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【甘肃兰州、张掖一诊】甘肃省兰州市、张掖市2014届高三第一次诊断考试数学(文)试题Word版含解析


2014 年兰州市高三第一次诊断考试数学(文科)试卷
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用 0.5 毫 米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效。

第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求) 1. 已知集合 P ? { x | x( x ? 3) ? 0 } , Q ? { x || x |? 2 } ,则 P ? Q ? ( A. ( ? 2 , 0 ) 【答案】B 【KS5U 解析】因为集合 P ? { x | x( x ? 3) ? 0 } ? { x | 0 ? x ? 3} , B. ( 0 , 2 ) C. ( 2 , 3 ) D. ( ? 2 , 3 ) )

Q ? { x || x |? 2 } ? { x | ?2 ? x ? 2 } ,所以 P ? Q ? ( 0 , 2 ) 。 3?i 2. i 是虚数单位,复数 = ( ) 1? i
A. 2 ? i 【答案】A 【KS5U 解析】 B. 1 ? 2i C. 1 ? 2i D. 2 ? i

3 ? i 3 ? i ? 3 ? i ??1 ? i ? ? ? ? 2 ? i ,因此选 A。 1 ? i 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?
S13=( ? an , )

3.已知等差数列 {an } 中,a3 ? a7 ? a10 ? 0, a11 ? a4 ? 4 , 记 S n ? a1 ? a2 ? A.78 【答案】D 【KS5U 解析】因为 a3 ? a7 ? a10 ? 0, a11 ? a4 ? 4 ,所以 B.68 C.56 D.52

a1 ? d ?

4 。所以 S13=52. 7
)

4.如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为 (

A. 3 ? 【答案】D

?
6

B. 3 ?

4 ? 3

C. 3 3 ?

4 ? 3

D. 3 3 ?

?
6

【KS5U 解析】由三视图知:原几何体是一个三棱锥和球的组合体。其中三棱锥的侧棱长为 3, 底面边长为 2。 球的直径为 1, 应该几何体的体积为 5.设 a=log3 2,b=log2 3,c= log 1 5 ,则(
2

? 3 2 4 ?1? ? 2 ?3? ? ?? ? ? 3 3 ? 6。 4 3 ?2?

3



A.c﹤b﹤a
【答案】C

B.a﹤c﹤b C. c﹤a﹤b. D.b﹤c﹤a

【KS5U 解析】因为 0<a=log3 2 ? log3 3=1,b=log 2 3 ? log 2 2=1,c= log 1 5 ? log 1 1 ? 0 ,
2 2

因此选 C。 6. 已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ?,则? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ;

n与? 相交; ③如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么
④若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? . 其中正确的命题是 ( A.①② 【答案】D 【KS5U 解析】①若 m ? ? , m ? ?,则? ? ? ,正确,此为面面垂直的判定定理; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ,错误,若 m//n ) B.②③ C.③④ D.①④

就得不出 ? / / ? ; 与 n 还可能相

n与? 相交,错误,m ③如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么

交;
④若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? . ,正确。 7. 对具有线性相关关系的变量 x,y 有一组观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,8),其回归 直线方程是 y ?

1 x?a: ,且 x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6,则实数 a 的值是( 3 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 4 2 16 ?
1 3 3 ,代入回归直线方程得: a ? 8 。 x? ,y? 4 8



【答案】B 【KS5U 解析】由题意易知:

8.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 | F1 F2 | 为直径的 a 2 b2


圆与双曲线渐近线的一个交点为 (3, 4) ,则此双曲线的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 3 4

C.

x2 y 2 ? ?1 9 16

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

【答案】C 【KS5U 解析】因为以 | F1 F2 | 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 (3, 4) ,所以 c=5,

b 4 x2 y 2 ? ,又 c 2 ? a 2 ? b2 ,所以 a ? 3, b ? 4 ,所以 此双曲线的方程为 ? ?1 a 3 9 16 。
9. 执行如图所示的程序框图,那么输出的 S 为( )

(A)3 1 (C) 2

4 (B) 3 (D)-2

【答案】C 【KS5U 解析】
(第 10题 图 )

第一次循环: S ? 2 ? 第二次循环: S 第三次循环: S 第四次循环: S 第五次循环: S …… 第 2010 次循环:

2 S 2 ? 2? S 2 ? 2? S 2 ? 2? S 2 ? 2? S

4 , k ? k ? 1 ? 2 ,此时满足条件,继续循环; 3 1 ? , k ? k ? 1 ? 3 ,此时满足条件,继续循环; 2 ? ? ?2, k ? k ? 1 ? 4 ,此时满足条件,继续循环; ? 3, k ? k ? 1 ? 5 ,此时满足条件,继续循环; ? 4 , k ? k ? 1 ? 6 ,此时满足条件,继续循环; 3
1 , 此 时 不 满 足 条 件 , 结 束 循 环 , 所 以 输 出 的 S 为 2。

S ? 2?

2 1 ? , k ? k ? 1 ? 2011 S 2

10设 x, y ? R , a ? 1, b ? 1 ,若 a x ? b y ? 2 , a 2 ? b ? 4 ,则 A.1 【答案】B B.2 C.3

2 1 ? 的最大值为( x y
D.4

)

【 KS5U

x y 解 析 】 因 为 a ? b ? 2 , 所 以 x ? l oa g y ? 2 ,

b

,o 所 l g 以 2

? a2 ? b ? 2 1 2 ? ? 2 log 2 a ? log 2 b ? log 2 ? a 2b ? ? log 2 ? ? ? 2 ,当且仅当 a ? b ? 2 时取等 x y 2 ? ?
号。
11.如 图 , 矩 形 An Bn C n Dn 的 一 边 An Bn 在x 轴 上 , 另 外

2

1 两 个 顶 点C n , Dn 在 函 数 f ? x ? ? x ? ( x ? 0) 的 图 象 上 x
.若 点 Bn 的 坐 标

y Dn Cn

?n,0?(n ? 2, n ? N ? ) ,


记 矩 形 An Bn C n Dn 的 周 长 为a n ,

则a 2

? a3 ? ? ? a10 ? (
B.216

O An
D.220

Bn

x

A.208
【答案】B

C.212

(第 11 题图)

1? ? Cn ? n, n ? ? ,令 n? ? 1 1 1? 1 1? ? ?1 x ? ? n ? ,即x 2 ? ? n ? ? x ? 1 ? 0, 解得x ? n或x ? ,所以 Dn ? , n ? ? ,所以矩形 x n n? n n? ? ?n 1? ? 1? a ? a3 ? ? ? a10 ? 216. ? An Bn C n Dn 的周长 an ? 2 ? n ? ? ? 2 ? n ? ? ? 4n ,所以 2 n? ? n? ? 12. 设 f ( x) 的定义域为 D ,若 f ( x) 满足下面两个条件则称 f ( x) 为闭函数:① f ( x) 是 D 上单调函数;②存在 [a, b] ? D ,使 f ( x) 在 [a, b] 上值域为 [a, b] . 现已知
【KS5U 解析】由点 ) f ( x) ? 2 x ? 1 ? k 为闭函数,则 k 的取值范围是( 1 1 A. ?1 ? k ? ? B. ? k ? 1 C. k ? ?1 2 2 【答案】A 【KS5U 解析】易知 f ( x) ? D. k ? 1

Bn 的坐标 ?n,0 ?(n ? 2, n ? N ? ) ,得

? 1 ? 2 x ? 1 ? k 是 ? ? , ?? ? 上的增函数,符合条件①;设函数符 ? 2 ?
? ? 2a ? 1 ? k ? a ? ? 2b ? 1 ? k ? b
;故 是 2 x ? 1 ? k ? x 的两个不等根,

合条件②的区间为

,则 ?

? x 2 ? ? 2k ? 2 ? x ? k 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? ? 1 ? 即方程组为: ? x ? 有两个 ? ? , ?? ? 内的不等实根;设 2 ? 2 ? ? ?x ? k ?

为方

? ?? ? ? 2k ? 2 ?2 ? 4 ? k 2 ? 1? ? 0 ? ? 2k ? 2 1 ?? 程 x2 ? ? 2k ? 2? x ? k 2 ?1 ? 0 的二根,则 ? ,解得: 2 ? 2 ?? 1 ? 2 ? 1? 2 ?? ? ? ? (2k ? 2) ? ? ? ? ? k ? 1 ? 0 ? 2? ?? 2 ? 1 1 的取值范围 ?1 ? k ? ? . ?1 ? k ? ? 2 2 第Ⅱ卷 (90 分)
二、 填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 若 等 比 数 列

{an } 的 首 项 是 a1 , 公 比 为 q , Sn 是 其 前 n 项 和 , 则

Sn =_____________.
?na1 ? ? ? q ? 1 ? a (1 ? q n ) 【答案】 ? 1 ? 1? q ? ? ? q ?1 ?

? na1 ? ? ? q ? 1 ? 【KS5U 解析】有等比数列的前 n 项和公式可得: S n ? ? a (1 ? q n ) 1 ? 1 ? q ? ? ? q ? 1。 ?

? x-y+1≥0 ? 14.如果实数 x,y 满足条件 ?y+1≥0 , ? x+y+1≤0 ?
那么目标函数 z=2x-y 的最小值为____________. 【答案】—3,

? x-y+1≥0 ? 【KS5U 解析】画出约束条件 ?y+1≥0 的可行域,由可行域知:目标函数 z=2x-y 过点 ? x+y+1≤0 ?
(-2,-1)时取最小值,最小值为-3. 15.如图,过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线
2

及其准线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是 【答案】



y 2 ? 3x

【KS5U 解析】设

A ? x1 , y1 ?



B ? x2 , y2 ?

,作 AM、BN 垂直准线于点 M、N,则|BN|=|BF|,又

|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BN|,所以∠NCB=30°,有|AC|=2|AM|=6,

设|BF|=x,则 2x+x+3=6?x=1,而

x1 ?

p p p2 ? 3, x2 ? ? 1, 且x1 x2 ? 2 2 4 ,

p ?? p ? p2 3 ? 3 ? 1 ? , 解得p ? ? ?? ?? 2 ?? 2 ? 4 2 ,所以抛物线的方程为 y 2 ? 3x 。 所以 ?
16. 函 数 f (n) ? logn?1 (n ? 2)(n ? N ? ) , 定 义 使

f (1) f (2) f (3) ??? f (k ) 为整数的数 k (k ? N ? ) 叫
做企盼数,则在区间 [1 ,2013]内这样的企盼数共有 个 【答案】9 【 KS5U 解 析 】

f(

1 f ?

) ?

2

f

(?

3

… 2f

k?

?

?

) k ?4

? ?( ?

3

1

?

)

,令 log2 ? k ? 2? ? m ,则 2m ? k ? 2,即k ? 2m ? 2 ,所以在区间[1,2013]内这样的企 盼数共有 9 个。 三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 17.(本题满分 12 分)已知 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c ,向量

m =(cosB,cosC), n =(2a+c,b),且 m ⊥ n . (1)求角 B 的大小;
(2)若 b ?

3 ,求 a ? c 的范围

18(本小题满分 12 分)公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次: “酒后驾车” 和 “醉酒驾车” , 其判断标准是驾驶人员每 100 毫升血液中的酒精含量 X 毫克, 当 20≤X<80 时,认定为酒后驾车;当 X≥80 时,认定为醉酒驾车,张掖市公安局交通管理 部门在对我市路段的一次随机拦查行动中,依法检测了 200 辆机动车驾驶员的每 100 毫升 血液中的酒精含量,酒精含量 X(单位:毫克)的统计结果如下表: . X 人数

?0, 20?
t

?20,40?
1

?40,60?
2

?60,80?
1

?80,100?
1

?100, ???
1

依据上述材料回答下列问题: (1)求 t 的值: (2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取 2 人,求这 2 人中含有醉酒驾车司机的概率
P

19.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底面 ABCD , ABCD 是直角梯形, AB ? AD , AB / / CD ,

E

AB ? 2 AD ? 2CD ? 2, E 是 PB 的中点。
D

A C

B

(1)求证:EC//平面 PAD (2)求证:平面 EAC ? 平面 PBC x2 y2 20. (本小题满分 l2 分)设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1 (?1,0) 、 F2 (1, 0) , a b

直线 l : x ? a 2 交 x 轴于点 A ,且 AF . 1 ? 2 AF 2 (1)试求椭圆的方程; (2)过 F1 、 F2 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点(如图所 示) 试求四边形 D M E N 面积的最大值和最小值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ?

(1)当 a ? 0 且 b ? 1 时,证明:对 ?x ? 0 , f ? x ? ? g ? x ? ; (2)若 b ? 2 ,且 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (3)数列 ?a n ? ,若存在常数 M ? 0 , ?n ? N ? ,都有 a n ? M ,则称数列 ?a n ? 有上 界。已知 bn ? 1 ?

1 2 ax ? bx ? 1 , 2

1 1 ? ? ? ,试判断数列 ?bn ?是否有上界. 2 n

四、选做题: 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E , A 点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; E
2 (2)求证: 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB

O M

D C B 23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取 相同的长度单位, 建立极坐标系,设曲线 C 参数方程为 ? 极坐标方程为 ? cos( ? ?

? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

( ? 为参数) ,直线 l 的

?
4

) ? 2 2.

(1)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离,并求出这个点的坐标。 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (1) 已知 x 、 y 都是正实数,求证: x ? y ? x y ? xy ;
3 3 2 2

(2) 如果关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a ? ( x ? 2)2 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

数学(文科)答案

(仅供参考)
一、选择题:1——6 二、填空题: DADDCD 7——12 BCCBBA

?na1 ? ? ? q ? 1 ? 13 ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ? ? ? q ?1 ?

14 —3,

15 y 2 ? 3x ,16

9

三、 解答题: 17.解:∵ m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b),且 m⊥n. ∴cosB(2a+c)+ b cosC=0。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 ∴cosB(2sinA+sinC)+ sinB cosC=0 ∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0 即 2cosBsinA=-sin(B+C)=-sinA。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 ∴cosB=-1/2 ∵0≤B≤180 ∴B=120.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 (2)由余弦定理,得

2 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? ac 3 ? (a ? c) 2 ? ( a?c 2 3 ) ? (a ? c) 2 2 4
a?c? 2
当且仅当 a ? c 时,取等号.。 。 。 。10 分

? (a ? c) 2 ? 4
又a?c ?b ? 3 18(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)200-6=194

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 11 分

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 ? a ? c ? ( 3,2] 。

?????4 分

(Ⅱ)令酒后驾车的司机分别为 A、B、C 、D,醉酒驾车的司机分别为 a、 b 则 所 有 抽 取 的 可 能 为

( A, C ) ,(A,D) ( A, a) , ( A, b) ,(B,D) ( B, C ),( B, a) , ( B, b),(C, a),(C, b),(a, b) (A B , , )
(C,D),(D,a),(D,b) 则含有醉酒驾车司机概率为

9 3 ? ?????12 分 15 5

19(本小题满分 12 分) (1) 作线段 AB 的中点 F.连接 EF,CF.则 AF=CD AF∥CD 所以四边形 ADCF 是平行四边形 则 CF∥AD

又 EF∥AP 且 CF∩EF=F ∴面 CFE∥面 PAD 又 EC 包含于面 CEF ∴EC//平面 PAD …………6 分 (2) (Ⅰ)法一:几何方法证明:勾股定理→AC⊥BC,由已知得 AC⊥PC,证出 AC⊥平 面 PCB,得证.…………………………………………….6 分 20(本题 12 分) 解: (1)由题意, | F1F2 | ? 2c ? 2,? A(a2 ,0),

? AF1 ? 2 AF2

? F2 为 AF1 的中点

? a 2 ? 3, b 2 ? 2
即:椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 3 2

…………………………………………(5分)

2 (2) 当直线 DE 与 x 轴垂直时,| DE |? 2 b ? 4 , 此时 | MN |? 2a ? 2 3 , 四边形 DMEN

a

3

的面积 S ? | DE | ? | MN | ? 4 .同理当 MN 与 x 轴垂直时,也有四边形 DMEN 的面
2

积 S ? | DE | ? | MN | ? 4 . 当直线 DE , MN 均与 x 轴不垂直时,设 DE : y ? k ( x ? 1) ,代入
2

消去 y 得: (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0. 设

? ? 6k 2 x1 ? x 2 ? , ? ? 2 ? 3k 2 D( x1 , y1 ), E ( x 2 , y 2 ),则? 2 ? x x ? 3k ? 6 , 1 2 ? 2 ? 3k 2 ?

4 3 (k 2 ? 1) 2 4 3 ? k 2 ?1 , 所以, 所以, , | DE | ? k ? 1 | x ? x | ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 2 2 ? 3k 2 3k 2 ? 2
同理
1 1 4 3[(? ) 2 ? 1] 4 3( 2 ? 1) k k | MN |? ? . 1 3 2 ? 3(? ) 2 2? 2 k k

………………………9 分

所以四边形的面积

| DE | ? | MN | 1 4 3 (k 2 ? 1) S? ? ? ? 2 2 2 ? 3k 2

4 3(

1 1 2 ? 1) 24(k ? 2 ? 2) k k2 ? 1 3 6(k 2 ? 2 ) ? 13 2? 2 k k

令 u ? k 2 ? 1 , 得S ? 24(2 ? u ) ? 4 ? 2
k 13 ? 6u
2 因为 u ? k ?

4 13 ? 6u

1 ? 2, 当 k ? ?1时, u ? 2, S ? 96 , 2 k 25
25

且 S 是以 u 为自变量的增函数,所以 96 ? S ? 4 . 综上可知, 96 ? S ? 4 .故四边形 DMEN 面积的最大值为 4,最小值为 96 .……12 分
25

25

21 。 解 : ⑴ 当 a ? 0 且 b ? 1 时 , 设 g ( x) ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 ,

?x ? 0 , g / ( x) ?

1 ? 1 ……1 分,解 g / ( x) ? 0 得 x ? 1 。 x 1 当 0 ? x ? 1 时 , g / ( x) ? ? 1 ? 0 , g ( x) 单 调 递 增 ; 当 x ? 1 时 , x 1 g / ( x) ? ? 1 ? 0 , g ( x) 单 调 递 减 , 所 以 g ( x) 在 x ? 1 处 取 最 大 值 , 即 x

?x ? 0 , g ( x) ? g (1) ? ln 1 ? 1 ? 1 ? 0 , ln x ? x ? 1 即 f ? x ? ? g ? x ? ……4 分
(2)若 b ? 2 , h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? = ln x 所以 h ?? x ? ?

1 2 ax - 2 x ? 1 2

因为函数 h? x ? 存在单调递减区间,所以 h ?? x ? ? 0 在 ?0,?? ? 上有解 所以 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 ?0,?? ? 上有解 所以 a ? 令t ?

1 ax 2 ? 2 x ? 1 - ax - 2 ? ? x x

1 ? 2x 2 ?1? 在 ?0,?? ? 上有解,即 ?x ? ?0,?? ? 使得 a ? ? ? ? 2 x x ? x?

2

1 , x ? 0 ,则 t ? 0 ,研究 y ? t 2 ? 2t , t ? 0 ,当 t ? 1 时, y min ? ?1 x 所以 a ? ?1 …………8 分 (3)数列 ?bn ? 无上界 1 1 1 1 1 n ?1 , x ? 1 ? ,由⑴得 ln(1 ? ) ? , ? ln , n n n n n n 1 1 2 3 n ?1 所以 bn ? 1 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln(n ? 1) , ?M ? 0 , 2 n 1 2 n
?n ? N ? ,设 x ? 1 ?
取 n 为任意一个不小于 e M 的自然数,则 bn ? ln(n ? 1) ? ln e M ? M ,数列

?bn ?无上界。…………12 分
四、选做题 22.证明: (1)连接 BE 、 OE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 又 OE ? OB , OD ? OD 所以 ?ODE ? ?ODB .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 所以 ?OED ? ?OBD ? 90? 所以 O 、 B 、 D 、 E 四点共圆 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 (2)延长 DO 交圆 O 于点 H 因为 DE ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH )
2

? DM ? DO ? DM ? OH .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 1 1 2 所以 DE ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB ) 2 2

所以 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分
2

23.(1)曲线 C: (2) 3 2

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : x ? y ? 4 ? 0 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 3
P( ?

3 1 ,? ) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 2 2

24.(1)证明:由 ( x3 ? y3 ) ? ( x2 y ? xy2 ) ? x2 ( x ? y) ? y 2 ( y ? x) 。 。 。 。 。3 分 ? ( x ? y)(x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 ( x ? y) 。 又 x 、 y 都是正实数, 所以 ( x ? y)2 ? 0 、 x ? y ? 0 ,即 ( x3 ? y3 ) ? ( x2 y ? xy2 ) ? 0 所以 x ? y ? x y ? xy 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分
3 3 2 2

(2) 设 g ( x) ? a ? ( x ? 2)2 ,由函数 f ( x ) 的图像与 g ( x) 的图像可知:

f ( x) 在 x ?[?1,5] 时取最小值为 6, f ( x) 在 x ? 2 时取最大值为 a ,
若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则 a ? 6 . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分


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