曲 线 , 并 将 C 1 的 方 程 化 为 极 坐 标 方 程 ; ( Ⅱ) 直 线 C 3 的 极 坐 标 方 程 为 θ = α 0 , 其 中 α 0 满 足 tan α 0 =2 , 若 曲 线 C 1 与 C 2 的 公 共 点 都 在 C3 上 , 求 a. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程的概念. 【专题】计算题;转化思想;数学模型法;坐标系和参数方程. 【分析】 ( Ⅰ) 把 曲 线 C 1 的 参 数 方 程 变 形 , 然 后 两 边 平 方 作 和 即 可 得 到 普 通 2 2 2 方 程 , 可 知 曲 线 C 1 是 圆 , 化 为 一 般 式 , 结 合 x + y = ρ , y= ρ sin θ 化 为 极 坐 标 方程;
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( Ⅱ) 化 曲 线 C 2 、 C 3 的 极 坐 标 方 程 为 直 角 坐 标 方 程 , 由 条 件 可 知 y=x 为 圆 C 1 与 C 2 的 公 共 弦 所 在 直 线 方 程 ,把 C 1 与 C 2 的 方 程 作 差 ,结 合 公 共 弦 所 在 直 2 线 方 程 为 y=x 可 得 1 ﹣ a =0 , 则 a 值 可 求 . 【 解 答 】解 : ( Ⅰ)由
2 2

,得

,两 式 平 方 相 加 得 , x +( y

2

﹣ 1 ) =a . ∴C1 为 以 ( 0, 1) 为 圆 心 , 以 a 为 半 径 的 圆 . 2 2 2 化 为 一 般 式 : x + y ﹣ 2 y+1 ﹣ a =0 . ① 2 2 2 2 2 由 x + y = ρ , y= ρ sin θ , 得 ρ ﹣ 2 ρ sin θ +1 ﹣ a =0 ; 2 ( Ⅱ) C 2 : ρ =4cos θ , 两 边 同 时 乘 ρ 得 ρ =4 ρ cos θ , 2 2 ∴ x +y =4x , ② 2 2 即 ( x ﹣ 2 ) + y =4 . 由 C 3 : θ = α 0 , 其 中 α 0 满 足 tan α 0 =2 , 得 y=2 x , ∵曲 线 C 1 与 C 2 的 公 共 点 都 在 C 3 上 , ∴ y=2x 为 圆 C 1 与 C 2 的 公 共 弦 所 在 直 线 方 程 , 2 ① ﹣ ② 得 : 4x ﹣ 2 y+1 ﹣ a =0 , 即 为 C 3 , 2 ∴ 1 ﹣ a =0 , ∴ a=1 ( a > 0 ) . 【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角 坐标的互化,训练了两圆公共弦所在直线方程的求法,是基础题. [ 选 修 4-5 : 不 等 式 选 讲 ] 24 . 已 知 函 数 f ( x ) = |x+1 | ﹣ |2x ﹣ 3 | . ( Ⅰ) 在 图 中 画 出 y=f ( x ) 的 图 象 ; ( Ⅱ) 求 不 等 式 |f ( x ) | > 1 的 解 集 .

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【考点】带绝对值的函数;函数图象的作法. 【专题】转化思想;分析法;不等式的解法及应用. 【分析】 ( Ⅰ)运 用 分 段 函 数 的 形 式 写 出 f ( x )的 解 析 式 ,由 分 段 函 数 的 画 法 , 即可得到所求图象;
菁 优 网 版 权 所 有

( Ⅱ)分 别 讨 论 当 x ≤ ﹣ 1 时 ,当 ﹣ 1 < x < 取交集,最后求并集即可得到所求解集.

时 ,当 x ≥

时 ,解 绝 对 值 不 等 式 ,

【解答】解: ( Ⅰ) f ( x ) =



由 分 段 函 数 的 图 象 画 法 , 可 得 f( x) 的 图 象 , 如 右 : ( Ⅱ) 由 |f ( x ) | > 1 , 可 得 当 x ≤ ﹣ 1 时 , |x ﹣ 4 | > 1 , 解 得 x > 5 或 x < 3 , 即 有 x ≤ ﹣ 1 ; 当 ﹣ 1< x< 时 , |3x ﹣ 2 | > 1 , 解 得 x > 1 或 x < 或 1< x< ; ≤x< 3. ,

即 有 ﹣ 1< x< 当 x≥

时 , |4 ﹣ x | > 1 , 解 得 x > 5 或 x < 3 , 即 有 x > 5 或 或 1< x< 3 或 x> 5.

综 上 可 得 , x<

则 |f ( x ) | > 1 的 解 集 为 ( ﹣ ∞ ,

) ∪( 1 , 3 ) ∪( 5 , + ∞ ) .

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【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法,注意运用分段函数的 图象的画法和分类讨论思想方法,考查运算能力,属于基础题.

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参 与 本 试 卷 答 题 和 审 题 的 老 师 有 : 翔 宇 老 师 ; maths ; w3239003 ; qiss ; 546278733@qq.com ; 双 曲 线 ; zlzhan ; sxs1 23 ( 排 名 不 分 先 后 ) 菁优网 2016 年 6 月 30 日

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考点卡片
1. 带 绝 对 值 的 函 数 1. 当 函 数 体 中 包 含 绝 对 值 , 就 需 要 对 绝 对 值 内 的 部 分 的 正 负 情 况 进 行 讨 论 , 因此含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图 象进行研究. 2 . ① 形 如 y= |f ( x ) | 的 函 数 , 由 于 |f ( x ) |= ,因此研究此

类 函 数 往 往 结 合 函 数 图 象 ,可 以 看 成 由 的 图 象 在 x 轴 上 方 部 分 不 变 ,下 方 部 分 关 于 x 轴 对 称 得 到 , 例 如 y= |x ﹣ 1 | 的 图 象 如 下 图 :
2

② f( x )=a |x ﹣ m|+b |x ﹣ n | , ( m < n )的 图 象 是 以 A( m ,f( m ) ) ,B( n ,f( n ) ) 为折点的折线. 当 a+b > 0 时 , 两 端 向 上 无 限 延 伸 , 故 存 在 最 小 值 , 最 小 值 为 min {f ( m ) ,f ( n) }; 当 a+b < 0 时 , 两 端 向 下 无 限 延 伸 , 故 存 在 最 大 值 , 最 大 值 为 Max{f ( m ) ,f ( n) }; 当 a+b=0 时 , 两 端 无 限 延 伸 且 平 行 x 轴 , 故 既 有 最 大 值 又 有 最 小 值 , 最 大 值 为 Max{f( m ) ,f( n )} ; 最 小 值 为 min{f( m ) ,f( n )} ;例 如 :y=2 |x ﹣ 1 |+3 |x ﹣ 2 | 和 y=2 |x ﹣ 1 | ﹣ 3 |x ﹣ 2 | 的 图 象 分 别 为

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2. 交 集 及 其 运 算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集, 记作 A∩B. 符 号 语 言 : A ∩ B={x |x ∈ A , 且 x ∈ B} .
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A∩B 实 际 理 解 为 : x 是 A 且 是 B 中 的 相 同 的 所 有 元 素 . 当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没 有交集. 运算形状: ① A ∩ B=B ∩ A . ② A ∩ ? = ? . ③ A ∩ A=A . ④ A ∩ B ? A , A∩B?B. ⑤ A ∩ B=A ? A ? B . ⑥ A ∩ B= ? , 两个集合没有相同元素. ⑦A∩ ( CUA ) = ? . ⑧ CU ( A ∩ B ) = ( CUA ) ∪( CUB ) . 【 解 题 方 法 点 拨 】解 答 交 集 问 题 ,需 要 注 意 交 集 中 : “ 且 ” 与 “ 所 有 ” 的 理 解 .不 能 把 “ 或 ” 与 “ 且 ” 混 用 ;求 交 集 的 方 法 是 :① 有 限 集 找 相 同 ;② 无 限 集 用 数 轴 、 韦恩图. 【命题方向】掌握交集的表示法,会求两个集合的交集. 命题通常以选择题、填空题为主,也可以与函数的定义域,值域,函数的单 调性、复合函数的单调性等联合命题. 3. 函 数 图 象 的 作 法 【 知 识 点 的 认 识 】 函 数 图 象 的 作 法 : 通 过 如 下 3 个 步 骤 ( 1) 列 表 ; ( 2) 描 点 ; ( 3) 连 线 . 【解题方法点拨】一般情况下,函数需要同解变形后,结合函数的定义域, 通过函数的对应法则,列出表格,然后在直角坐标系中,准确描点,然后连 线(平滑曲线) . 【命题方向】一般考试是以小题形式出现,或大题中的一问,常见考题是, 常见函数的图象,有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题. 4. 函 数 的 图 象 【知识点的认识】 1. 利 用 描 点 法 作 函 数 图 象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首 先 : ① 确 定 函 数 的 定 义 域 ; ② 化 简 函 数 解 析 式 ; ③ 讨 论 函 数 的 性 质( 奇 偶 性、单调性、周期性、对称性等) . 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交 点等) ,描点,连线. 2. 利 用 图 象 变 换 法 作 函 数 的 图 象 ( 1) 平 移 变 换 : y=f ( x ) a > 0 , 右 移 a 个 单 位 ( a < 0 , 左 移 |a| 个 单 位 ) ? y= f ( x ﹣ a ) ; y=f ( x ) b > 0 , 上 移 b 个 单 位 ( b < 0 , 下 移 |b | 个 单 位 ) ? y= f ( x ) +b . ( 2) 伸 缩 变 换 :

y=f ( x )

y= f ( ω x ) ;

y=f( x ) A > 1 ,伸 为 原 来 的 A 倍( 0 < A < 1 ,缩 为 原 来 的 A 倍 ) ? y=Af( x ) . ( 3) 对 称 变 换 : y=f ( x ) 关 于 x 轴 对 称 ? y= ﹣ f ( x ) ;
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y=f ( x ) 关 于 y 轴 对 称 ? y= f ( ﹣ x ) ; y=f ( x ) 关 于 原 点 对 称 ? y= ﹣ f ( ﹣ x ) . ( 4) 翻 折 变 换 : y=f ( x ) 去 掉 y 轴 左 边 图 , 保 留 y 轴 右 边 图 , 将 y 轴 右 边 的 图 象 翻 折 到 左 边 ? y=f ( |x | ) ; y=f ( x ) 留 下 x 轴 上 方 图 将 x 轴 下 方 图 翻 折 上 去 y= |f ( x ) | . 【解题方法点拨】 1、 画 函 数 图 象 的 一 般 方 法 ( 1)直 接 法 :当 函 数 表 达 式( 或 变 形 后 的 表 达 式 )是 熟 悉 的 基 本 函 数 或 解 析 几何中熟悉的曲线时,可根据这些函数或曲线的特征直接作出. ( 2)图 象 变 换 法 :若 函 数 图 象 可 由 某 个 基 本 函 数 的 图 象 经 过 平 移 、翻 折 、对 称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉函 数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的 影响. ( 3)描 点 法 :当 上 面 两 种 方 法 都 失 效 时 ,则 可 采 用 描 点 法 .为 了 通 过 描 少 量 点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质 讨论. 2、 寻 找 图 象 与 函 数 解 析 式 之 间 的 对 应 关 系 的 方 法 ( 1) 知 图 选 式 : ①从 图 象 的 左 右 、 上 下 分 布 , 观 察 函 数 的 定 义 域 、 值 域 ; ②从 图 象 的 变 化 趋 势 , 观 察 函 数 的 单 调 性 ; ③从 图 象 的 对 称 性 方 面 , 观 察 函 数 的 奇 偶 性 ; ④从 图 象 的 循 环 往 复 , 观 察 函 数 的 周 期 性 . 利用上述方法,排除错误选项,筛选正确的选项. ( 2) 知 式 选 图 : ①从 函 数 的 定 义 域 , 判 断 图 象 的 左 右 位 置 ; 从 函 数 的 值 域 , 判 断 图 象 的 上 下 位置; ②从 函 数 的 单 调 性 , 判 断 图 象 的 变 化 趋 势 ; ③从 函 数 的 奇 偶 性 , 判 断 图 象 的 对 称 性 . ④从 函 数 的 周 期 性 , 判 断 图 象 的 循 环 往 复 . 利用上述方法,排除错误选项,筛选正确选项. 注意联系基本函数图象和模型,当选项无法排除时,代特殊值,或从某些量 上寻找突破口. 3、 ( 1) 利 有 函 数 的 图 象 研 究 函 数 的 性 质 从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析 函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. ( 2) 利 用 函 数 的 图 象 研 究 方 程 根 的 个 数 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数;利用此法也 可由解的个数求参数值. 4、 方 法 归 纳 : ( 1) 1 个 易 错 点 ﹣ ﹣ 图 象 变 换 中 的 易 错 点 在 解 决 函 数 图 象 的 变 换 问 题 时 ,要 遵 循 “只 能 对 函 数 关 系 式 中 的 x,y 变 换 ”的 原则,写出每一次的变换所得图象对应的解析式,这样才能避免出错.
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( 2) 3 个 关 键 点 ﹣ ﹣ 正 确 作 出 函 数 图 象 的 三 个 关 键 点 为了正确地作出函数图象,必须做到以下三点: ①正 确 求 出 函 数 的 定 义 域 ; ②熟 练 掌 握 几 种 基 本 函 数 的 图 象 , 如 二 次 函 数 、 反 比 例 函 数 、 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 、 形 如 y=x+ 的 函 数 ; ③掌 握 平 移 变 换 、 伸 缩 变 换 、 对 称 变 换 、 翻 折 变 换 、 周 期 变 换 等 常 用 的 方 法 技巧,来帮助我们简化作图过程. ( 3) 3 种 方 法 ﹣ ﹣ 识 图 的 方 法 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称 性等方面来获取图中所提供的信息,解决这类问题的常用方法有: ①定 性 分 析 法 , 也就是通过对问题进行定性的分析, 从而得出图象的上升 (或 下降)的趋势,利用这一特征来分析解决问题; ②定 量 计 算 法 , 也 就 是 通 过 定 量 的 计 算 来 分 析 解 决 问 题 ; ③函 数 模 型 法 , 也 就 是 由 所 提 供 的 图 象 特 征 , 联 想 相 关 函 数 模 型 , 利 用 这 一 函数模型来分析解决问题. 5. 对 数 值 大 小 的 比 较 【知识点归纳】 1、 若 两 对 数 的 底 数 相 同 , 真 数 不 同 , 则 利 用 对 数 函 数 的 单 调 性 来 比 较 . 2、 若 两 对 数 的 底 数 和 真 数 均 不 相 同 , 通 常 引 入 中 间 变 量 ( 1, ﹣ 1, 0) 进 行 比较 3 、若 两 对 数 的 底 数 不 同 ,真 数 也 不 同 ,则 利 用 函 数 图 象 或 利 用 换 底 公 式 化 为 同底的再进行比较. ( 画 图 的 方 法 :在 第 一 象 限 内 ,函 数 图 象 的 底 数 由 左 到 右 逐渐增大) 6. 函 数 的 零 点 【函数的零点】 一 般 地 , 对 于 函 数 y=f ( x ) ( x∈R) , 我 们 把 方 程 f ( x ) =0 的 实 数 根 x 叫 作 函 数 y=f( x ) ( x ∈ D )的 零 点 .即 函 数 的 零 点 就 是 使 函 数 值 为 0 的 自 变 量 的 值 .函 数的零点不是一个点,而是一个实数. 【解法﹣﹣二分法】 ① 确 定 区 间 [a , b ] , 验 证 f ( a ) *f ( b ) < 0 , 给 定 精 确 度 ; ②求 区 间 ( a, b) 的 中 点 x1; ③计 算 f( x1) ; ④ 若 f ( x 1 ) =0 , 则 x 1 就 是 函 数 的 零 点 ; ⑤若 f( a) f( x1) < 0, 则 令 b=x 1 ( 此 时 零 点 x 0 ∈ ( a , x 1 ) ) ; ⑥ 若 f ( x 1 ) f ( b ) < 0 , 则 令 a= x 1 . (此时 零 点 x0 ∈ ( x 1 , b ) ⑦判 断 是 否 满 足 条 件 , 否 则 重 复 ( 2) ~ ( 4) 【总结】 零点其实并没有多高深,简单的说,就是某个函数的零点其实就是这个函数 与 x 轴 的 交 点 , 另 外 如 果 在 ( a, b) 连 续 的 函 数 满 足 f( a) ?f( b) < 0, 则 ( a, b) 至 少 有 一 个 零 点 . 这 个 考 点 属 于 了 解 性 的 , 知 道 它 的 概 念 就 行 了 . 7. 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 【知识点的知识】 1、 极 值 的 定 义 :
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( 1) 极 大 值 : 一 般 地 , 设 函 数 f( x) 在 点 x 0 附 近 有 定 义 , 如 果 对 x0 附 近 的 所 有 的 点 , 都 有 f( x) < f( x0) , 就 说 f( x0) 是 函 数 f( x) 的 一 个 极 大 值 , 记 作 y 极 大 值 =f ( x 0 ) , x0 是 极 大 值 点 ; ( 2) 极 小 值 : 一 般 地 , 设 函 数 f( x) 在 x0 附 近 有 定 义 , 如 果 对 x 0 附 近 的 所 有 的 点 , 都 有 f( x ) > f( x 0 ) , 就 说 f( x 0 ) 是 函 数 f( x ) 的 一 个 极 小 值 , 记 作 y 极 小 值 =f( x0) , x0 是 极 小 值 点 . 2、 极 值 的 性 质 : ( 1 )极 值 是 一 个 局 部 概 念 ,由 定 义 知 道 ,极 值 只 是 某 个 点 的 函 数 值 与 它 附 近 点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大 或最小; ( 2 )函 数 的 极 值 不 是 唯 一 的 ,即 一 个 函 数 在 某 区 间 上 或 定 义 域 内 极 大 值 或 极 小值可以不止一个; ( 3 )极 大 值 与 极 小 值 之 间 无 确 定 的 大 小 关 系 ,即 一 个 函 数 的 极 大 值 未 必 大 于 极小值; ( 4 )函 数 的 极 值 点 一 定 出 现 在 区 间 的 内 部 ,区 间 的 端 点 不 能 成 为 极 值 点 ,而 使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 3、 判 别 f( x0) 是 极 大 、 极 小 值 的 方 法 : 若 x 0 满 足 f ′ ( x 0 ) =0 , 且 在 x 0 的 两 侧 f ( x ) 的 导 数 异 号 , 则 x 0 是 f ( x ) 的 极 值 点 , f( x0) 是 极 值 , 并 且 如 果 f′( x) 在 x0 两 侧 满 足 “左 正 右 负 ”, 则 x0 是 f( x ) 的 极 大 值 点 , f( x 0 ) 是 极 大 值 ; 如 果 f ′( x ) 在 x 0 两 侧 满 足 “ 左 负 右 正 ”, 则 x0 是 f( x) 的 极 小 值 点 , f( x0) 是 极 小 值 . 4、 求 函 数 f( x) 的 极 值 的 步 骤 : ( 1) 确 定 函 数 的 定 义 区 间 , 求 导 数 f′( x) ; ( 2 ) 求 方 程 f ′ ( x ) =0 的 根 ; ( 3 )用 函 数 的 导 数 为 0 的 点 ,顺 次 将 函 数 的 定 义 区 间 分 成 若 干 小 开 区 间 ,并 列 成 表 格 ,检 查 f ′( x )在 方 程 根 左 右 的 值 的 符 号 ,如 果 左 正 右 负 ,那 么 f( x ) 在 这 个 根 处 取 得 极 大 值 ;如 果 左 负 右 正 ,那 么 f( x )在 这 个 根 处 取 得 极 小 值 ; 如 果 左 右 不 改 变 符 号 即 都 为 正 或 都 为 负 , 则 f( x) 在 这 个 根 处 无 极 值 .

【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点: ( 1 ) 按 定 义 , 极 值 点 x 0 是 区 间 [a , b ] 内 部 的 点 , 不 会 是 端 点 a , b ( 因 为 在 端点不可导) . ( 2 )极 值 是 一 个 局 部 性 概 念 ,只 要 在 一 个 小 领 域 内 成 立 即 可 .要 注 意 极 值 必 须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大 值,在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值,也就是说极大值与极 小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极 大值小. ( 3 ) 若 f( x ) 在 ( a , b ) 内 有 极 值 , 那 么 f( x ) 在 ( a , b ) 内 绝 不 是 单 调 函 数,即在区间上单调的函数没有极值.
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( 4 ) 若 函 数 f ( x ) 在 [a , b ] 上 有 极 值 且 连 续 , 则 它 的 极 值 点 的 分 布 是 有 规 律 的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间 必 有 一 个 极 大 值 点 , 一 般 地 , 当 函 数 f ( x ) 在 [a , b ] 上 连 续 且 有 有 限 个 极 值 点 时 ,函 数 f( x )在 [a , b ] 内 的 极 大 值 点 、极 小 值 点 是 交 替 出 现 的 , ( 5 )可 导 函 数 的 极 值 点 必 须 是 导 数 为 0 的 点 ,但 导 数 为 0 的 点 不 一 定 是 极 值 点,不可导的点也可能是极值点,也可能不是极值点. 8. 不 等 式 比 较 大 小 【知识点的知识】 不等式大小比较的常用方法 ( 1) 作 差 : 作 差 后 通 过 分 解 因 式 、 配 方 等 手 段 判 断 差 的 符 号 得 出 结 果 ; ( 2) 作 商 ( 常 用 于 分 数 指 数 幂 的 代 数 式 ) ; ( 3) 分 析 法 ; ( 4) 平 方 法 ; ( 5) 分 子 ( 或 分 母 ) 有 理 化 ; ( 6) 利 用 函 数 的 单 调 性 ; ( 7) 寻 找 中 间 量 或 放 缩 法 ; ( 8) 图 象 法 . 其 中 比 较 法 ( 作 差 、 作 商 ) 是 最 基 本 的 方 法 . 【典型例题分析】 方法一:作差法 典 例 1 : 若 a < 0 , b < 0 , 则 p= A. p< q 解 : p ﹣ q= B. p≤q C. p> q 与 q=a+b 的 大 小 关 系 为 ( D. p≥q =( b ﹣ a )
2 2



﹣ a ﹣ b=



, ∵ a < 0 , b < 0 , ∴ a+b < 0 , ab > 0 , 若 a=b , 则 p ﹣ q=0 , 此 时 p=q , 若 a≠b, 则 p﹣ q< 0, 此 时 p< q, 综 上 p≤q, 故选:B 方法二:利用函数的单调性 典 例 2: 三 个 数 , , 的大小顺序是( )

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A.





B.





C.





D.





解:由指数函数的单调性可知,





由幂函数的单调性可知,













故 故 选 : B.







9. 简 单 线 性 规 划 的 应 用 【知识点的知识】 二元一次不等式(组)与简单线性规划问题 1、 二 元 一 次 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 一 般 地 , 直 线 l : ax+b y+c=0 把 直 角 坐 标 平 面 分 成 了 三 个 部 分 : ① 直 线 l 上 的 点 ( x , y ) 的 坐 标 满 足 ax+b y+ c=0 ; ② 直 线 l 一 侧 的 平 面 区 域 内 的 点 ( x , y ) 的 坐 标 满 足 ax+b y+c > 0 ; ③ 直 线 l 另 一 侧 的 平 面 区 域 内 的 点 ( x , y ) 的 坐 标 满 足 ax+b y+c < 0 . 所 以 , 只 需 在 直 线 l 的 某 一 侧 的 平 面 区 域 内 , 任 取 一 特 殊 点 ( x 0 , y0 ) ,从 ax 0 +b y 0 +c 值 的 正 负 , 即 可 判 断 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 . 2、 线 性 规 划 相 关 概 念 名称 意义 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 可行解 满 足 约 束 条 件 的 解 ( x , y) 可行域 由所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解,通常在可行域的顶 最优解 点处取得 二元线性 如果两个变量满足一组一次不等式,求这两个变量的一次函数 规划问题 的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题 3、 线 性 规 划 ( 1) 不 等 式 组 是 一 组 对 变 量 x、 y 的 约 束 条 件 , 由 于 这 组 约 束 条 件 都 是 关 于 x 、 y 的 一 次 不 等 式 , 所 以 又 可 称 其 为 线 性 约 束 条 件 . z=Ax+B y 是 欲 达 到 最 大
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值 或 最 小 值 所 涉 及 的 变 量 x、 y 的 解 析 式 , 我 们 把 它 称 为 目 标 函 数 . 由 于 z=Ax+By 又 是 关 于 x 、 y 的 一 次 解 析 式 , 所 以 又 可 叫 做 线 性 目 标 函 数 . 另外注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示. ( 2) 一 般 地 , 求 线 性 目 标 函 数 在 线 性 约 束 条 件 下 的 最 大 值 或 最 小 值 的 问 题 , 统称为线性规划问题. ( 3) 那 么 , 满 足 线 性 约 束 条 件 的 解 ( x, y) 叫 做 可 行 解 , 由 所 有 可 行 解 组 成 的集合叫做可行域.在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区 域 .其 中 可 行 解( x 1 ,y 1 )和( x 2 ,y 2 )分 别 使 目 标 函 数 取 得 最 大 值 和 最 小 值 , 它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取 得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行. 4、 用 图 解 法 解 决 简 单 的 线 性 规 划 问 题 的 基 本 步 骤 : ①首 先 , 要 根 据 线 性 约 束 条 件 画 出 可 行 域 ( 即 画 出 不 等 式 组 所 表 示 的 公 共 区 域) . ② 设 z=0 , 画 出 直 线 l 0 . ③观 察 、 分 析 , 平 移 直 线 l0, 从 而 找 到 最 优 解 . ④最 后 求 得 目 标 函 数 的 最 大 值 及 最 小 值 . 5、 利 用 线 性 规 划 研 究 实 际 问 题 的 解 题 思 路 : 首 先 ,应 准 确 建 立 数 学 模 型 ,即 根 据 题 意 找 出 约 束 条 件 ,确 定 线 性 目 标 函 数 . 然后,用图解法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域内求得使目标 函数取得最值的解. 最后,还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解,即结合实际 情况求得最优解. 【典型例题分析】 题型一:二元一次不等式(组)表示的平面区域 典 例 1 : 若 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 被 直 线 y=kx+ 分 为 面 积 相 等 的 两 部 分 , 则 k 的值是 ( ) A. B. C. D. )在已知的平面区域内,直线系过定点

分 析 : 画 出 平 面 区 域 , 显 然 点 ( 0, ( 0,

) ,结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可.

解答:不等式组表示的平面区域如图所示.

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由 于 直 线 y=kx+

过 定 点( 0 , ) .因 此 只 有 直 线 过 AB 中 点 时 ,直 线 y=kx+

能平分平面区域. 因 为 A( 1, 1) , B( 0, 4) , 所 以 AB 中 点 D ( 当 y=kx+ 过点( , )时, = + , 所 以 k= , . ) .

答 案 : A. 点评:二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点 定域. 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成 实线.测试点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,则测试点常选 取原点. 题型二:求线性目标函数的最值

典 例 2 :设 x ,y 满 足 约 束 条 件 : ,求 z=x+ y 的 最 大 值 与 最 小 值 . 分 析 : 作 可 行 域 后 , 通 过 平 移 直 线 l 0 : x+ y=0 来 寻 找 最 优 解 , 求 出 目 标 函 数 的最值. 解 答 :先 作 可 行 域 ,如 图 所 示 中 △ ABC 的 区 域 ,且 求 得 A( 5 ,2 ) 、B( 1 ,1 ) 、 C( 1 , ) ,作 出 直 线 l 0 :x+ y=0 ,再 将 直 线 l 0 平 移 ,当 l 0 的 平 行 线 l 1 过 点 B 时 , 可 使 z=x+ y 达 到 最 小 值 ; 当 l0 的 平 行 线 l2 过 点 A 时 , 可 使 z=x+ y 达 到 最 大 值 . 故 z m i n =2 , z m a x =7 .

点评: ( 1) 线 性 目 标 函 数 的 最 大 ( 小 ) 值 一 般 在 可 行 域 的 顶 点 处 取 得 , 也 可 能在边界处取得. ( 2) 求线性目标函数的最优解, 要注意分析线性目标函数所表示的几何意义, 明确和直线的纵截距的关系. 题型三:实际生活中的线性规划问题 典 例 3 : 某 农 户 计 划 种 植 黄 瓜 和 韭 菜 , 种 植 面 积 不 超 过 50 亩 , 投 入 资 金 不 超 过 54 万 元 , 假 设 种 植 黄 瓜 和 韭 菜 的 产 量 、 成 本 和 售 价 如 下 表 : 年产量/ 年种植成本/ 每吨售价 亩 亩 黄瓜 4吨 1.2 万 元 0.55 万 元 韭菜 6吨 0.9 万 元 0.3 万 元

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为 使 一 年 的 种 植 总 利 润( 总 利 润 = 总 销 售 收 入 ﹣ 总 种 植 成 本 )最 大 ,那 么 黄 瓜 和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( ) A . 50 , 0 B . 30 , 20 C . 20 , 30 D . 0 , 50 分析:根据线性规划解决实际问题,要先用字母表示变量,找出各量的关系 列出约束条件,设出目标函数,转化为线性规划问题.

解析

设种植黄瓜 x 亩,韭菜 y 亩,则由题意可知

求 目 标 函 数 z=x+0.9 y 的 最 大 值 ,

根据题意画可行域如图阴影所示. 当 目 标 函 数 线 l 向 右 平 移 ,移 至 点 A( 30 , 20 )处 时 ,目 标 函 数 取 得 最 大 值 , 即 当 黄 瓜 种 植 30 亩 , 韭 菜 种 植 20 亩 时 , 种 植 总 利 润 最 大 . 故 答 案 为 : B 点评:线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的 关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化 为简单的线性规划问题,再按如下步骤完成: ( 1 )作 图 ﹣ ﹣ 画 出 约 束 条 件 所 确 定 的 平 面 区 域 和 目 标 函 数 所 表 示 的 平 行 直 线 系 中 过 原 点 的 那 一 条 l; ( 2) 平 移 ﹣ ﹣ 将 l 平 行 移 动 , 以 确 定 最 优 解 的 对 应 点 A 的 位 置 ; ( 3) 求 值 ﹣ ﹣ 解 方 程 组 求 出 A 点 坐 标 ( 即 最 优 解 ) ,代入目标函数,即可求 出最值. 题型四:求非线性目标函数的最值

典 例 4: ( 1) 设 实 数 x, y 满 足

,则的最大值为



( 2) 已知 O 是坐标原点, 点 A ( 1, 0) , 若点 M ( x, y) 为平面区域上 的一个动点,则| + |的 最 小 值 是 .

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分析:与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最 值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成. 解答: ( 1) 表 示 点 ( x , y) 与 原 点 ( 0 , 0 ) 连 线 的 斜 率 , 在 点 ( 1 , )处

取到最大值. ( 2) 依 题 意 得 , + = ( x+1 , y ) ,| + |= 可 视 为 点 ( x, y)

与 点 ( ﹣ 1, 0) 间 的 距 离 , 在 坐 标 平 面 内 画 出 题 中 的 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 , 结 合 图 形 可 知 , 在 该 平 面 区 域 内 的 点 中 , 由 点 ( ﹣ 1 , 0 ) 向 直 线 x+ y=2 引 垂 线 的 垂 足 位 于 该 平 面 区 域 内 ,且 与 点( ﹣ 1 ,0 )的 距 离 最 小 ,因 此 | |的 最 小 值 是 故答案为: ( 1) ( 2) = . . +

点评:常见代数式的几何意义有 ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 表 示 点 ( x, y) 与 原 点 ( 0, 0) 的 距 离 ; 表 示 点 ( x, y) 与 点 ( a, b) 之 间 的 距 离 ; 表 示 点 ( x, y) 与 原 点 ( 0, 0) 连 线 的 斜 率 ; 表 示 点 ( x, y) 与 点 ( a, b) 连 线 的 斜 率 .

【解题方法点拨】 1. 画 出 平 面 区 域 . 避 免 失 误 的 重 要 方 法 就 是 首 先 使 二 元 一 次 不 等 式 标 准 化 . 2 .在 通 过 求 直 线 的 截 距 截距 的 最 值 间 接 求 出 z 的 最 值 时 ,要 注 意 :当 b > 0 时 , 取最小值时,z 也取最小值;当 b 取最小值时,z 取最大值.

取最大值时,z 也取最大值;截距

<0 时,截距

取最大值时,z 取最小值;截距

10 . 等 差 数 列 的 性 质 【知识点的知识】 等差数列的性质: ( 1) 若 公 差 d> 0, 则 为 递 增 等 差 数 列 ; 若 公 差 d< 0, 则 为 递 减 等 差 数 列 ; 若 公 差 d=0 , 则 为 常 数 列 ; ( 2) 有 穷 等 差 数 列 中 , 与 首 末 两 端 “等 距 离 ”的 两 项 和 相 等 , 并 且 等 于 首 末 两 项之和; + ( 3 ) m , n ∈ N , 则 a m =a n + ( m ﹣ n ) d ; ( 4 ) 若 s , t , p , q ∈ N * , 且 s+t=p+q , 则 a s +a t =a p +a q , 其 中 a s , a t , a p , a q 是 数 列 中 的 项 , 特 别 地 , 当 s+t=2p 时 , 有
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a s +a t =2a p ; ( 5 )若 数 列 {a n } , {b n } 均 是 等 差 数 列 ,则 数 列 {ma n +kb n } 仍 为 等 差 数 列 ,其 中 m, k 均 为 常 数 . ( 6) an, an﹣ 1, an﹣ 2, …, a2, a1 仍 为 等 差 数 列 , 公 差 为 ﹣ d. ( 7 )从 第 二 项 开 始 起 ,每 一 项 是 与 它 相 邻 两 项 的 等 差 中 项 ,也 是 与 它 等 距 离 的 前 后 两 项 的 等 差 中 项 , 即 2a n + 1 =a n +a n + 2 , + 2a n =a n ﹣ m +a n + m , ( n ≥ m+1 , n , m ∈ N ) ( 8 ) a m , a m + k , a m + 2 k , a m + 3 k , … 仍 为 等 差 数 列 , 公 差 为 kd ( 首 项 不 一 定 选 a1) . 11 . 等 比 数 列 的 性 质 【知识点的知识】 等比数列的常用性质 ( 1 )通 项 公 式 的 推 广 : an=a m ? q m , ( n ,m∈ N * ) . ( 2 )若 {an} 为 等 比 数 列 , 且 k+l= m+n , ( k , l, m, n ∈ N *) , 则 ak ? al=am ? an ( 3 )若 {a n} ,{bn}( 项 数 相 同 )是 等 比 数 列 ,则 { λ an }( λ≠ 0 ) ,{a} ,{an ? b n} , 仍是等比数列. ( 4) 单调性: 或 ? {an} 是 递 增 数 列 ; 或? {an}
n﹣

是 递 减 数 列 ; q=1 ? {a n} 是 常 数 列 ; q < 0 ? {an} 是 摆 动 数 列 . 12 . 数 列 与 函 数 的 综 合 【知识点的知识】 一、数列的函数特性: 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 前 n 项 和 公 式 中 共 涉 及 五 个 量 a1, an, q, n , Sn ,知 三 求 二 ,体 现 了 方 程 的 思 想 的 应 用 .解 答 数 列 与 函 数 的 综 合 问 题 要 善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法,一 般递推法,数列求和及求通项等方法来分析、解决问题. 二、解题步骤: 1. 在 解 决 有 关 数 列 的 具 体 应 用 问 题 时 : ( 1)要 读 懂 题 意 ,理 解 实 际 背 景 ,领 悟 其 数 学 实 质 ,舍 弃 与 解 题 无 关 的 非 本 质性东西; ( 2) 准 确 地 归 纳 其 中 的 数 量 关 系 , 建 立 数 学 模 型 ; ( 3) 根 据 所 建 立 的 数 学 模 型 的 知 识 系 统 , 解 出 数 学 模 型 的 结 果 ; ( 4) 最 后 再 回 到 实 际 问 题 中 去 , 从 而 得 到 答 案 . 2. 在 求 数 列 的 相 关 和 时 , 要 注 意 以 下 几 个 方 面 的 问 题 : ( 1) 直 接 用 公 式 求 和 时 , 注 意 公 式 的 应 用 范 围 和 公 式 的 推 导 过 程 . ( 2 )注 意 观 察 数 列 的 特 点 和 规 律 ,在 分 析 数 列 通 项 的 基 础 上 ,或 分 解 为 基 本 数列求和,或转化为基本数列求和. ( 3 )求 一 般 数 列 的 前 n 项 和 时 ,无 一 般 方 法 可 循 ,要 注 意 掌 握 某 些 特 殊 数 列 的前 n 项和的求法,触类旁通.

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3.在 用 观 察 法 归 纳 数 列 的 通 项 公 式( 尤 其 是 在 处 理 客 观 题 目 时 )时 ,要 注 意 适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项,否则会因为所计算的数列 的项数过少,而归纳出错误的通项公式,从而得到错误的结论. 【典型例题分析】 典 例 : 已 知 f ( x ) =lo g a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) , 设 数 列 f( a 1 ) , f( a 2 ) , f( a 3 ) , …, f( an) …是 首 项 为 4, 公 差 为 2 的 等 差 数 列 . ( I ) 设 a 为 常 数 , 求 证 : {a n } 成 等 比 数 列 ; ( II ) 设 b n =a n f ( a n ) , 数 列 {b n } 前 n 项 和 是 S n , 当 时 , 求 Sn. 分析: ( I ) 先 利 用 条 件 求 出 f ( a n ) 的 表 达 式 , 进 而 求 出 {a n } 的 通 项 公 式 , 再 用 定 义 来 证 {a n } 是 等 比 数 列 即 可 ; ( II ) 先 求 出 数 列 {b n } 的 通 项 公 式 , 再 对 数 列 {b n } 利 用 错 位 相 减 法 求 和 即 可 . 解答:证明: ( I ) f ( a n ) =4+ ( n ﹣ 1 ) × 2=2n+2 , 2n+2 即 log a a n =2n+2 , 可 得 a n =a . ∴ = = 为定值.

∴ {a n } 为 等 比 数 列 . (5 分) 2n+2 2n+2 2n+2 ( II ) 解 : b n =a n f ( a n ) =a log a a = ( 2n+2 ) a . (7 分) 当 时,
3 4 5 n+2

. (8 分)

S n =2 × 2 +3 × 2 +4 × 2 ++ ( n+1 ) ? 2 ① 4 5 6 n+2 n+3 2S n =2 × 2 +3 × 2 +4 × 2 ++n ? 2 + ( n+1 ) ? 2 ② 3 4 5 n+2 n+3 ① ﹣ ② 得 ﹣ S n =2 × 2 +2 +2 ++2 ﹣ ( n+1 ) ? 2 ( 12 分 ) =
n+3

﹣ ( n+1 ) ? 2

n+3

=16+2

n+3

﹣ 2 ﹣ n?2

4

n+3

﹣2

n+3



∴ S n =n ? 2 . ( 14 分 ) 点评:本题的第二问考查了数列求和的错位相减法.错位相减法适用于通项 为一等差数列乘一等比数列组成的新数列. 13 . 平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 【平面向量数量积的运算】 平 面 向 量 数 量 积 运 算 的 一 般 定 理 为 ①( ± ) = + )=
2 2 2

±2 ? +

2

. ②( ﹣ ) (



2

. ③ ?( ? ) ≠( ? ) ? , 从 这 里 可 以 看 出 它 的 运 算 法 则 和

数的运算法则有些是相同的,有些不一样. 【例题解析】 例:由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“ mn=n m ” 类 比 得 到 “ ” )? = ”;

②“ ( m+n ) t= mt+n t ” 类 比 得 到 “ (

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③“ t ≠ 0 , mt=n t ? m=n ” 类 比 得 到 “ ④“ |m ? n |= |m| ? |n | ” 类 比 得 到 “ | |= | | ? | | ” ; )? =

?

”;

⑤“ ( m ? n ) t= m ( n ? t ) ” 类 比 得 到 “ ( ⑥“ ”类 比 得 到 .

”;

以上的式子中,类比得到的结论正确的

是 ①② . 解 : ∵向 量 的 数 量 积 满 足 交 换 律 , ∴ “ mn=n m ” 类 比 得 到 “ 即 ①正 确 ; ∵向 量 的 数 量 积 满 足 分 配 律 , ∴ “ ( m+n ) t= mt+nt ” 类 比 得 到 “ ( 即 ②正 确 ; ∵向 量 的 数 量 积 不 满 足 消 元 律 , ∴ “ t ≠ 0 , mt=nt ? m=n ” 不 能 类 比 得 到 “ 即 ③错 误 ; ∵| |≠ | |? | |, |= | | ? | | ” ; ? ”, )? = ”, ”,

∴ “ |m ? n |= |m| ? |n | ” 不 能 类 比 得 到 “ | 即 ④错 误 ; ∵向 量 的 数 量 积 不 满 足 结 合 律 ,

∴ “ ( m ? n ) t= m ( n ? t ) ” 不 能 类 比 得 到 “ ( 即 ⑤错 误 ; ∵向 量 的 数 量 积 不 满 足 消 元 律 , ∴ ”不 能 类 比 得 到 ,

)? =

”,

即 ⑥错 误 . 故 答 案 为 : ①② . 向 量 的 数 量 积 满 足 交 换 律 , 由 “ mn=n m ” 类 比 得 到 “ 满 足 分 配 律 , 故 “ ( m+ n ) t= mt+nt ” 类 比 得 到 “ ( )? = ”; 向 量 的 数 量 积 ”; 向 量

的数量积不满足消元律, 故 “t≠0, mt=n t ? m= n ” 不 能 类 比 得 到 “ ? ”; | | ≠ | | ? | | , 故 “ |m ? n |= |m| ? |n | ” 不 能 类 比 得 到 “ |
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|= | | ? | | ” ; 向 量

的 数 量 积 不 满 足 结 合 律 , 故 “ ( m ? n ) t= m ( n ? t ) ” 不 能 类 比 得 到 “ ( ”; 向 量 的 数 量 积 不 满 足 消 元 律 , 故 ”不 能 类 比 得 到

)? = .

【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握,这个知识点和三角函数联系比较多,也是 一个常考点,题目相对来说也不难,所以是拿分的考点,希望大家都掌握. 14 . 复 数 求 模 【知识点的知识】 1 . 复 数 的 概 念 : 形 如 a+bi ( a , b ∈ R ) 的 数 叫 复 数 , 其 中 a , b 分 别 是 它 的 实 部 和 虚 部 . 若 b=0 , 则 a+bi 为 实 数 ; 若 b ≠ 0 , 则 a+ b i 为 虚 数 ; 若 a= 0 , b ≠ 0 , 则 a+bi 为 纯 虚 数 . 2 、 复 数 相 等 : a+b i=c +di ? a=c , b=d ( a , b , c , d ∈ R ) . 3 、 共 轭 复 数 : a+b i 与 c+di 共 轭 ? a=c , b+d= 0 ( a , b , c , d ∈ R ) . 4 、复 数 的 模 : . 的 长 度 叫 做 复 数 z=a+bi 的 模 ,记 作 |z| 或 |a+b i| , 即 |z|= |a+bi|=

15 . 几 何 概 型 【考点归纳】 1. 定 义 : 若 一 个 试 验 具 有 下 列 特 征 : ( 1 )每 次 试 验 的 结 果 有 无 限 多 个 ,且 全 体 结 果 可 用 一 个 有 度 量 的 几 何 区 域 来 表示; ( 2) 每 次 试 验 的 各 种 结 果 是 等 可 能 的 . 那么这样的试验称为几何概型. 2. 几 何 概 率 : 设 几 何 概 型 的 基 本 事 件 空 间 可 表 示 成 可 度 量 的 区 域 Ω, 事 件 A 所 对 应 的 区 域 用 A 表 示 ( A?Ω) , 则 P( A) = 率. 16 . 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 列 【考点归纳】 1、 相 关 概 念 ; ( 1 )随 机 变 量 :如 果 随 机 试 验 的 结 果 可 以 用 一 个 变 量 来 表 示 ,那 么 这 样 的 变 量 叫 做 随 机 变 量 随 机 变 量 常 用 希 腊 字 母 ξ、 η 等 表 示 . ( 2) 离散型随机变量: 对于随机变量可能取的值, 可以按一定次序一一列出, 这 样 的 随 机 变 量 叫 做 离 散 型 随 机 变 量 . 若 ξ 是 随 机 变 量 , η =a ξ +b , 其 中 a 、 b 是常数,则 η 也是随机变量. ( 3 )连 续 型 随 机 变 量 :对 于 随 机 变 量 可 能 取 的 值 ,可 以 取 某 一 区 间 内 的 一 切 值,这样的变量就叫做连续型随机变量 称为事件 A 的几何概

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( 4 )离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变 量 的 区 别 与 联 系 :离 散 型 随 机 变 量 与 连 续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果 可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出. 2、 离 散 型 随 机 变 量 ( 1 )随 机 变 量 :在 随 机 试 验 中 ,试 验 可 能 出 现 的 结 果 可 以 用 一 个 变 量 X 来 表 示 ,并 且 X 是 随 着 试 验 结 果 的 不 同 而 变 化 的 ,这 样 的 变 量 X 叫 做 一 个 随 机 变 量 .随 机 变 量 常 用 大 写 字 母 X ,Y ,… 表 示 ,也 可 以 用 希 腊 字 母 ξ ,η ,… 表 示 . ( 2) 离散型随机变量: 如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来, 则称 X 为离散型随机变量. 3、 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 . ( 1) 定 义 : 一 般 地 , 设 离 散 型 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 值 为 x1, x2, …, xn; X 取 每 一 个 对 应 值 的 概 率 分 别 为 p1, p2, …, pn, 则 得 下 表 : … … X x1 x2 xi xn … … P p1 p2 pi pn 该表为随机变量 X 的概率分布,或称为离散型随机变量 X 的分布列. ( 2 ) 性 质 : ① p i ≥ 0 , i=1 , 2 , 3 , … , n ; ② p 1 +p 2 + … +p n =1 . 17 . 二 项 式 定 理 的 应 用 【知识点的知识】 二项式定理的应用: ( 1) 求 特 征 项 : 先 求 通 项 公 式 , 再 求 满 足 条 件 的 r; ( 2) 求 二 项 式 系 数 及 项 的 系 数 的 问 题 : ①二 次 项 系 数 : 每 项 中 的 组 合 数 ②项 的 系 数 : 除 去 变 量 以 外 的 部 分 ( 3) 证 明 组 合 恒 等 式 问 题 : 熟 记 组 合 数 的 各 个 性 质 ; ( 4)整 除 、余 数 的 问 题 :通 常 把 底 数 适 当 地 拆 成 两 项 之 和 或 之 差 ,再 按 二 项 式定理展开推得所求结论; n ( 5) 近 似 计 算 的 问 题 : 一 般 地 , 当 a 较 小 时 , ( 1+a ) ≈ 1+na * 记 清 二 项 展 开 式 的 特 点 ,熟 记 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 是 正 确 应 用 二 项 式 定 理 的关键. 18 . 程 序 框 图 【知识点的知识】 1. 程 序 框 图 ( 1)程 序 框 图 的 概 念 :程 序 框 图 又 称 流 程 图 ,是 一 种 用 规 定 的 图 形 、指 向 线 及文字说明来准确、直观地表示算法的图形; ( 2) 构 成 程 序 框 的 图 形 符 号 及 其 作 用 程序框 名称 功能 表示一个算法的起始和结束, 是任何算法程序框 图不可缺少的.

起止框

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输 入 、输 出框

表示一个算法输入和输出的信息, 可用在算法中 任何需要输入、输出的位置. 赋 值 、计 算 .算 法 中 处 理 数 据 需 要 的 算 式 、公 式 等, 它们分别写在不同的用以处理数据的处理框 内. 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明 “是 ”或 “Y”; 不 成 立 时 在 出 口 处 标 明 则 标 明 “否 ” 或 “N”. 算法进行的前进方向以及先后顺序

处理框

判断框

流程线

连结点 注释框

连接另一页或另一部分的框图 帮助编者或阅读者理解框图

( 3) 程 序 框 图 的 构 成 . 一个程序框图包括以下几部分:实现不同算法功能的相对应的程序框;带箭 头的流程线;程序框内必要的说明文字. 19 . 正 弦 函 数 的 对 称 性 【正弦函数的对称性】 正弦函数是定义域为 R 的奇函数, 既然是奇函数, 那么其图象关于原点对称, 即 有 sin( ﹣ x )= ﹣ sinx .另 外 ,正 弦 函 数 具 有 周 期 性 ,其 对 称 轴 为 x =k π + k∈z. 【例题解析】 例 : 函 数 y=sin2x+2sin x 的 对 称 轴 方 程 为 x= 解 : 由 于 函 数 y=sin2x +2sin x=sin 2x+1 ﹣ cos2x= 而 函 数 y= sin t 的 对 称 轴 为 则 ,解得
2 2 2



. ,

( k∈Z)

则 函 数 y= sin 2x+2sin x 的 对 称 轴 方 程 为 故答案为 .

这个题很有代表性,一般三角函数都是先化简,化成一个单独的正弦或者余 弦 函 数 , 然 后 把 2x ﹣ 【考点点评】
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看成一个整体,最后根据公式把单调性求出来即可.

这个考点非常重要,也很简单,大家熟记这个公式,并能够理解运用就可以 了. 20 . 解 三 角 形 【知识点的知识】 在解三角形时,常用定理及公式如下表: 名称 公式 内角和 定理 A+B+C= π + =

变形 ﹣ , 2A+2B=2 π

﹣C cosA= a =b +c ﹣ 2bccosA 2 2 2 b =a +c ﹣ 2accosB 2 2 2 c =a +b ﹣ 2abcosC
2 2 2

余弦定 理

cosB=

cosC= a=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC 正弦定 理 =2R R 为 △ ABC 的 外 接 圆 半 径 sinC= 射影定 理 acosB+bcosA=c acosC+ccosA=b bcosC+ccosB=a ①S△ = ②S△ = ③S△ = ④S△ = ( a+b+c ) ) ; ⑤S△ = ( a+b+c ) r , ( s= sinC= absinC= ah a = bh b = ch c bcsinA sinB= sinA= , sinB= ,

acsinB=

sinA=

面积公 式

( r 为 △ ABC 内 切 圆 半 径 ) 21 . 圆 的 一 般 方 程 【知识点的认识】

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1.圆 的 定 义 :平 面 内 与 定 点 距 离 等 于 定 长 的 点 的 集 合( 轨 迹 ) 叫 做 圆 .定 点 叫做圆心,定长就是半径. 2. 圆 的 一 般 方 程 : 2 2 2 2 x + y +Dx+Ey+ F= 0 ( D +E ﹣ 4F > 0 ) 其中圆心(﹣ ,﹣ ) , 半 径 r= .

3. 圆 的 一 般 方 程 的 特 点 : ( 1) x 和 y 系 数 相 同 , 且 不 等 于 0; ( 2) 没 有 xy 这 样 的 二 次 项 . 2 2 以 上 两 点 是 二 元 二 次 方 程 Ax +Bxy+C y +D x+E y+ F=0 表 示 圆 的 必 要 非 充 分 条 件. 22 . 抛 物 线 的 简 单 性 质 【知识点的知识】 抛物线的简单性质:
2 2

23 . 双 曲 线 的 标 准 方 程 【知识点的认识】 双曲线标准方程的两种形式: ( 1) 距 |F 1 F 2 |=2c ; ( 2) ( a> 0, b> 0) , 焦 点 在 y 轴 上 , 焦 点 坐 标 为 F( 0 , ± c ) ,焦 ( a> 0, b> 0) , 焦 点 在 x 轴 上 , 焦 点 坐 标 为 F( ± c , 0 ) ,焦

距 |F 1 F 2 |=2c . 2 2 2 两 种 形 式 相 同 点 : 形 状 、 大 小 相 同 ; 都 有 a> b> 0; , c =b +a 两种形式不同点:位置不同;焦点坐标不同.

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标 准 方 程

( a> 0, b> 0) 中心在原点,焦点在 x 轴上

( a> 0, b> 0) 中心在原点,焦点在 y 轴上

图 形

顶 点 对 称 轴 焦 点 焦 距 离 心 率 准 线

( a, 0) 和 ( ﹣ a, 0) x 轴 、 y 轴 , 实 轴 长 2a , 虚 轴 长 2b 焦点在实轴上 F1( ﹣ c, 0) , F2 ( c , 0 )
2 2 2

( 0, a) 和 ( 0, ﹣ a) x 轴 、 y 轴 , 实 轴 长 2a , 虚 轴 长 2b 焦点在实轴上 F1( 0, ﹣ c) , F2 ( 0 , c ) |F 1 F 2 |=2c ( c > 0 ) 2 c =a +b
2 2

|F 1 F 2 |=2c ( c > 0 )

c =a +b

e=

( e> 1)

e=

( e> 1)

x= ±

y= ±

24 . 圆 与 圆 锥 曲 线 的 综 合 【知识点的知识】 1、 抛 物 线 的 简 单 性 质 :

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2、 双 曲 线 的 标 准 方 程 及 几 何 性 质 标准方程 ( a> 0, b> 0) ( a> 0, b> 0)

图形

焦点 焦距 范围 对称 顶点 轴 性 离心率 准线

F1( ﹣ c, 0) , F2 ( c , 0 ) F1( 0, ﹣ c) , F2 ( 0 , c ) 2 2 2 |F 1 F 2 |=2c a +b =c |x | ≥ a , y ∈ R |y| ≥ a , x ∈ R 关于 x 轴,y 轴和原点对称 ( ﹣ a, 0) . ( a, 0) ( 0, ﹣ a) ( 0, a) 实 轴 长 2a , 虚 轴 长 2b e= x= ± =1 ( e> 1) y= ± =1

渐近线 质

±

±

25 . 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 v. 26 . 由 三 视 图 求 面 积 、 体 积 【知识点的认识】
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1. 三视图: 观测者从不同位置观察同一个几何体, 画出的空间几何体的图形, 包括: ( 1) 主 视 图 : 物 体 前 后 方 向 投 影 所 得 到 的 投 影 图 , 反 映 物 体 的 高 度 和 长 度 ; ( 2) 左 视 图 : 物 体 左 右 方 向 投 影 所 得 到 的 投 影 图 , 反 映 物 体 的 高 度 和 宽 度 ; ( 3) 俯 视 图 : 物 体 上 下 方 向 投 影 所 得 到 的 投 影 图 , 反 映 物 体 的 长 度 和 宽 度 . 2. 三 视 图 的 画 图 规 则 :

( 1) 高 平 齐 : 主 视 图 和 左 视 图 的 高 保 持 平 齐 ; ( 2) 长 对 正 : 主 视 图 和 俯 视 图 的 长 相 对 应 ; ( 3) 宽 相 等 : 俯 视 图 和 左 视 图 的 宽 度 相 等 . 3. 常 见 空 间 几 何 体 表 面 积 、 体 积 公 式

( 1) 表 面 积 公 式 :

( 2) 体 积 公 式 :

【解题思路点拨】 1. 解 题 步 骤 : ( 1) 由 三 视 图 定 对 应 几 何 体 形 状 ( 柱 、 锥 、 球 ) ( 2) 选 对 应 公 式 ( 3) 定 公 式 中 的 基 本 量 ( 一 般 看 俯 视 图 定 底 面 积 , 看 主 、 左 视 图 定 高 ) ( 4) 代 公 式 计 算 2. 求 面 积 、 体 积 常 用 思 想 方 法 : ( 1 )截 面 法 :尤 其 是 关 于 旋 转 体 及 与 旋 转 体 有 关 的 组 合 体 问 题 ,常 用 轴 截 面 进行分析求解;
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( 2) 割 补 法 : 求 不 规 则 图 形 的 面 积 或 几 何 体 的 体 积 时 常 用 割 补 法 ; ( 3 )等 体 积 转 化 :充 分 利 用 三 棱 锥 的 任 意 一 个 面 都 可 以 作 为 底 面 的 特 点 ,灵 活求解三棱锥的体积; ( 4) 还 台 为 锥 的 思 想 : 这 是 处 理 台 体 时 常 用 的 思 想 方 法 . 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一,是新课程高考重点考查的内 容 .解 答 此 类 问 题 ,必 须 熟 练 掌 握 三 视 图 的 概 念 ,弄 清 视 图 之 间 的 数 量 关 系 : 正视图、俯视图之间长相等,左视图、俯视图之间宽相等,正视图、左视图 之 间 高 相 等( 正 俯 长 对 正 ,正 左 高 平 齐 ,左 俯 宽 相 等 ) ,要 善 于 将 三 视 图 还 原 成 空 间 几 何 体 ,熟 记 各 类 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积 公 式 ,正 确 选 用 ,准 确 计 算 . 例:某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.8 ﹣ 2 π

B.8 ﹣ π

C.8 ﹣

D.8 ﹣ 圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切

分析:几何体是正方体切去两个

去的圆柱的底面半径和高,把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算. 解答:由三视图知:几何体是正方体切去两个 圆柱,

正 方 体 的 棱 长 为 2, 切 去 的 圆 柱 的 底 面 半 径 为 1, 高 为 2, ∴几 何 体 的 体 积 V=2 ﹣ 2 ×
3

×π× 1 × 2=8 ﹣ π .

2

故 选 : B. 点评:本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状 及数据所对应的几何量是解题的关键. 27 . 异 面 直 线 及 其 所 成 的 角 【知识点的知识】 1、 异 面 直 线 所 成 的 角 : 直 线 a, b 是异面直线, 经 过 空 间 任 意 一 点 O, 作 直 线 a′, b′, 并 使 a′∥a, b′∥b. 我 们 把 直 线 a′和 b′所 成 的 锐 角 ( 或 直 角 ) 叫 做 异 面 直 线 a 和 b 所 成 的 角 . 异 面 直 线 所 成 的 角 的 范 围 :θ ∈( 0 , 2、 求 异 面 直 线 所 成 的 角 的 方 法 :
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] .当 θ =90 °时 ,称 两 条 异 面 直 线 互 相 垂 直 .

求异面直线的夹角关键在于平移直线,常用相似比,中位线,梯形两底,平 行平面等手段来转移直线. 3、 求 异 面 直 线 所 成 的 角 的 方 法 长 用 到 的 知 识 :

28 . 与 二 面 角 有 关 的 立 体 几 何 综 合 题 【知识点的知识】 1、 二 面 角 的 定 义 : 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面 角 的 棱 , 这 两 个 半 平 面 叫 做 二 面 角 的 面 . 棱 为 AB 、 面 分 别 为 α 、 β 的 二 面 角 记 作 二 面 角 α ﹣ AB ﹣ β . 有 时 为 了 方 便 , 也 可 在 α 、 β 内 ( 棱 以 外 的 半 平 面 部 分 ) 分 别 取 点 P 、 Q , 将 这 个 二 面 角 记 作 P ﹣ AB ﹣ Q . 如 果 棱 记 作 l , 那 么 这

个 二 面 角 记 作 二 面 角 α﹣ l﹣ β 或 P﹣ l﹣ Q. 2、 二 面 角 的 平 面 角 ? ? 在 二 面 角 α﹣ l﹣ β 的 棱 l 上 任 取 一 点 O, 以 点 O 为 垂 足 , 在 半 平 面 α 和 β 内 分 别 作 垂 直 于 棱 l 的 射 线 OA 和 OB , 则 射 线 OA 和 OB 构 成 的 ∠ AOB 叫 做 二 面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是 多 少 度 ,就 说 这 个 二 面 角 是 多 少 度 .平 面 角 是 直 角 的 二 面 角 叫 做 直 二 面 角 .二 面 角 的 平 面 角 ∠ AOB 的 大 小 与 点 O 的 位 置 无 关 ,也 就 是 说 ,我 们 可 以 根 据 需 要 来 选 择 棱 l 上 的 点 O. 3、 二 面 角 的 平 面 角 求 法 : ( 1) 定 义 ; ( 2) 三 垂 线 定 理 及 其 逆 定 理 ; ①定 理 内 容 : 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么,它就和这条斜线垂直. ②三 垂 线 定 理 ( 逆 定 理 ) 法 : 由 二 面 角 的 一 个 面 上 的 斜 线 ( 或 它 的 射 影 ) 与 二面角的棱垂直,推得它位于二面角的另一的面上的射影(或斜线)也与二 面角的棱垂直,从而确定二面角的平面角. ( 3)找( 作 )公 垂 面 法 :由 二 面 角 的 平 面 角 的 定 义 可 知 两 个 面 的 公 垂 面 与 棱 垂直,因此公垂面与两个面的交线所成的角,就是二面角的平面角. ; ( 4) 平 移 或 延 长 ( 展 ) 线 ( 面 ) 法 ; ( 5) 射 影 公 式 ;
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( 6) 化 归 为 分 别 垂 直 于 二 面 角 的 两 个 面 的 两 条 直 线 所 成 的 角 ; ( 7 )向 量 法 :两 平 面 所 成 的 角 的 大 小 与 分 别 垂 直 于 这 平 面 的 两 向 量 所 成 的 角 (或补角)相等. 29 . 圆 的 切 线 的 判 定 定 理 的 证 明 【知识点的知识】 1、 直 线 和 圆 的 位 置 关 系 : 相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割 线. 相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切 线,唯一的公共点叫做切点. 相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 2、 切 线 的 性 质 定 理 : 圆 的 切 线 垂 直 于 过 切 点 的 直 径 ( 或 半 径 ) . 3、 由 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 和 切 线 的 性 质 定 理 推 理 总 结 出 切 线 的 判 定 定 理 : 切线的判定定理:经过半径(或直径)的外端并且垂直于这条半径(直径) 的直线是圆的切线. 注 意 : “经 过 半 径 ( 或 直 径 ) 的 外 端 ”和 “垂 直 于 这 条 半 径 ( 或 直 径 ) ”这 两 个 条件缺一不可. 4、 切 线 的 判 定 方 法 : ①直 线 到 圆 心 的 距 离 等 于 该 圆 的 半 径 ( 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ) ; ②线 与 圆 有 唯 一 公 共 点 ( 切 线 定 义 ) ; ③切 线 的 判 定 定 理 . 30 . 简 单 曲 线 的 极 坐 标 方 程 【知识点的认识】 一、曲线的极坐标方程 定 义 : 如 果 曲 线 C 上 的 点 与 方 程 f ( ρ , θ ) =0 有 如 下 关 系 ( 1) 曲 线 C 上 任 一 点 的 坐 标 ( 所 有 坐 标 中 至 少 有 一 个 ) 符 合 方 程 f( ρ, θ) =0 ; ( 2 ) 以 方 程 f ( ρ , θ ) =0 的 所 有 解 为 坐 标 的 点 都 在 曲 线 C 上 . 则 曲 线 C 的 方 程 是 f ( ρ , θ ) =0 . 二、求曲线的极坐标方程的步骤: 与直角坐标系里的情况一样 ①建 系 ( 适 当 的 极 坐 标 系 ) ②设 点 ( 设 M( ρ, θ) 为 要 求 方 程 的 曲 线 上 任 意 一 点 ) ③列 等 式 ( 构 造 △ , 利 用 三 角 形 边 角 关 系 的 定 理 列 关 于 M 的 等 式 ) ④将 等 式 坐 标 化 ⑤化 简 ( 此 方 程 f ( ρ , θ ) =0 即 为 曲 线 的 方 程 ) 三、圆的极坐标方程 ( 1 ) 圆 心 在 极 点 , 半 径 为 r , ρ =r . ( 2) 中 心 在 C( ρ0, θ0) , 半 径 为 r. 2 2 2 ρ + ρ 0 ﹣ 2 ρρ 0 cos ( θ ﹣ θ 0 ) =r .
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四、直线的极坐标方程 ( 1) 过 极 点 , θ=θ0( ρ∈R) ( 2 ) 过 某 个 定 点 垂 直 于 极 轴 , ρ cos θ =a ( 3 ) 过 某 个 定 点 平 行 于 极 轴 , rsin θ =a ( 4) 过 某 个 定 点 ( ρ1, θ1) , 且 与 极 轴 成 的 角 度 α , ρ sin ( α ﹣ θ ) = ρ 1 sin ( α ﹣ θ1) 五、直线的极坐标方程步骤 1、 据 题 意 画 出 草 图 ; 2、 设 点 M( ρ, θ) 是 直 线 上 任 意 一 点 ; 3 、 连 接 MO ; 4、 根 据 几 何 条 件 建 立 关 于 ρ, θ 的 方 程 , 并 化 简 ; 5、 检 验 并 确 认 所 得 的 方 程 即 为 所 求 . 31 . 参 数 方 程 的 概 念 【知识点的认识】 参数方程的定义 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 如 果 曲 线 上 任 意 一 点 的 坐 标 ( x, y) 都 是 某 个 变 数 t 的 函 数 ,即 ,并 且 对 于 t 的 每 一 个 允 许 值 ,由 该 方 程 组 所 确 定 的 点 M

( x, y) 都 在 这 条 曲 线 上 , 那 么 此 方 程 组 就 叫 做 这 条 曲 线 的 参 数 方 程 , 联 系 变 数 x, y 的 变 数 t 叫 做 参 变 数 , 简 称 参 数 . 对 于 参 数 方 程 而 言 , 直 接 给 出 点 的 坐 标 间 关 系 的 方 程 F ( x , y ) =0 叫 做 普 通 方 程 .

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