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2008-2009-1-《复变函数与积分变换A》期末考试题(A)


北 京 交 通 大 学
2008-2009-1-《复变函数与积分变换 A》期末考试试卷(A)
学院_____________ 学号_____________
题 号 得 分 题 号 得 分 一.填空题(本题满分 20 分,每空 1 分)请把正确答案填在横线上. 1.设 z ? 八 九 十 十一 十二 总 分 一

专业___________________ 姓名___________________
二 三 四 五

班级____________





(1 ? i )5 ? 1 ,则 Re z ? __________ , Im z ? __________ , ___ ___ (1 ? i )5 ? 1 | z | ? __________ , ; _______ Argz ? __________ _______
8 ? 6i ? __________ , ; _______ sin(1 ? i) ? __________ _______
2? 5i

2.

3.若 z ? e 4. lim
z ?1

,则 Argz ? __________ , Ln(?1) ? __________ ; ___ ___

z ? z ? 2z ? z ; ? __________ _______ z2 ?1

1 的解析性区域为 __________ ___ ; z ?1 i? 6.设 C 是 z ? e , ? 从 ? ? 到 ? 的一周,则 ? Re( z) dz ? __________ ; ___
5.
2
C

7.

? ? sin n ? ? ?
n ?1

?

?

1?

n

___ z n 的收敛半径为 R ? __________ ;
3 (9)

8.设 f ( z) ? cos z ,则 f 9.

; (0) ? __________ _______ ;

?
0

z

1 ? cos ?

?

d? 在 z ? 0 处的泰勒展开式为

? ln(1 ? z ) ? ; , 0 ? ? __________ _______ z ? e ?1 ? 2 11. w ? z 在 z ? ?i 处的伸缩率 k ? __________ ,转动角 ? ? __________ ;
10. Res?
第 1 页 共 6 页

12.设 f (t ) ? ?

?E 0 ? t ? ? ,则 F (? ) ? __________ , Fourier 积分表达式为 ___ 0 其他 ?

__________ __________ __ ,

?

??

??

? (t ) cos(?0t ) f (t )dt ? __________ ; ___

二.判断下列命题的真假(本题满分 10 分,每小题 1 分,对的填 ? ,错的填 ? ) 1( ) 2i ? 1 ; 2( 3( 4( )零的幅角为 0; )若 f (z ) 在 z0 点解析,则 f (z ) 在 z0 点连续; )设 z 为任一复数,则 | sin(i ? z ) |? 1 ; )设 f ( z ) ?

5(

1 ?2?i ,n ? 1 ,则 f ( z )dz ? ? ,其中 C n ? ( z ? a) ,n为不等于 的整数 1 ?0 C

为 D 内任一条闭曲线; 6( ) | z ? 2 | ? | z ? 2 |? 2 表示有界单连通区域;

7( 8( 9( 10(

)若

?a
n ?1

?

n

( z ? 2) n 在 z ? 0 处收敛,而在 z ? 3 处发散;

)设无穷远点为 f (z ) 的可去奇点,则 Res( f ( z ), ?) ? 0 ; ) sec

1 在 z ? 1 的任何去心邻域内都不能展开成罗朗级数; z ?1

)若 f (z ) 在区域 D 内解析,则 f (z ) 在区域 D 内是共形映射.

三.(本题 5 分)讨论 f ( z) ? 2 x 3 ? 3iy 3 的可分性与可导性;

第 2 页 共 6 页

四.(本题 7 分)已知 u ? v ? x 2 ? y 2 ? 2 xy ,求 u 和 v ,使 f ( z ) ? u ? iv 解析;

五.(本题 8 分)判断下列级数的收敛性: (1)

e 2 ni ? n2 ; n ?1

?

(2)

1 ? i 2 n?1 ? n . n ?1
?

第 3 页 共 6 页

六.(本题 8 分)将下列函数展开成罗朗级数:

1 z ( z ? 1)(z ? 2) 1 (2) f ( z ) ? (1 ? z 2 ) 2
(1) f ( z ) ?

在 0 ? z ? 1 内; 在 2 ? z ? i 内.

ez 七.(本题 6 分)计算 ? dz ,其中 a 为 | a |? 1 的任何复数, C 为 | z |? 1 的正方 C ( z ? a )3
向;

第 4 页 共 6 页

八.计算题(本题 6 分)计算积分

? ?z
z ?3

z 15 dz
2

? 1 ( z 4 ? 2) 3

?

2

九.计算题(本题 6 分)利用留数计算

?

??

0

x3 sin x dx (1 ? x 2 )2

十.(本题 8 分)求将角形域 ?

?
6

? arg z ?

?
6

映射成单位圆 | w |? 1 的一个映射.

第 5 页 共 6 页

十一. (本题 8 分)利用拉普拉斯变换求解微分方程

y??? ? 3 y?? ? 3 y? ? y ? 6e?t , 其中 y??(0) ? y?(0) ? y(0) ? 0

十二. (本题 8 分)设 f (z ) 在区域 D 内解析, C 为 D 内任一条正向简单闭曲线,证明: 对于在 D 内,但不在 C 上的任一点 z0 ,下面等式成立:

?

C

f ?( z ) f ( z) dz = ? dz 2 z ? z0 C ( z ? z0 )

第 6 页 共 6 页


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