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立体几何高考真题汇编


高中数学立体几何专题训练
1、 (2017?山东)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形 ABCD(及其内部)以 AB 边所在直线 为旋转轴旋转 120° 得到的,G 是 的大小; 的中点. (Ⅰ)设 P 是 上的一点,且 AP⊥BE,求∠CBP (Ⅱ)当 AB=3,AD=2 时,求二面角 E﹣AG﹣C 的大小.

2、 (2017?浙江)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD,△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形,BC∥ AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:CE∥平面 PAB; (Ⅱ)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.

3、 (2017?江苏) 如图, 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AA1⊥平面 ABCD, 且 AB=AD=2, AA1= ,∠BAD=120° . (Ⅰ)求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值; (Ⅱ)求二面角 B﹣A1D﹣A 的 正弦值.

4、 (2017?北京卷)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 PAD⊥平面 ABCD, 点 M 在线段 PB 上,PD∥平面 MAC,PA=PD= (2)求二面角 B﹣PD﹣A 的大小; ,AB=4. (1)求证:M 为 PB 的中点;

(3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值.

5、 (2017?新课标Ⅰ卷)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90° . (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90° ,求二面角 A﹣PB﹣C 的 余弦值.

6.在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆 O 的直径,EF 是上底面圆 O ' 的直径,FB 是圆台的一条母 线.(I)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC; (II)已知 EF=FB=

1 AC= 2 3 AB=BC.求二面角 F ? BC ? A 的余弦值. 2

7(本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB ? 5 , AC ? 6 ,点 E,F 分别在 AD,CD 上, AE ? CF ?
5 ,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△ D?EF 的位置 OD? ? 10 . 4

(I)证明: D?H ? 平面 ABCD; (II)求二面角 B ? D ?A ? C 的正弦值.

8.(15 年山东理科)如图,在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2DE, G, H 分别为 AC , BC 的中点. (Ⅰ)求证: BD / / 平面 FGH ;
? (Ⅱ)若 CF ? 平面 ABC , AB ? BC, CF ? DE, ?BAC ? 45 ,

D E T

F

求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小. G H B

A

C

9. (15 年陕西理科)如图 1 ,在直角梯形 ?? CD 中, ?D//?C , ???D ?

?
2

, ?? ? ?C ? 1 ,

?D ? 2 , ? 是 ?D 的中点, ? 是 ? C 与 ?? 的交点.将 ???? 沿 ?? 折起到 ??1?? 的位置.
(I)证明: CD ? 平面 ?1?C ; (II)若平面 ?1?? ? 平面 ? CD? ,求平面 ?1?C 与平面 ?1CD 夹角的余弦值.

10、 (2017· 天津)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥底面 ABC,∠BAC=90° .点 D,E,N 分别为 棱 PA,PC,BC 的中点,M 是线段 AD 的中点,PA=AC=4,AB=2. (Ⅰ)求证:MN∥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 C﹣EM﹣N 的正弦值; (Ⅲ)已知点 H 在棱 PA 上,且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为

3 7 ,求线段 AH 的长. 21

11. ( 15

年 天 津 理 科 ) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD - A 1B 1C1 D 1 中 , 侧 棱

A1 A ? 底面ABCD , AB ? AC , AB = 1 , AC = AA1 = 2, AD = CD = 5 , 且 点 M 和 N 分 别 为 B1C和D1D 的中点.
(I)求证: MN ? 平面ABCD ; (II)求二面角 D1 -AC - B1 的正弦值;

(III)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为

1 ,求线段 A 1E 的长 3

12. (15 北京理科) 如图, 在四棱锥 A ? EFCB 中, 平面 AEF ? 平面 EFCB , △AEF 为等边三角形,
EF ∥ BC , BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点.

(Ⅰ) 求证: AO ? BE ;

(Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值;

(Ⅲ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.
A

F

C

O E B

13、 (2017?新课标Ⅱ)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD, AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90° ,E 是 PD 的中点. (Ⅰ)证明:直线 CE∥平面 PAB;

(Ⅱ)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45° ,求二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值.

14、 (2017?新课标Ⅲ) 如图, 四面体 ABCD 中, △ABC 是正三角形, △ACD 是直角三角形, ∠ABD= ∠CBD,AB=BD. (Ⅰ)证明:平面 ACD⊥平面 ABC; (Ⅱ)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值.

PA ? PD ,PA ? PD , 15 (本小题 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ? AD , AB ? 1 , AD ? 2 , AC ? CD ? 5
(1)求证: PD ? 平面 PAB ; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值;

(3)在棱 PA 上是否存在点 M ,使得 BM / / 平面 PCD ?若存在,求 理由.

AM 的值;若不存在,说明 AP

16.(2014·四川高考理科)三棱锥 A ? BCD 及其侧视图、俯视图如图所示.设 M , N 分别为线 段 AD , AB 的中点, P 为线段 BC 上的点,且 MN ? NP . (1)证明: P 为线段 BC 的中点; (2)求二面角 A ? NP ? M 的余弦值.

17.(2014·陕西高考理科)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD,BC 的平面 分别交四面体的棱 BD,DC,CA 于点 F,G,H. 夹角θ 的正弦值. (1)证明:四边形 EFGH 是矩形. (2)求直线 AB 与平面 EFGH

18.(15 年江苏)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为直角 梯 形, ?ABC ? ?BAD ?

?
2

, PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1

(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长 P

Q A B C D


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