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2016山东省高考数学理科试题及完美解析


2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学
第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)若复数 z 满足 2 z ? z ? 3 ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 z = (A) 1 ? 2i (B) 1 ? 2i (C) ?1 ? 2i (D) ?1 ? 2i

(2)设集合 A ? y y ? 2 , x ? R , B ? x x ? 1 ? 0 , ,则 A U B =
x 2

?

?

?

?

(A) (-1,1)

(B) (0,1)

(C) (-1,+)

(D) (0,+)

(3) 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间 (单位:小时) , 制成了如图所示的频率分布直方图,期中自习时间的范围 是

?17.5,30?

















?17.5, 20? , ?20, 22.5? , ?22.5, 25? , ?25, 27.5? , ?27.5,30? , 根
据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小 时的人数是 (A)56 (B) 60 (C) 120 (D) 140

?x ? y ? 2 ? 2 2 (4)若变量 x , y 满足 ? 2 x ? 3 y ? 9 ,则 x ? y 的最大 ?x ? 0 ?
值是 (A) 4 (B)9 (C) 10 (D)12 (5) 一个由半球和四棱锥组成的几何体, 其三视图如右图所示, 则该几何体的体积为 (A)

1 2 ? ? 3 3

(B)

1 2 ? ? 3 3

1

1

1 俯(左)视图

1 2 (C) ? ? 3 6

2 (D) 1 ? ? 6

正(主)视图

俯视图

(6)已知直线 a , b 分别在两个不同的平面 ? , ? 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 ? 和 平面 ? 相交”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (7)函数 f ? x ? ? (A) (C) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?

3 sin x ? cos x

??

3 cos x ? sin x 的最小正周期是

?

? 2
3? 2

(B) ? (D) 2?

?? ? 1 ? ?? ? ?? ? ?? ? (8)已知非零向量 m , n 满足 4 m ? 3 n , cos m, n ? , n ? tm ? n ,则实数 t 的值为 3

?

?

(A) 4 (C)

(B) ? 4 (D) ?

9 4

9 4

(9) 已知函数 f ? x ? 的定义域为 R .当 x ? 0 是,f ? x ? =x 2 ? 1 ; 当 ?1 ? x ? 1时,f ? ? x ? ? ? f ? x ? ; 当x?
1 时, 2
1? 1? ? ? f ? x ? ? ? f ? x ? ? ,则 f ? 6 ? ? 2 2? ? ? ?

(A) ?2 (C)0

(B) ?1 (D) 2

(10)若函数 y ? f ? x ? 的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则 称 y ? f ? x ? 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是 (A) y ? sin x (B) y ? ln x (C) y ? e x (D) y ? x 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 (11)执行右边的程序框图,若输入的 a , b 的值分别为 0 和 9,则输出的 i 的值为________. (12)若 (ax ?
2

1 5 ) 的展开式中 x5 的系数是 ?80 ,则 x

实数 a ? _______. (13)已知双曲线 E1:

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? ,若矩形 a 2 b2

ABCD 的四个顶点在 E 上, AB ,CD 的中点为 E 的两个

焦点,且 2 AB ? 3 BC ,则 E 的离心率是_______. (14)在 ? ?1,1 ? 上随机地取一个数 k ,则事件“直线 y ? kx 与圆 ? x ? 5? ? y 2 ? 9 相交”发生的概
2

率为

.

x?m ?| x |, (15)已知函数 f ( x) ? ? 2 其中 m ? 0 ,.若存在实数 b ,使得关于 x 的方程 ? x ? 2mx ? 4m, x ? m
f ? x ? ? b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 (16) (本小题满分 12 分)

2 tan A ? tan B) ? 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 (

tan A tan B ? cos B cos A

(Ⅰ)证明: a ? b ? 2c ; (Ⅱ)求 cos C 的最小值. (17) (本小题满分 12 分) 在如图所示的圆台中,是下底面圆的直径,是上底面圆的直径,是圆台的一条母线。 (I)已知,分别为,的中点,求证: ; (II)已知, ,求二面角的余弦值。

E

O' G O

F H C B

A
(18) (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3n2 ? 8n , {bn } 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1 。 (Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)令 Cn ?

(an ? 1)n?1 . 求数列 {Cn } 的前 n 项和 Tn . (bn ? 2)n

(19) (本小题满分 12 分) 甲、 乙两人组成 “星队” 参加猜成语活动, 每轮活动中甲、 乙各猜一个成语, 在一轮活动中, 如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一人猜对,则“星队”得 1 分;如果两人都 没猜对,则“星队”得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是

3 2 ,乙每轮猜对的概率是 ;每轮 4 3

活动中甲、乙猜对与否互不影响,假设“星队”参加两轮活动,求: (Ⅰ)“星队”至少猜对 3 个成语的概率; (Ⅱ)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX . (20)(本小题满分 13 分)

已知 f ( x) ? a ? x ? ln x ? ?

2x ?1 ,a?R . x2 3 对于任意的 x ??1, 2? 成立. 2

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)当 a ? 1 时,证明 f ( x)>f ' ? x ? ? (21) (本小题满分 14 分) 平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a>b>0 ? 的离心率是 ,抛物线 E : 2 a b 2

x2 ? 2 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点。
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限, E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点

A、B ,线段 AB 的中点为 D ,直线 OD 与过 P 且垂直于 X 轴的直线交于点 M .
(i)求证:点 M 在定直线上; (ii)直线 l 与 y 轴交于点 G ,记 ?PFG 的面积为 S1 , ?PDM 的面积为 S2 ,求 大值及取得最大值时点 P 的坐标.

S1 的最 S2

2016 年普通高等学校招生全国统一考试答案解析(山东卷) 理科数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)答案:B 解析:设 z ? a ? bi, z ? a ? bi ,则

2(a ? bi) ? (a ? bi) ? 3 ? 2i

3a ? bi ? 3 ? 2i
? a ? 1, b ? ?2

? z ? 1 ? 2i
复数的运算题目,考察复数的加法及共轭复数,难度较小。 (2)答案:C

A ? ? y y ? 2 x , x ? R?

? A={y | y ? 0}

B ? x x2 ?1 ? 0 ,
? B ? {x | ?1 ? x ? 1} ? A? B ? (0, ? ?)
解析:集合运算题目,基础题目,难度较小。 (3)答案:D 解析: 由频率分布直方图可知:组距为 2.5,故这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的 频率为:

?

?

(0.16+0.08+0.04) ? 2.5=0.7 ? 人数是 200 ? 0.7=140 人
频率分布直方图题目,注意纵坐标为频率/组距,难度较小。 (4)答案:C

y
3 2 1 –3 –2 –1

O
–1 –2 –3 –4 –5

1

2

3

4

5

6

x

A

作图:

2 (-1 ) ? 10 可见当取点 A 时取最大值,最大值为 32 ?

解析:线性规划题目,考察到原点的距离的平方,难度较小。 (5)答案:C 解析: 由 三 视 图 可 知 , 此 几 何 体 是 一 个 正 三 棱 锥 和 半 球 构 成 的 , 体 积 为

1 1? 1 ? ? 1 3

4 + ? ( 3

23 )? 2

1 1 2 = + ? 2 3 6

考察三视图以及几何体的体积公式, 题面已知是半球和四棱锥, 由三视图可看出是正四棱锥, 难度较小。 (6)答案:A 解析: 若直线相交,一定有一个交点,平面一定有一条交线,所以是充分条件;两平面相交,平面 内两条直线关系任意。 (7)答案:B 解析:

f ( x) ? 2sinxcosx ? 3 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) , 3 2? 2? ? ?? 最小正周期 T ? ? 2
(8)答案:B 解析:

?

? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? n ? (tm ? n) ,?n ? (tm ? n) ? 0 ,?t | m || n | cos ? m, n ? ? | n |2 ? 0
?? ? ?? ? 1 3 ? ? 1 ? t ? 4 | m |? 3| n | , cos ? m, n ?? ,? t | n || n | ? | n |2 ? 0 ,? ? 1 ? 0 ,既 t ? ?4 。 3 4 3 4

(9)答案:D 解析: 当x?

1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) ,既 f ( x) ? f ( x ? 1) ,周期为 1, f (6) ? f (1) 。 2 2 2
, ? f (6) ? f (1) ? ? f (?1) ? 2 。

当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ?1 , 且 ?1? x ?1 , ( f? ) x ?? ( f) x

(10)答案:A 解析: T 函数的特征是存在两点切线垂直,既存在两点导数值相乘为 ?1 ; B 选项中 y ? ln x 的导数是 y ? ?

1 恒大于 0 ,斜率成绩不可能为 ?1 ; x

C 选项中 y ? e x 的导函数 y? ? e x 恒大于 0 ,斜率成绩不可能为 ?1 ; D 选项中 y ? x3 的导函数 y? ? 3x2 恒大于等于 0 ,斜率成绩不可能为 ?1 。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 (11)答案:3 (12)答案:-2 解析:

Tr ?1 ? C5r (ax 2 )5? r (
(13)答案:2 解析: 由题可知: D (c,

1 r 5 2 3 ) , 10 ? r ? 5, r ? 2 , x5 的系数为 C5 a ? ?80 ,? a ? ?2 2 x

3 c) 2

带入双曲线方程:

3 3 9 2 ( c) 2 ( c) 2 c 2 2 2 c2 c c ? a 2 2 4 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? a2 b2 a2 b2 a2 b2 9 3 3 b 4 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? a ? c ? c 2 ? a 2 ? ac 4 2 2 2 2 2 2c ? 2a ? 3ac ? 2e ? 3e ? 2 ? 0 (2e ? 1)(e ? 2) ? 0 ?e ? 2
(14)答案: 解析: 直线 y ? kx 与圆 ( x ? 5) ? y ? 9 相交,所以圆心 (5, 0) 到直线 kx ? y ? 0 距离小于半径
2 2

3 4

r ?3

?d ?

| 5k ? 0 | k 2 ?1

?

| 5k | k 2 ?1

?3

? |5k |<3 k 2 ? 1 25k 2 ? 9( k 2 ? 1) 9 3 3 ?? ?k? 14 4 4 3 3 ? (? ) 4 ?3 ?P ? 4 1 ? ( ?1) 4 ?k2 ?
(15)答案: m ? 3 解析: 有题可知,如图所示时存在 b 有三个不同的根

| m |? m 2 ? 2m 2 ? 4m m ? ? m 2 ? 4m m 2 ? 3m ? 0 m(m ? 3) ? 0 m?3

y y=|x| y=x2-2mx+4m O

°

x

m

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 (16)解析:

tan A tan B ? cos B cos A sin A sin B sin A sin B 2( ? )? ? cos A cos B cos A ? cos B cos B ? cos A (Ⅰ) sin A cos B ? sin B cos A sin A sin B 2( )? ? cos A cos B cos A ? cos B cos B ? cos A 2sin( A ? B) ? sin A ? sin B 2sin C ? sin A ? sin B 2c ? a ? b 2(tan A ? tan B) ?
(Ⅱ)? 2c ? a ? b

? a ? b) ? (a ? b) ? 2ab ? ? ? 2 2 2 a ?b ?c 2 ? ? cosC ? = 2ab 2ab
2

2

( 3
=

a?b 2 ) ? 2ab 2 2ab

?a?b? ? ? 3 ? 2 ? 3 ab 1 ? 1 = ,当且仅当 a ? b 时取等号 = ? ?1 ? ? 2 ab 2 2 ab
? cos C 的最小值为
1 。 2

2

主要考察弦化切,解三角形边化角以及均值不等式相结合 17.解析: (I)证明:取中点,连接 在中点和分别为和的中点 为母线 ;;; 同理:在中可知, ; , 又, 。

E

O' I G O

F H C B

A
(II)方法一:

E

O' G O

F H Q B

C P

A
连接,作于点,于点; 垂直底面, , 。 即为二面角的平面角; , , ,为等腰直角三角形, ; 在中: , 在中:, 在中 , 二面角的余弦值为。 (II)方法二:

z E O' G O A x C B y F H

分别以 OA、OB、OO’建立 x、y、z 轴,则

O

?0,0,0?

O’

?0,0,3?

A

?2

3,0,0

?

B

?0,2

3,0

?

C

?? 2

3,0,0

?

F

?0,

3,3 .

?

FC ? ? 2 3,? 3,?3 , FB ? 0, 3,?3

?

?

?

? ? ?

' 则平面 ABC 的法向量 n1 ? OO ? ?0,0,3? ,

设平面 FCB 的法向量为 n2 ? ?x, y, z ? ,则 FC ? n2 ? 0 , FB ? n2 ? 0 ,得 n2 ? ? 3, 3,1 ∴ cos? ?

n1 ? n2 n1 n2

?

?0,0,3?? ??
2

3, 3,1

3 ? 3 ? 3 ?1
7 7

??

7 7

所以二面角 F-BC-A 的余弦值为 (18)解析: (Ⅰ) Sn ? 3n2 ? 8n ①

Sn-1 ? 3(n ?1)2 ? 8(n ?1) ②
①-② 得: an ? 3n2 ? 8n ? 3(n ?1)2 ? 8(n ?1)=6n ? 5

S1 ? 11 也符合 an =6n ? 5

? an =6n ? 5
由 an ? bn ? bn?1

a1 ? b1 ? b2 ? 2b1 ? d ? 11 a2 ? b2 ? b3 ? 2b1 ? 3d ? 17
解得: d ? 3, b1 ? 4

?bn ? b1 ? (n ?1)d ? 3n ? 1

(Ⅱ) Cn ?

(an ? 1)n?1 (6n ? 6)n?1 ? ? (3n ? 3) ? 2n?1 ? 6(n ? 1) ? 2n n n (bn ? 2) (3n ? 3)

Tn ? C1 ? C2 ? C3 ? ? ? Cn ? 6[2 ? 21 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? n ? 2n ?1 ? ( n ? 1) ? 2n ] ① 2Tn ? 6[
? ①-② 得:

2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ] ②

?Tn ? 6[4 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ] 4(1 ? 2n ?1 ) ? (n ? 1) ? 2n ?1 ] 1? 2 n?2 ? ?3n ? 2 ? 6[4 ? ?Tn ? 3n ? 2n ? 2

(19)解析:

? 解:(Ⅰ) P(X ? 0) P(X ? 1) ? P(X ? 2) ?

1 1 1 ? ? 4 3 12

3 1 1 2 5 ? + ? ? 4 3 4 3 12 3 2 1 ? ? 4 3 2

记事件 A 为至少猜对 3 个成语

P(A) ?

5 1 1 5 1 1 2 ? ? ? ? ? ? 12 2 2 12 2 2 3

(Ⅱ)X=0,1,2,3,6

1 1 1 × = 12 12 144 1 5 5 1 P(X=1)= C 2 × × = 12 12 72 5 5 25 P(X=2)= × = 12 12 144 1 1 1 1 P(X=3)= C 2 × × = 12 2 12 5 1 5 1 P(X=4)= C 2 × × = 12 2 12 1 1 1 P(X=6)= × = 2 2 4
P(X=0)=

X P

0

1

2

3

4

6

1 144

5 72

25 144

1 12

5 12

1 4

EX=0+1×

5 25 1 5 1 23 +2× +3× +4× +6× ? 72 144 12 12 4 6

(20)解析: 则

(i) (ii)

当时 ,
上单调递减;

1 ○ 上单调递减; 2 ○ 上单调递增; 3 ○ 上单调递减; (II)因为 ,则 。

(21)解析:

1 c 3 (?)抛物线焦点坐标为( 0, ),椭圆离心率 e? ? , 2 a 2

1 ? b ? , a ? 1,? 椭圆方程为 x 2 ? 4 y 2 ? 1. 2

(?? )(i)法一:设P点坐标为( x0 , y0 ), x0 ? 0, y0 ? 0.x0 ? 2 y0 抛物线y ? 1 2 x 导数方程y ` ? x 2

2

? AB直线方程为y ? x0 ( x ? x0 ) ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ? (4 x0 ? 1) x 2 ? 4 x0 x ? x0 ? 1 ? 0
2 ? ? 0, 解得x0 ? (0,2 ? 5 ) 2 3 4

1 2 1 2 x0 ? x0 x ? x0 2 2 设A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ).将AB直线方程带入椭圆方程 中得

x1 ? x2 ? x1 ? x2 ?

4 x0 , 2 4 x0 ? 1 x0 ? 1 , 2 4 x0 ? 1
4

3

x ? x2 y1 ? y2 D点坐标为( 1 , ), 2 2 2 ? x0 2 y1 ? y2 ? x0 ( x1 ? x2 ) ? x0 ? , 2 4 x0 ? 1 ? OD直线方程为y ? ? 1 , 当OD与过P点与X轴垂直的直线相交时 4 x0 1 4

交点M横坐标为x0,纵坐标为-

1 ? M点在定直线y ? ? 上。 4 法二 : 点差法解题,可以不用 韦达定理。

设P点切线方程y ? kx ? m, k ? x0, A, B在椭圆上满足 x12 ? 4 y12 ? 4 ? 0
2 2 x2 ? 4 y2 ?4?0

整理得(x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 2 xD ? 8kyD ? 0 yD 1 ?? ? K OM xD 4k ? OM : y ? ? 1 ? M ( x0 ,? ). 4 1 ? M点在定直线y ? ? 上。 4 x 1 x, M ( x0 ,? 0 ),? k ? x0 4k 4k

1 2 (ii)当x ? 0时,AB与Y轴交点G坐标(0, - x0 ), 2 1 1 1 2 ? S1 ? x ( ? x0) 0 2 2 2 3 2 x0 1 1 1 2 S 2 ? ( ? x0 )(x0 ? ), 2 2 4 2 4 x0 ? 1
2 2 )(4 x0 ? 1) S1 2(1 ? x0 2 ? 设x0 ? t , 整理得 2 2 S2 (2 x0 ? 1)

S1 8t2 ? 10t ? 2 2t 2 9 ? ? 2? ? 2? ? 2 2 1 S2 (2t ? 1) (2t ? 1) 4t ? ? 4 4 t 1 1 2 当且仅当4t ? ,即t ? 时取得。验证x0 满足? ? 0. t 2 2 1 此时P点坐标为( , ) 2 4 S 9 2 1 ? 1 最大值为 ,此时P点坐标为( , )。 S2 4 2 4


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