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23个基础的圆锥曲线专题(修正版)6


23 个基础的圆锥曲线专题 2.0--tobeenough

23 个基础的圆锥曲线专题(修正版)--tobeenough [例 1]设椭圆 E :
3 x2 y2 ? ? 1 ,其焦点在 x 轴上,若其焦准距(焦点到准线的距离) p ? , 2 2 4 a 1?a

求椭圆的方程. [解析] 由椭圆的标准方程得: b2 ? 1 ? a 2 ? 0 ,即: a 2 ? 1 则: c ? a 2 ? b2 ? 2a 2 ? 1 ? 0 ,即: a 2 ? 由准线方程准焦距, a 方 b 方除以 c 知:
b2 1 ? a2 (1 ? a 2 )2 ? ? 焦准距: p ? c 2a 2 ? 1 2a 2 ? 1
1 1 ,故: a 2 ? ( , 1) 2 2



由已知 p ?

3 (1 ? a 2 )2 3 2 ? 得: 4 2a 2 ? 1 4 2

即: 16(a 4 ? 2a 2 ? 1) ? 9(2a 2 ? 1) ,即: 16a 4 ? 50a 2 ? 25 ? 0 , 则: a 2 ? 即: a 2 ?

50 ? 50 2 ? 4 ? 16 ? 25 25 ? 25 2 ? 16 ? 25 25 ? 9 ? 25 ? ? 2 ? 16 16 16
25 ? 15 25 ? 15 5 25 ? 15 5 ? 或 a2 ? ? ,故: a 2 ? 16 16 2 16 8 5 8 x2 8 y2 ? ?1 ,故椭圆方程为: 8 5 3

结合①式得: a 2 ? [例 2]设椭圆 E :

x2 y2 3 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,其通径(过焦点且垂直于长轴的 2 2 a 1?a 2

焦直径) d ? 1 , F1 , F2 为两焦点, P 是 E 上除长轴端点外的任一点, ?F1 PF2 的角平分线
PM 交长轴于 M ( m , 0 ) ,求 m 的取值范围.

[解析] A> 先求椭圆方程 由通径等于 2ep 知: d ? 2ep ,即焦准距 p ?

d ? 2e

1 2? 3 2

?

3 . 3

b2 3 3 ? c 由准线方程准焦距, a 方 b 方除以 c 知:焦准距 p ? ,即: b 2 ? c 3 3



已知离心率 e ?

4 c 3 2 3 ,即: a ? ? c ,即: a 2 ? c 2 3 a 2 3
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23 个基础的圆锥曲线专题 2.0--tobeenough

对于椭圆,有: a ? b ? c 2
2 2



4 3 将①②代入③得: c 2 ? c ? c2 ( c ? 0 ) 3 3

即: c ? 3 于是: a ?

④ F1 M F2

P

c ? 2 , b ? a2 ? c2 ? 1 e

故椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 4



B> 再求角平分线方程 设 P 点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 P 点的切线方程由等效代替得:
x0 x x 1 ? y0 y ? 1 ,即: y ? ? 0 x ? 4 4 y0 y0

故切线斜率为: k0 ? ?

x0 4 y0



由切线平分焦周角,称为弦切角定理知:过 P 点的切线的垂直线就是角平分线 PM 故 PM 的斜率为: km ? ?

1 k0

将⑥式代入上式得: km ? ?

1 4 y0 ? k0 x0
4 y0 ( x ? x0 ) x0


于是 PM 的直线方程为: y ? y0 ? km ( x ? x0 ) ? 当 y ? 0 时, x ? m ,就是 M 点的坐标 故由⑦式: 0 ? y0 ? 即:

4 y0 4y (m ? x0 ) ? 0 m ? 4 y0 x0 x0


4 y0 3 m ? 3 y0 ,即: m ? x0 4 x0

3 3 由于 x0 ? (?a, a ) ,即 x0 ? (?2, 2) ,故: m ? ( ? , ) 2 2

3 3 所以, m 的取值范围是 ( ? , ) . 2 2
1 x2 y2 [例 3]设椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? , F1 , F2 为两焦点,椭圆 E 与 y 轴的交 2 a b

点为 A(0, 3) ,求三角形的面积 S?F1 AF2 ? ?
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[解析] A> 先求椭圆方程 由椭圆 E 与 y 轴的交点为 A(0, 3) 得: b ? 3 由离心率 e ?
a2 ? 9 1 c a 2 ? b2 1 ? ? 得: 2 ? a 4 a a 2

9 3 即: 2 ? ,即: a 2 ? 12 a 4

A

故椭圆方程为: B> 求 S?F1 AF2 ? ?

x2 y2 ? ?1 12 9

① F1 O F2

由①式可得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 3 ,即: c ? 3 则 S? F AF ?
1 2

1 1 F1 F2 ? AO ? ? 2c ? b ? bc ? 3 3 2 2

另外,由焦 三 角 形 计 面 积 , 半 角 正 切 连 乘 b 得 :
S? F AF ? b 2 tan
1 2

?
2

? b2 ?

c ? bc ? 3 3 b

[例 4]如图,设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ), M , N a 2 b2

A

为长轴顶点, 过左焦点 F 、 斜率为 k ? 3 的直线 l 交 椭圆 E 于 A, B 两点,若 FA ? 2 FB ,求

S? FAM ?? S? FBM

N

F ? B

? O

M

[解析]本题直线 l 过椭圆 E 的左焦点,故采用以左焦点 为极点的极坐标可使问题简化. A> 建立极坐标 本极坐标的椭圆方程为: ? ?
ep 1 ? e cos ?



直线 l 的斜率 k ? 3 ,故其倾角为: ? ? 联立①②可得 A, B 两点的坐标. B> 求 A, B 两点的坐标 对于 A 点, ? A ?

?
3



?
3

,代入①式得: ? A ? FA ?

ep 1 ? e cos

?
3

?

2ep 2?e



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对于 B 点, ? B ?

?
3

? ? ,代入①式得: ? B ? FB ?

ep 1 ? e cos

?
3

?

2ep 2?e



C> 求 M , N 两点得坐标 对于 M 点, ? M ? 0 ,代入①式得: ? M ? FM ? 对于 N 点, ? N ? ? ,代入①式得: ? N ? FN ? D> 求参数 将③④代入 FA ? 2 FB 得:
2ep 2ep ?2 2?e 2?e 2 3

ep ep ? 1 ? e cos 0 1 ? e
ep ep ? 1 ? e cos ? 1 ? e

⑤ ⑥

即: 2( 2 ? e ) ? 2 ? e ,即: 2 ? 3e ,故: e ? E> 求面积比



S?FAM S?FBM

1 FA FM sin ? FA FM ?2 ? 1 FB FN FB FN sin ? 2



将③④⑤⑥代入⑧得:

S?FAM 2 ? e 1 ? e ( 2 ? e )(1 ? e ) ? ? ? S?FBM 2 ? e 1 ? e ( 2 ? e )(1 ? e )



2 2 ( 2 ? )(1 ? ) S? FAM 3 3 ? 8 ? 5 ? 10 将⑦代入⑨式得: ? S? FBM ( 2 ? 2 )(1 ? 2 ) 4 ? 1 3 3
故,本题答案为:

S? FAM ? 10 . S? FBM

[例 5]设椭圆 E :

x2 y2 4 3 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ),其离心率 e ? ,其通径 d ? . 2 a b 3 3

① 求椭圆 E 的方程. ② 若两条焦直径(过焦点的弦) AB 与 CD 互相垂直.求 [解析] ① 求椭圆 E 的方程 . 由通 径 等 于 2 则焦准距: p ?

1 1 ? ?? AB CD

e

p 得 : d ? 2ep ?


4 3 3

2 3 ?2 3e

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由准 线 方 程 准 焦 距 , a 方 、 b 方 除 以 c 得 : 焦准距 p ? 即: b2 ? 2c 由离心率 e ? ②
c 3 得: a ? 3c ? a 3

b2 ?2 c



将②③代入 a 2 ? b 2 ? c 2 得: 3c 2 ? 2c ? c 2 ( c ? 0 ) 即: c ? 1 ④

将④分别代入③②得: a 2 ? 3 , b 2 ? 2 故椭圆 E 的方程为:
x2 y2 ? ?1 3 2



② 若两条焦直径(过焦点的弦) AB 与 CD 互相垂直.求

1 1 ? ?? AB CD

(如图甲)由于 AB 和 CD 都是焦弦,过焦点,所以采用极坐标. 准线方程准焦距, a 方 b 方除以 c 知: 焦准距: p ? 离心率: e ?
b2 ?2 c

D

A

c 1 3 ? ? a 3 3
B

? F1

? F2
C 图甲

A> 则以 F1 为极点的椭圆方程为:

??

ep ? 1 ? e cos ?

2 3 ? cos ?

故: AB ? ? A ? ? B ?

2 3 ? cos ? A


?

2 3 ? cos ? A

?

4 3 3 ? cos 2 ? A

3 ? cos 2 ? A 1 则: ? AB 4 3

B> 则以 F2 为极点的椭圆方程为:

??

ep ? 1 ? e cos ?

2 3 ? cos ?

故: CD ? ?C ? ? D ? 则:

2 3 ? cos ?C


?

2 3 ? cos ?C

?

4 3 3 ? cos 2 ?C

3 ? cos2 ?C 1 ? CD 4 3

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C> 由于 AB 与 CD 互相垂直,故: ? C ? ? A ? 即: cos2 ?C ? sin2 ? A 于是由⑥⑦⑧得: ⑧

?
2

3 ? cos 2 ? A 3 ? cos 2 ?C 1 1 5 5 3 ? ? ? ? ? AB CD 12 4 3 4 3 4 3
故:本题答案是
1 1 5 3 ? ? AB CD 12

注: CD 过 F1 与 CD 过 F2 其长度相同 . [ 例 6] 设椭圆 E :
x2 y2 ? ? 1 ,左焦点为 F ,在椭圆上任取三个不同点 P1 , P2 , P3 ,使得 36 27
2? 1 1 1 ,求: ? ? ?? 3 FP1 FP2 FP3

?P1 FP2 ? ?P2 FP3 ? ?P3 FP1 ?

[解析] 由于左焦点为 F 是本题已知条件和求解的关键点,所以以 F 点为极点的极坐标是本 题.
ep A> 采用极坐标,则椭圆方程为: ? ? 1 ? e cos ?

P1

则:

1

?

?

1 ? e cos ? ep

① P2

F

O

2? 设 FP1 的极角为 ?1 ? ? ,则 FP2 的极角为 ? 2 ? ? ? , 3

P3

FP3 的极角为 ? 3 ? ? ?

4? . 3
2? 4? ) ? cos(? ? ) 3 3

B> 由于: cos?1 ? cos?2 ? cos?3 ? cos ? ? cos(? ?
? cos(? ? 2? 4? ) ? [cos(? ? ) ? cos ? ] 3 3

? cos(? ?
? cos(? ?

2? 2? 2? ) ? 2 cos(? ? )cos 3 3 3
2? 2? ) ? cos(? ? )?0 3 3

即: cos?1 ? cos? 2 ? cos? 3 ? 0 C> 于是由①得:



1 1 1 ? e cos ? ? ? FP1 ?1 ep
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1 1 ? ? FP2 ? 2

1 ? e cos(? ? ep

2? 4? ) 1 ? e cos(? ? ) 1 1 3 , 3 ? ? FP3 ? 3 ep

上面三式相加得:

3 ? e(cos ?1 ? cos ? 2 ? cos ? 3 ) 1 1 1 ? ? ? FP1 FP2 FP3 ep
将②代入上式得:

1 1 1 3 ? ? ? FP1 FP2 FP3 ep



D> 由椭圆标准方程得: a 2 ? 36 , b 2 ? 27 ,即: a ? 6 , b ? 3 3 由准 线 方 程 准 焦 距 , a 方 、 b 方 除 以 c 得:焦准距 p ?
c c b 2 b 2 27 9 ? ? 离心率: e ? ,故: ep ? ? ? a a c a 6 2

b2 c

代入③式得:

1 1 1 3 2 ? ? ? ? . FP1 FP2 FP3 ep 3

( x ? 1)2 y 2 ? ? 1 ,过原点的两条 [例 7]如图所示,椭圆 E : 16 9

C

直线交圆于 A, B, C , D , AD 与 CB 的延长线相交于 M ,
AC 与 DB 的延长线相交于 N ,求 MN 所在的直线方程.

B M D

[解析] 因为 AB 与 CD 相交于原点,所以将原点坐标 O(0, 0 ) 代入 椭圆 E 的方程得:
(0 ? 1)2 0 2 1 ? ? ?1 16 9 16

A

上式中: “<”表示在椭圆内; “=”表示在椭圆上; “>”表示在椭圆外. 于是,原点 O(0, 0 ) 在椭圆内. 根据椭圆的极限定理,直线 MN 就是原点 O 关于椭圆 E 的极线. 于是,极线 MN 的方程为:
( x0 ? 1)( x ? 1) y0 y ? ?1 16 9
( x ? 1) ?1 16

N

将 x0 ? 0 , y0 ? 0 代入上式得:

即: x ? 15 . 这就是 MN 的直线方程.
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[例 8]设椭圆 E :
P 为 AB 中点.

x y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ),过右焦点的直线 l : x ? y ? 3 ? 0 交 E 于 A, B 两点, 2 a b

2

2

⑴若 OP 的斜率 k ?

1 ,求椭圆 E 的方程; 2

⑵若直线 m : x ? y ? 3 ? 0 交 E 于 C , D 两点, AD 与 BC 相交于 Q ,求 Q 点的坐标. [解析] ⑴若 OP 的斜率 k ?
1 ,求椭圆 E 的方程 . 2

由 AB 得直线方程 x ? y ? 3 ? 0 得其斜率: k AB ? ?1 由准 线 方 程 准 焦 距 , a 方 、 b 方 除 以 c 得 :
a2 准 线 方 程 xc ? ? c



l

② O

A M B E

焦准距 p ?

b2 c



由弦 与 中 线 斜 率 积 , 准 线 去 除 准 焦 距 得 :
k ? k AB ? p xc


1 1 b2 a2 b2 代入④式得: ? ? ( ) ? ( ? ) ? ? 2 ,即: a 2 ? 2b 2 2 2 c c a

将①② ③ 及 k ?



由 AB 直线方程 l : x ? y ? 3 ? 0 过右焦点得: ( c , 0 ) 点在直线上. 即: c ? 0 ? 3 ? 0 ,即: c ? 3 ,于是: a 2 ? b2 ? c 2 ? b2 ? 3 ⑥

由⑤⑥得: a 2 ? 2b2 ? b2 ? 3 ,即: b 2 ? 3 ,代入⑤得: a 2 ? 2b2 ? 6 故椭圆 E 的方程为:
x2 y2 ? ? 1. 6 3

⑵若直线 m : x ? y ? 3 ? 0 交 E 于 C , D 两点, AD 与 BC 相交于 Q ,求 Q 点的坐标 . 由于 l 与 m 相交于 T ,所以当 Q 作为椭圆的极点时, 那么其极 l 线必然都经过 T 点. 对于 m : x ? y ? 3 ? 0 ,当 y ? 0 , x ? 3 故 T 点的坐标为 ( 3 , 0) . 那么,直线 x ? 3 就是 Q 点的极线. 设 Q 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,其中 y0 ? 0
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A D T E C B Q

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则其极线方程为:

x0 x y0 y x0 x a2 ? ? 1 ? 1 ,即: ,即: x ? ? 3 a2 b2 a2 x0

则: x0 ?

a2 3

?

6 3

? 2 3 ,故 Q 点的坐标为 ( 2 3 , 0 ) .

[例 9]设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 的长轴端点为 A, B ,与 y 轴平行的直线交椭圆 E 于 P , Q 两点, 16 8

PA 、 QB 的延长线相交于 S 点,求 S 点的轨迹.

[解析]由椭圆 E 的方程得: A( ?4 , 0 ) , B(4, 0 ) 设 S ( x0 , y0 ) , P ( m, n) ,则 Q(m, ?n) 则:
m 2 n2 ? ?1 16 8

P A B O Q E

① S

于是,直线 PA 的方程为:

y ? yA ?

yP ? y A n ( x ? 4) ( x ? x A ) ,即: y ? m?4 xP ? x A


?n ( x ? 4) m?4

直线 BQ 的方程为: y ? yB ? 联立②③解得 S 点的坐标. 故: y0 ?

yQ ? yB xQ ? xB

( x ? xB ) ,即: y ?



n ?n ( x0 ? 4 ) ? ( x0 ? 4 ) m?4 m?4 16 m

即: (m ? 4)( x0 ? 4 ) ? ?(m ? 4)( x0 ? 4 ) ,即: x0 ? 代入②得: y0 ? 故: m ?

n n 16 4n ( x0 ? 4 ) ? ( ? 4) ? m?4 m?4 m m

y y 16 4 y0 16 ,n ? 0 m ? 0 ? ? x0 4 4 x0 x0
P A O Q E B

将上式代入①得:

1 16 2 1 4 2 y0 2 ? ? ? ?1 16 x0 2 8 x0 2
即:

16 2 y0 2 ? 2 ? 1 ,即: 16 ? 2 y0 2 ? x0 2 2 x0 x0
x0 y ? 0 ?1 16 8
2 2

S

即:

这就是 S 点的轨迹,它是一个双曲线.
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[例 10]已知抛物线 P : y ? 2 px ( p ? 0 ), F 为 P 的焦点, M 为 P 上任一点, l 为过 M 点的
2

切线,求证: FM 与 l 的夹角等于 l 与 x 轴的夹角. [解析]设抛物线 P 上的点 M ,其坐标为 ( x0 , y0 ) . 则在 M 点的切线方程用等效代替得: y M O F P

?

y0 y ? p( x ? x0 ) ,即: y ?

px px0 ? y0 y0


?
x

p 故切线的斜率为: kl ? tan ? ? y0
FM 的斜率为: kMF

l

y ? yF ? tan ? ? M x M ? xF
2

p y0 2 py0 2 py y0 2 tan ? ? 即: tan ? ? ? 2 02 ? ? ? tan( 2 ? ) 2 2 p 2 px2 ? p p y0 ? p 1 ? tan 2 ? x0 ? 1? 2 2 y0
故: ? ? 2 ? ,即: FM 与 l 的夹角等于 l 与 x 轴的夹角. 证毕. [例 11]已知抛物线 P 的顶点为原点,其焦点 F (0, c ) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?
M 在 l 上,过 M 作抛物线 P 的两条切线 MA 、 MB ,其中 A 、 B 为切点.

3 2 , 2

⑴当 M 的坐标为 (4, 2) 时,求 AB 的直线方程; ⑵当 M 在 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. [解析] 由点 F (0, c ) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离公式得: d ?
3 2 c?2 3 2 3 c?1 代入上式得: , 即: d? ? ? 2 2 2 2
0 ?c ?2 1 ? ( ?1)
2 2

?

c?2 2

将d ?

由于抛物线 P 的顶点为原点,故其焦点为 F (0, c ) 得抛物 线方程为: x 2 ? 4cy ? 4 y ①

B

⑴当 M 的坐标为 (4, 2) 时,求 AB 的直线方程 由于 MA 、 MB 是抛物线 P 的两条切线,所以点 M 与直 线 AB 是关于抛物线 P 的一对极点与极线,即直线 AB 的方程就是 M 关于抛物线 P 的极线方程 .
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M A
l

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设 M 点的坐标为 ( x0 , y0 ) , 则直线 AB 的方程: x0 x ? 2( y ? y0 ) 即: 4 x ? 2( y ? 2 ) ,即: 2x ? y ? 2 ,即: 2 x ? y ? 2 ? 0 . ⑵当 M 在 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值 A> 由于 MA 、 MB 是抛物线 P 的两条切线,所以点 M 与直线 AB 是关于抛物线 P 的一对极 点与极线. 故直线 AB 的方程: x0 x ? 2( y ? y0 ) 抛物线①式: x 2 ? 4 y , p ? 2 其焦点坐标为 F (0, 1) 其准线方程为: y ? ?1 ③ F A A’
l



B

B> 由抛物线,有定义,定点定线等距离 知:

AF ? AA' , BF ? BB '
而 AA ' =
p p ? y A ? 1 ? y A , BB ' ? ? yB ? 1 ? yB 2 2

M

B’

故: AF ? BF ? (1 ? yA )(1 ? yB ) ? 1 ? ( yA ? yB ) ? yA yB



C> 由于 A, B 在直线 AB 上,满足直线 AB 的方程②得: x0 x ? 2( y ? y0 ) 即: x0 2 x 2 ? 4( y ? y0 )2 ,即: 4 x0 2 y ? 4( y ? y0 )2 则: x0 2 y ? ( y ? y0 )2 ? y 2 ? 2 y0 y ? y0 2 即: y 2 ? ( x0 2 ? 2 y0 ) y ? y0 2 ? 0 ⑤ ⑥

由韦达定理得: yA ? yB ? x0 2 ? 2 y0 , yA yB ? y0 2

D> 由于 M 点在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上,故: x0 ? y0 ? 2 ? 0 即: x0 ? y0 ? 2 ⑦ ⑧

将⑥代入④得: AF ? BF ? 1 ? x0 2 ? 2 y0 ? y0 2 将⑦代入⑧得:

AF ? BF ? 1 ? ( y0 ? 2)2 ? 2 y0 ? y0 2
? 1 ? y0 2 ? 4 y0 ? 4 ? 2 y0 ? y0 2 ? 2 y0 2 ? 2 y0 ? 5
1 9 9 ? 2( y0 ? )2 ? ? 2 2 2

故: AF ? BF 的最小值是

9 . 2
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[例 12]过抛物线 P : x ? 2 py ( p ? 0 ) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k2 两条不同弦 AB 和 CD ,
2

CD 为直径的圆 M 圆 N ( M 、N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l , 以 AB 、 k1 ? k2 ? 2 ,

若圆心 M 到 l 距离的最小值为 [解析] A> 抛物线 x 2 ? 2 py
p 其焦点 F (0 , ) 2

7 5 ,求抛物线 P 的方程. 5

① D
p 2

S A M N ? ?? F T O ③

则 AB 的直线方程为: y ? k1 x ?
p CD 的直线方程为: y ? k 2 x ? 2



B

C

B> 由①②联立可得 A, B 坐标,进而得到圆 M 的方程 . 将③代入①得: x 2 ? 2 p( k1 x ?
p ) ? 2 pk1 x ? p 2 ,即: x 2 ? 2 pk1 x ? p2 ? 0 2

由韦达定理得: x A ? xB ? 2 pk1 , xA xB ? ? p2 代入②得: yA ? yB ? k1 ( xA ? xB ) ? p ? 2 pk12 ? p , 故: x M ?
x A ? xB y ? yB p ? pk1 , yM ? A ? pk1 2 ? 2 2 2



圆 M 的半径为:
RM ?
?

AB 2

?

1 1 1 ? k1 2 ( x A ? x B ) 2 ? 4 x A x B ( x A ? x B ) 2 ? k1 2 ( x A ? x B ) 2 ? 2 2

1 1 ? k1 2 4 p 2 k1 2 ? 4 p 2 ? p 1 ? k1 2 k1 2 ? 1 ? p(1 ? k12 ) 2



于是圆 M 的方程为: ( x ? xM )2 ? ( y ? yM )2 ? RM 2 C> 同理得到 C , D 的坐标和圆 N 的方程
xN ? xC ? x D y ? yD p ? pk2 , y N ? C ? pk2 2 ? 2 2 2





圆 N 的半径为: RN ? p(1 ? k2 2 )

⑦ ⑧

于是圆 N 的方程为: ( x ? xN )2 ? ( y ? yN )2 ? RN 2

D> 联立⑤⑥可得到 S , T 的坐标,进而得到公共弦 ST 的方程 由⑤-⑧得:
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[( x ? xM ) ? ( x ? xN ) ] ? [( y ? yM )2 ? ( y ? yN )2 ] ? RM 2 ? RN 2
2 2

即: [( xN ? xM )(2x ? xM ? xN )] ? [( yN ? yM )(2 y ? yM ? yN )] ? ( RM ? RN )( RM ? RN ) 分别解析⑨式,得到公共弦 ST 的方程 由⑥-③得: xN ? xM ? p(k2 ? k1 ) , yN ? yM ? p(k2 2 ? k12 ) 由⑥+③得: xN ? xM ? p(k2 ? k1 ) , yN ? yM ? p(k2 2 ? k12 ? 1) 由④-⑦得: RM ? RN ? p(k12 ? k2 2 ) 由④+⑦得: RM ? RN ? p(k12 ? k2 2 ? 2) 将上式代入⑨式得:



p(k2 ? k1 )[(2x ? p(k2 +k1 )] ? p(k2 2 ? k12 )[2 y ? p(k2 2 ? k12 ? 1)]

? p2 (k12 ? k2 2 )(k12 ? k2 2 ? 2)
将 k1 ? k2 ? 2 代入上式得:

p(k2 ? k1 )(2x ? 2 p) ? 2 p(k2 ? k1 )[2 y ? p(k2 2 ? k12 ? 1)] ? 2 p2 (k1 ? k2 )(k12 ? k2 2 ? 2)
即: ( x ? p) ? [2 y ? p(k2 2 ? k12 ? 1)] ? ? p(k12 ? k2 2 ? 2) 即: x ? p ? 2 y ? pk2 2 ? pk12 ? p ? ? pk12 ? pk2 2 ? 2 p 即: x ? 2 y ? 0 ⑩

这就是公共弦 ST 的方程 . E> 由圆心 M 到 l 距离的最小值为
7 5 得到 p 就得到了抛物线 P 的方程 5
xM ? 2 yM 12 ? ( ?2 )2 ? xM ? 2 yM 5

由点到直线的距离公式得: d ?

将③式 xM ? pk1 , y M ? pk1 2 ?

p 代入上式得: 2

d?
? 2p

pk1 ? 2 pk1 2 ? p 5

?

p 5

2k1 2 ? k1 ? 1

1 1 2p 1 7 2p 7 7 5 p k12 ? k1 ? ? [(k1 ? )2 ? ] ? ? ? ? 2 2 4 16 5 8 5 5 5 16
7 5 ,所以 p ? 8 . 5

由于 d 最小值为

故抛物线 P 的方程为: x 2 ? 16 y .

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[例 13]已知动圆 C 过定点 A(4, 0 ) ,且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8 ,求动圆圆心 C 的轨迹 方程. [解析] 弦 MN 的垂直平分线 l 1 与弦 MA 的垂直平分线 l 2 相 交于圆心 . A> 设 M (0, y0 ) ,则 M (0, y0 ? 8) ,而 A(4, 0 ) 故:直线段 MN 的垂直平分线过 (0, y0 ? 4 ) 点, 直线段 MN 的垂直平分线方程为: y ? y0 ? 4 B> 直线 MA 的斜率为: ① M?

? ? O
? N

?A

?

k MA ?

y y A ? yM 0 ? y0 ? ?? 0 x A ? xM 4 ?0 4
y0 ), 2



故:直线段 MA 的中点为 ( 2 ,

直线段 MA 的垂直平分线斜率为: k ? ? 直线段 MA 的垂直平分线方程为:

1 k MA

?

4 y0

y ? k ( x ? 2) ?

y0 y 4 4 8 y ? ( x ? 2) ? 0 ? x? ? 0 2 y0 2 y0 y0 2



C> 联立①③可解得圆心坐标 ( xC , yC ) 将①代入③得: y0 ? 4 ? 即: 8xC ? y0 2 ? 16 ? 8 y0

y 4 8 y 4 8 y 8 xC ? ? 0 ,即: xC ? y0 ? 4 ? ? 0 ? 0 ? ? 4 y0 y0 2 y0 y0 2 2 y0


由①式 yC ? y0 ? 4 得: y0 ? yC ? 4 代入④得: 8xC ? ( yC ? 4)2 ? 16 ? 8( yC ? 4) 即: 8xC ? ( yC 2 ? 8 yC ? 16 ) ? 16 ? (8 yC ? 32) ? yC 2 故动圆圆心 C 的轨迹方程为: y 2 ? 8x . 这是一条抛物线. [例 14]如图已知,在抛物线 P : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,其准线与 x 轴的交点为 A . 过原点的圆
C 其圆心在抛物线 P 上, 与抛物线的准线 l 交于不同的两点 M , N , 若 AF ? AM ? AN ,
2

求圆 C 的半径.

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[解析] 抛物线的准线方程: x ? ?

p ? ?1 2

抛物线的焦准距: AF ? p ? 2 A> 设圆心 C 的坐标为 ( x0 , y0 )

① M? ② ③ N? ? ? A O

因为圆心在抛物线 P 上,故: y0 2 ? 4 x0 设圆的方程为: ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? R2 由圆过原点得: x0 2 ? y0 2 ? R2 ④

?

C

?F

B> 由圆与抛物线的准线 l 交于不同的两点 M , N 得: M , N 满足③式. 由于 xM ? xN ? ?1 ,故:

(1 ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? R2 ? x0 2 ? y0 2
即: y 2 ? 2 y0 y ? 1 ? 2x0 ? 0 ⑤

由韦达定理得: yM ? yN ? 2 y0 , yM yN ? 1 ? 2x0 因为: AM ? yM , AN ? yN ,故: AM AN ? 1 ? 2x0 C> 将①⑥式代入 AF ? AM ? AN 得: 1 ? 2x0 ? 4 即: x0 ?
3 2
2



⑦ ⑧

将⑦代入②式得: y0 2 ? 4 x0 ? 6 ,即: y0 ? ? 6 将⑦⑧代入④得: R 2 ? x0 2 ? y0 2 ? 故:圆 C 的半径为 R ?
33 . 2
9 33 ?6 ? 4 4



[ 例 15] 如 图 , 抛 物 线 P1 : x 2 ? 4 y , 抛 物 线

? A

P1 B ?
?

P2 : x 2 ? ?2 py ( p ? 0 ),点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线 P2 上,
过 M 作 P1 的两条切线 MA 和 MB ,当 x0 ? 1 ? 2 时,
1 切线 MA 的斜率为 k ? ? . 2

M P2

⑴求: AB 所在的直线方程; ⑵当点 M 在抛物线 P2 上运动时,求 AB 中点的轨迹 方程.
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[解析] ⑴求 AB 所在的直线方程 A> 因为点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线 P2 上,满足抛物线 P2 :

x0 2 ? ?2 py0



由于 MA 和 MB 是 P1 两条切线,所以 M 和 AB 就是关于 P1 的一对极点和极线 . 故极线方程对 P1 : x 2 ? 4 y 等效代替为: x0 x ? 2( y ? y0 ) 将①代入②得: px0 x ? 2 py ? 2 py0 ? 2 py ? x0 2 即: px0 x ? 2 py ? x0 2 ? 0 ③
xA x ? yA 2



B> MA 的切线由等效代替得: xA x ? 2( y ? yA ) ,即: y ? 其斜率为: k MA ?
xA 2



1 当 x0 ? 1 ? 2 时,切线 MA 的斜率为 k ? ? . 2

x 1 1 将 k ? ? 代入④得: k MA ? A ? ? ,即: x A ? ?1 2 2 2

于是由 x A2 ? 4 y A 得: y A ?

x A2 1 1 ? ,故 A 点坐标为 A( ?1, ) ,此时, x0 ? 1 ? 2 . 4 4 4

1 1 C> 将 A 点坐标为 A( ?1, ) 代入③式得: ? px0 ? 2 p ? ? x0 2 ? 0 4 4

即: ?2 px0 ? p ? 2x0 2 ? 0 ,即: p ? 将 x0 ? 1 ? 2 代入上式得: p ? 故 P2 : x 2 ? ?2 py ? ?4 y D> 求 AB 所在的直线方程 ⑤

2 x0 2 2 x0 ? 1

2( 1 ? 2 ) 2 2( 1 ? 2 ) ? 1

?

2( 1 ? 2 ) 2 (1 ? 2 )2

?2

将 x0 ? 1 ? 2 和 p ? 2 代入③式得: px0 x ? 2 py ? x0 2 ? 0 即: 2(1 ? 2 ) x ? 4 y ? (1 ? 2 )2 ? 0 ,即: 2(1 ? 2 ) x ? 4 y ? 3 ? 2 2 ? 0 即: y ?
1? 2 3?2 2 x? 2 4



这就是所求的 AB 所在的直线方程 . ⑵当点 M 在抛物线 P2 上运动时,求 AB 中点的轨迹方程 .
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A> 将 AB 所在的直线方程③式与 P1 : x 2 ? 4 y 式联立即可. 由③得: 2 y ? x0 x ?
1 2 1 x0 ? x0 x ? x0 2 ⑦ p 2

代入 x 2 ? 4 y 得: x 2 ? 2x0 x ? x0 2 ,即: x 2 ? 2x0 x ? x0 2 ? 0 B> 由韦达定理得: x A ? xB ? 2x0 ,即 即 AB 中点坐标: x D ?
x A ? xB ? x0 2 x A ? xB ? x0 2





x0 2 xD 2 3 xD 2 4 2 ? xD ? ? 代入⑦式得: 2 yD ? x0 x D ? ,即: x D 2 ? y D 3 2 2 2

这就是 AB 中点的轨迹方程 . [例 16]已知抛物线 P : y 2 ? 8x ,焦弦 AB 被 F 分为 FA 、 FB 两段,求: [解析]由于所求的是与 FA 、 FB 相关,所以采用极坐标 . 对于抛物线 P : y 2 ? 8x ,其焦准距 p ? 4 ,离心率 e ? 1 极坐标方程为: ? ?
ep 1 ? e cos ? 4 1 ? cos ?
A

1 1 ? ?? FA FB

将 p ? 4 、 e ? 1 代入上式得: ? ?


O

设 A 点的极角为 ? ,则 B 点的极角为 ? ?? 故: FA ? ? A ?
FB ? ? B ?
4 1 ? cos ?

?

F


B

4 4 ? 1 ? cos(? ? ? ) 1 ? cos ?



则由②得:

1 1 1 ? cos ? ? ? FA ? A 4



由③得:

1 1 1 ? cos ? ? ? FB ? B 4



由④+⑤得:

1 1 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? ? ? ? . FA FB 4 4 2
OABC

[例 17]如图,在正方形 中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (10 , 0 ) ,点 C 的坐标为 (0 , 10 ) ,分 别将线段 OA 和 AB 等分成十等分, 分点分别记为 A1 , A2 ,..., A9 和 B1 , B2 ,..., B9 , 连接 OBi ,
AB
OA

过 Ai 作轴的垂线与 OBi 交于点 Pi ( i ? N * , 1 ? i ? 9 ). ⑴
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⑴求:点 Pi 的轨迹方程; ⑵求:过点 Pi 的切线方程. [解析] ⑴求:点 Pi 的轨迹方程 首先看 Pi 点的坐标 ( xi , yi ) 则: xi ? i , yi ?
i i2 ?x? 10 10

y C

B B9

Bi Pi ? B2 B1 O A1 A 2 Ai A9 A x

x2 故 Pi 点的轨迹方程为: y ? 10

⑵求:过点 Pi 的切线方程. 由切线方程用代替得切线方程:
yi ? y x i x ? , 2 10

即: y ?

xi x ix i 2 i ? yi ? ? ? (2 x ? i ) . 5 5 10 10

这就是过点 Pi 的切线方程. [例 18]已知,双曲线 H :
x2 y2 ? ? 1 ,过右焦点 F 的直线交 H 于 A 、 B 两点,以 AB 为直 4 5

径的圆 C 与 H 的准线还有另外两个交点 M 、 N ,与原点 O 构成的三角形,求: S? MON 的 最小值. [解析] A> 双曲线右焦点 F 的坐标 由 a 2 ? 4 , b 2 ? 5 得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 9 故: c ? 3 ,即: F ( 3, 0 ) B> 双曲线的准线方程 由准 线 方 程 准 焦 距 , a 方 、 b 方 除 以 c 得 : 准线方程为: x ? C> AB 的值 设过右焦点 F 的直线方程为: y ? k ( x ? 3) 代入 H 的方程假的 A, B 点的坐标.
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A M?

?

?

O

N?

?
B?

F

H

a2 4 ? c 3





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故:

x k ( x ? 3) ? ? 1 ,即: 5 x 2 ? 4k 2 ( x ? 3)2 ? 20 4 5
2 2 2

即: 5 x 2 ? 4k 2 x 2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ? 20 ? 0 即: (5 ? 4k 2 ) x 2 ? 24k 2 x ? ( 36k 2 ? 20 ) ? 0 由韦达定理得: x A ? xB ? ? ③

24k 2 36k 2 ? 20 x x ? ? , A B 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2

则: ( x A ? xB )2 ? ( x A ? xB )2 ? 4 x A xB ?

24 2 k 4 4( 36k 2 ? 20 ) ? (5 ? 4k 2 )2 5 ? 4k 2

?

24 2 k 4 4( 36k 2 ? 20 )(5 ? 4k 2 ) ? (5 ? 4k 2 )2 (5 ? 4k 2 )2

42 ? 36k 4 ? (9k 2 ? 5 )(5 ? 4k 2 )? ? 2 2 ? ? (5 ? 4k ) ? 42 20 2 (k 2 ? 1) 2 ? ? 25k ? 25 ? ? (5 ? 4k 2 )2 (5 ? 4k 2 )2 ?


而: ( yA ? yB )2 ? k 2 ( xA ? xB )2
20( k 2 ? 1) 20 2 ( k 2 ? 1)2 于是: AB ? (1 ? k )( x A ? xB ) ? ,则: AB ? (5 ? 4k 2 )2 5 ? 4k 2
2 2 2



D> 圆 C 的方程 设圆心坐标 C ( xC , yC ) ,则: xC ? 故: xC ?
x A ? xB y ? yB , yC ? A 2 2

x A ? xB 12k 2 12k 2 ?? ? ?0 2 5 ? 4k 2 4k 2 ? 5

y A ? yB x A ? xB 12k 3 12k 3 ? 15 15 yC ? ?k ? 3k ? 2 ? ? 2 2 2 2 4k ? 5 4k ? 5 4k ? 5

圆的半径: R ?

AB 2

?

10 ( k 2 ? 1) 10 2 ( k 2 ? 1)2 2 ,则: R ? ( 4k 2 ? 5 )2 5 ? 4k 2

故圆 C 的方程为: ( x ? xC )2 ? ( y ? yC )2 ? R2 即: ( x ?

12k 2 2 15 2 10 2 (k 2 ? 1)2 ) ? ( y ? ) ? 4k 2 ? 5 4k 2 ? 5 (4k 2 ? 5 )2



E> 求 MN 点的坐标

4 12k 2 2 15 2 10 2 ( k 2 ? 1) 2 将①带入⑥式得: ( ? 2 ) ?(y? 2 ) ? 3 4k ? 5 4k ? 5 ( 4k 2 ? 5 ) 2
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即: ( y ?

15 2 30 ( k 2 ? 1) 2 [4 ( 4k 2 ? 5 ) ? 36k 2 ]2 ) ? 2 ? 4k 2 ? 5 3 ( 4k 2 ? 5 )2 3 2 ( 4k 2 ? 5 )2
2

?

30 2 ( k 4 ? 2k 2 ? 1) 4 2 [4k 2 ? 5 ? 9k 2 ]2 ? 3 2 ( 4k 2 ? 5 ) 2 3 2 ( 4k 2 ? 5 ) 2

30 2 ( k 2 ? 1) 2 20 2 ( k 2 ? 1) 2 500( k 2 ? 1) 2 ? 2 ? ? 3 ( 4k 2 ? 5 )2 3 2 ( 4k 2 ? 5 )2 3 2 ( 4k 2 ? 5 )2
故: yM , N

15 500 ( k 2 ? 1) 20 5 ( k 2 ? 1) ,即: MN ? ? 2 ?? 4k ? 5 3( 4k 2 ? 5 ) 3( 4k 2 ? 5 )



F> S? MON 的最小值 由于①式 x ? 故: S? MON
a2 4 ? ,即 O 到直线 MN 的距离, c 3

1 4 2 20 5 ( k 2 ? 1) 40 5 ( k 2 ? 1) ? ? ? MN ? ? ? 2 3 3 3( 4k 2 ? 5 ) 9( 4k 2 ? 5 )

10 5 ( 4k 2 ? 5 ? 9 ) 10 5 10 5 10 5 ? ? ? ? 2 2 9( 4k ? 5 ) 9 ( 4k ? 5 ) 9
即:当 k ? ? 时, S? MON ? [例 19]如图椭圆: ? =
10 5 为最小值。 9

ep , 1 ? e cos ?

焦弦 AB 交椭圆 A, B .

M

D
?

F 为左焦点,
P , Q 为椭圆顶点,

A
?

连结 QA 的直线交准线与 M , 连结 QB 的直线交准线与 N ,

Z

P

B'

Q

F A' O B

MN 是准线: ? cos? ? ? p .
或 xM , N ? ?
a ,长轴于准线交点为 c
2

N

Z . 求证: MF ? NF
[证明] A> 由椭圆的极坐标方程求出 AA ' 和 BB ' 过 A 作 AA' ? PQ 交 PQ 于 A ' ,过 B 作 BB ' ? PQ 交 PQ 于 B '

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设直线 AB 的倾角为 ? ,则由椭圆的极坐标方程可得: AF ? 于是: AA ' ? AF sin ? ? 同理: BF ?
ep sin ? 1 ? e cos ?

ep 1 ? e cos ?

① ②

ep ep sin ? , BB ' ? BF sin ? ? 1 ? e cos ? 1 ? e cos ?

B> 求准线上的截距 ZM 和 ZN 由 ?QZM ∽ ?QAA ' 得: 将 ZO ? p ? 由 p?
ZM ZQ ZO ? OQ ? ? AA ' A ' Q FQ ? FA '



a2 , OQ ? a , FQ ? a ? c , FA ' ? FA cos ? c

b2 a 2 ? c 2 a 2 a2 a a?c ? ? ? c 得: p ? c ? a ? ? a ? (a ? c ) ? c c c c c e

即: e( p ? c ? a ) ? a ? c 代入③式得:
a (a ? c ) c ZM ? ? AA ' ? (a ? c ) ? AF cos ?

a (a ? c ) ep sin ? c ? ep cos ? 1 ? e cos ? (a ? c ) ? 1 ? e cos ?

a c (a ? c ) p sin ? (a ? c ) p sin ? c a ? ? (a ? c )(1 ? e cos ? ) ? ep cos ? (a ? c ) ? e(a ? c ? p)cos ?

?

(a ? c ) p sin ? p sin ? ? (a ? c ) ? (a ? c )cos ? 1 ? cos ?


p sin ? 1 ? cos ?

对于 ZN ,将 ? ? ? 代替 ? 代入④即可,即: ZN ? ? D> 向量法证 MF ? NF 由⑤⑥式得: ZM ? ZN ?



p sin ? p sin ? p 2 sin 2 ? ? ? ? p2 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos 2 ?
2

因为 p 是焦准距,故: ZF ? p , ZF ? p2 因为向量: FZ ? ZM , FZ ? ZN 故: FM ? FN ? (FZ ? ZM ) ? (FZ ? ZN ) ? ZF ? ZM ZN ? 0 所以: FM ? FN ,即: MF ? NF . 证毕.
2

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[例 20]如图, F 为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右焦点, P 为双曲线右支上的一 a 2 b2

点,且位于 x 轴上方 . M 为左准线上一点, O 为坐标原点 . 已知四边形为平行四边形,

PF ? ? OF .
⑴ 写出双曲线的离心率 e 和 ? 的关系式; ⑵ 当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A, B 点. 若 AB ? 12 ,求此 时的双曲线方程. [解析] ⑴ 写出双曲线的离心率 e 和 ? 的关系式 A> 双曲线 C 的离心率: e ?
c a

M

N?

P

由准线方程准焦距, a 方 b 方除以 c 得: 双曲线 C 的左准线: x ? ?
a2 c

?

O

a2 双曲线 C 的右准线: x ? c

A

? F

则: MN ? 故:
MN OF ?

2a 2 , OF ? c c
2a 2 2 ? 2 2 c e

B



C> 根据双曲线的第二定义:
P 点到焦点 F 的距离 PF ,与到准线 x ?

a2 的距离 PN 之比为定值 e . c

故: e ?

PF PN

?

? OF
PM ? MN

?

?
PM MN ? OF OF



因为已知四边形 OFPM 为平行四边形,所以 PM ? OF 将①③代入②式得: e ?



?
2 1? 2 e

?

?e2
e2 ? 2

,即: e 2 ? 2 ? ? e

故: ? ?

e2 ? 2 2 ?e? e e



⑵ 当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A, B 点. 若 AB ? 12 ,求此时的 双曲线方程
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A> 求得参数关系 当 ? ? 1 时,即: PF ? ? OF ? OF ? c 由④得: ? ?
e2 ? 2 2 ?e? ?1 e e



即: e 2 ? e ? 2 ? 0 ,即: (e ? 2)(e ? 1) ? 0 ,故: e ? 2 则由 e ?
c 得: c ? ea ? 2a a

代入 c 2 ? a 2 ? b 2 得: b 2 ? 3a 2 ,故: b ? 3a B> 双曲线方程 设 P ( xP , yP ) ,则
2



xP 2 yP 2 xP 2 yP 2 ? ?1 ? ? 1 ,即: a 2 3a 2 a2 b2



此时, PF ? ( x P ? c )2 ? y P 2 ? ( x P ? 2a )2 ? y P 2 代入⑤式得: ( xP ? 2a)2 ? yP 2 ? c 2 ? 4a 2
( x P ? 2a )2 y P 2 ? 2 ?1 即: 4a 2 4a



C> 采用参数法求得 P 点坐标 令: xP ? 2a ? 2a cos? , yP ? 2a sin? 代入⑧式则为恒等式: cos2 ? ? sin2 ? ? 1
4a 2 (1 ? cos ? )2 4a 2 sin 2 ? ? ?1 代入⑦式得: a2 3a 2
4 即: 4 (1 ? cos ? )2 ? sin 2 ? ? 1 ,即: 12(1 ? cos? )2 ? 4 sin2 ? ? 3 3

即: 12 ? 24 cos? ? 12 cos 2 ? ? 4 ? 4 cos 2 ? ? 3 ? 0 即: 16 cos2 ? ? 24 cos? ? 5 ? 0 ,即: (4 cos ? ? 1)(4 cos ? ? 5 ) ? 0 因为: cos? ? 1 ,所以: cos ? ? ? 于是: x P ? 2a ? 2a cos ? ? D> 求 A, B 点的坐标及 AB 因为直线 AB / / OP ,所以斜率 k AB ? kOP ?
1 4

3a 15 a , yP ? 2a sin ? ? 2 2

yP 15 ? xP 3

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故直线 AB 的方程为: y ? k AB ( x ? xF ) ?

15 ( x ? 2a ) 3



将⑨与双曲线方程联立可得 A, B 点的坐标. 将⑨代入双曲线方程得:
x2 1 5 ? 2 [ ( x ? 2a )]2 ? 1 2 a 3a 3

即: 9x 2 ? 5( x ? 2a )2 ? 9a 2 ,即: 4 x 2 ? 20ax ? 29a 2 ? 0 E> 求双曲线方程



20a 29a 2 ? ?5a , x A xB ? ? ⑩式由韦达定理得: x A ? xB ? ? 4 4

于是: ( xA ? xB )2 ? ( xA ? xB )2 ? 4xA xB ? 25a 2 ? 29a 2 ? 54a 2 则: ( y A ? yB )2 ? k AB 2 ( x A ? x B )2 ?
5 ? 54a 2 ? 90a 2 3

故: AB ? ( x A ? xB )2 ? ( y A ? yB )2 ? 54a 2 ? 90a 2 ? 12a 代入已知 AB ? 12 得: a ? 1 , a 2 ? 1 将 a ? 1 代入⑥式得: b ? 3 , b 2 ? 3 则双曲线方程为: x 2 ?
y2 ? 1. 3

[例 21]如图已知椭圆的中心是原点 O , 它的短轴长为 2 2 , 相应于焦点 F (c, 0 ) 的准线 L 与 x 轴相交于 A , OF ? 2 FA ,过点 A 的直线交椭圆于 P , Q 两点. ⑴ 求椭圆方程及其离心率; ⑵ 若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程; ⑶ 设 AP ? ? AQ ( ? ? 1 ),过点 P 且平行于准线 L 的直线交椭圆的另一点为 M ,证明:

FM ? ?? FQ .
[解析] ⑴ 求椭圆方程及其离心率 因为焦点 F (c, 0 ) 在 x 轴上,所以短轴是 y 轴. 故短轴: 2b ? 2 2 ,即: b ? 2 ①

M
?

?

O P
?

?

? F? ? A Q

由准线方程准焦距, a 方 b 方除以 c 得: 准线方程: x ?
a a ,则: x A ? c c
2 2

L

由 OF ? 2 FA 得: xF ? 2( xA ? xF ) ,即: 3xF ? 2xA ,即: 3c ? 2
第 24 页 共 31 页

a2 c

23 个基础的圆锥曲线专题 2.0--tobeenough

即:
2

c 2 c 6 ? ,则: e ? ? 2 a 3 a 3
2 2 2 2 2

2


2

b2 ? 由 a ? b ? c ? b ? e a 得: a ? 1 ? e2

2 1? 2 3

?6



故:椭圆方程为:

x2 y2 6 ? ? 1 ;离心率: e ? . 6 2 3

⑵ 若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程 A> 求 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 的关系 由 OP ? OQ ? 0 得: ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? 0 即: x1 x2 ? y1 y2 ? 0 B> 因为: x A ? ④

M
?

?

O P
?

?

? F? ? A Q

a a ? ? c e

2

6 6 3

?3

L

所以设过点 A 的直线方程为:

y ? k( x ? xA ) ? k( x ? 3)
代入椭圆方程



x2 y2 x 2 k 2 ( x ? 3)2 ? ? 1 得到 P , Q 点满足的方程: ? ?1 6 2 6 2

即: x 2 ? 3k 2 ( x ? 3)2 ? 6 ? 0 ,即: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 由韦达定理得: x1 ? x2 ?
18k 2 27 k 2 ? 6 x x ? , 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2



C> 由⑤得: y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) 即: y1 y2 ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] 将⑥式代入上式得:
y1 y2 ? k 2 [
2 2 2 27 k 2 ? 6 18k 2 3k 2 2 27 k ? 6 ? 54k ? 9 ? 27 k ? 3 ? ? 9 ] ? k ( ) ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

即: y1 y2 ?

3k 2 1 ? 3k 2



27 k 2 ? 6 3k 2 30k 2 ? 6 ? ? ?0 D> 将⑥⑦代入④式得: x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

即: k 2 ?

1 5 ,即: k ? ? 5 5
第 25 页 共 31 页

23 个基础的圆锥曲线专题 2.0--tobeenough

故直线 PQ 的方程为: y ? ?

5 ( x ? 3) 5



⑶ 设 AP ? ? AQ ( ? ? 1 ) ,过点 P 且平行于准线 L 的直线交椭圆的另一点为 M ,证明:

FM ? ?? FQ .
A> 已知: a ? 6 , b ? 2 ,则: c ? 2 , x A ? 3 我们采用参数法来证明本题. 设: xM ? xP ? 6 cos?

M
?

?

O P
?

?

? F? ? A Q

yM ? ? yP ? ? 2 sin?

L

xQ ? 6 cos ? yQ ? 2 sin ?
将上述各式代入椭圆方程均得到恒等式. B> 由 AP ? ? AQ 得: ? ?
AP AQ

AP AQ
? 3 ? 6 cos ? 3 ? 6 cos ?

则: ? ?

x x

?

xP ? x A xQ ? x A

及: ? ?

AP AQ

y y

?

yP ? y A yQ ? y A

?

2 sin ? 2 sin ?


于是:

3 ? 6 cos ? 3 ? 6 cos ?

?

sin ? sin ?

C> 直线 PQ 与 x 轴的交点 A 由两点式得直线方程:

y ? yQ x ? xQ

?

yP ? yQ xP ? xQ ? yP ? yQ xP ? xQ

当 y ? 0 时, x ? x A ;即: 即: x A ? xQ ?

0 ? yQ x A ? xQ

xP ? xQ yP ? yQ

? yQ
? 2 sin ?

故: x A ? 6 cos ? ?

6 cos? ? 6 cos ? 2 sin? ? 2 sin ?

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23 个基础的圆锥曲线专题 2.0--tobeenough

? 6 cos ? ? 6 ?

? cos ? (sin? ? sin ? ) sin ? (cos ? ? cos ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? 6 ? ? ? sin ? ? sin ? sin? ? sin ? sin? ? sin ? ? ?

? sin? cos ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ? sin ? cos ? ? ? 6? ? sin? ? sin ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? 6? ?? 6 sin? ? sin ? sin? ? sin ? ? ?
? 6 sin cos

? ?? ? ??
2 2

cos sin

? ?? ? ??
2 cos cos 2 2 2 ? 6

cos cos

? ?? ? ??
2 2

? ?? ? ??
?3

将 x A ? 3 代入上式得: 6

即:

2 ? 6 ? ?? 2 cos 2

cos

? ??


D>直线 MQ 的方程为:

y ? yQ x ? xQ

?

yM ? yQ xM ? xQ

当 y ? 0 时,直线 MQ 与 x 轴的交点 E ( xE , 0 ) 则: xE ? xQ ?

xM ? xQ yM ? yQ
cos cos

? yQ

? ?? ? ??
2 cos 2

同理得: x E ? 6

? ??

将⑩式代入上式得: x E ? 6

2 ? 6? 2 ?2?c ? ?? 6 cos 2

可见 E 点与椭圆焦点 F 重合,即: M , F , Q 三点共线. 证毕. [例 22] 已知 P 是椭圆
x 2 y2 ? ? 1 ,( a ? 0, b ? 0 )上的任意一点, P 与两焦点的两线互相垂 a2 b2

直,且 P 到两准线的距离分别为 6 和 12 ,求椭圆方程. [解析] 记: PF1 ? m , PF2 ? n 根据: “椭圆三定义,简称和比积. ”
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⑴ 和 :到 两 定 点 的 距 离 之 和 为 定 值 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 . 定 点 为 焦 点 ,定 值 为 长 轴 . ( 定 值 = 2a ) 得 : m ? n ? 2a ①

⑵比 : 到 定 点 和 到 定 直 线 的 距 离 之 比 为 定 值 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 . 定 点 为 焦 点 , 定 直 线 为 准 线 , 定 值 为 离 心 率 .( 定 值 = e ) 得: e ?
c m n ? ? a 12 6


4a 2a , n? 3 3

即: m ? 2n . 代入① 式 得 : m ?

⑶面积:根据“焦三角形计面积,半角正切连乘 b . ” 得: S?F1 PF2 ? b 2 tan

?
2



由于已知 PF1 ? PF2 ,三角形 PF1F2 是直角三角形,即: ? ? 90 o 所以: S?F1 PF2 ?
1 mn 2
2



1 1 4a 2a 4a 2 2a ? ? 故由③④式得: b ? mn ? ? ,即: b ? 3 2 2 3 3 9

⑷椭圆方程:

x2 y2 ? ?1 a 2 b2 4a 2 5a 2 5a ? 得: c ? 9 9 3

由 c 2 ? a 2 ? b2 ? a 2 ? 由②式及 m ?

⑤ ⑥

4a c m a ? ,即: a 2 ? 9c 得: ? 3 a 12 9

[例 23] 已知抛物线 C : x 2 ? 2 py ( y ? 0 )上一个纵坐标为 2 的点到焦点的距离为 3 . ⑴求抛物线 C 的方程; ⑵设点 P (0, 2) ,过 P 作直线 l1 , l2 分别交抛物线于 A, B 和
3 M, N , 直线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 和 k2 , 且 k1 k 2 ? ? , 4

y M B N A x

求四边形 AMBN 面积 S 的最小值. [解析] ⑴求抛物线 C 的方程
p p 焦点坐标为 F (0 , ) ,则: ? 2 ? 3 ,故: p ? 10 2 2
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于是,抛物线 C 的方程: x 2 ? 2 py ? 20 y ⑵求四边形 AMBN 面积 S 的最小值 A> 设直线 l1 , l2 的方程分别为: y ? k1 x ? 2 和 y ? k2 x ? 2 则四边形 AMBN 面积 S : S ? 即: S ?

1 1 MN ? PA ? MN ? PB 2 2


1 1 MN AB sin ? l1 , l 2 ?? MN AB sin ? 2 2

而由: sin2 ? ? cos2 ? ? 1 得: 1 ? 即: sin2 ? ?

1 tan ?
2

?

1 sin 2 ?

tan? ,即: sin? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan2 ?

tan 2 ?



B> 下面计算 tan ? 设: k1 ? tan ? 1 , k2 ? tan? 2

tan ? ? tan (? 1 ? ? 2 ) ?
将 k1 k 2 ? ?

tan ? 1 ? tan ? 2 tan ? 1 ? tan ? 2 ? 1 ? tan ? 1 tan ? 2 1 ? k1k2


3 代入上式得: tan? ? 4 tan?1 ? tan?2 4

C> 下面求出 AB 和 MN 将直线 y ? k1 x ? 2 代入抛物线 C 的方程: x 2 ? 20 y 得: x 2 ? 20( k1 x ? 2 ) ,即: x 2 ? 20k1 x ? 40 ? 0 由韦达定理得: x A ? xB ? 20k1 , x A xB ? ?40 故: ( x A ? xB )2 ? ( x A ? xB )2 ? 4 x A xB ? 400k12 ? 160

( yA ? yB )2 ? k12 ( x A ? xB )2
则: AB ? 1 ? k12 ? ( x A ? xB ) 2 ? 1 ? k12 ? 400k12 ? 160

? 20 1 ? k12 ? k12 ?

2 5 2 5


即: AB ? 20 1 ? tan 2 ?1 ? tan 2 ?1 ?

同理: MN ? 20 1 ? tan 2 ? 2 ? tan 2 ? 2 ?

2 5



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D> 由 k1k2 ? ?

3 3 得: tan ? 1 tan ? 2 ? ? 4 4

即: 4 sin?1 sin? 2 ? ?3 cos?1 cos? 2 故: cos?1 cos?2 ? 4 sin?1 sin?2 ? 4 cos?1 cos?2 ? 4 cos(? 2 ? ?1 ) E> 将③④⑤结果代入①式得:
S? 1 MN AB sin ? 2



?

1 2 2 ? 20 2 1 ? tan 2 ?1 tan 2 ?1 ? 1 ? tan 2 ? 2 tan 2 ? 2 ? ? sin(? 2 ? ?1 ) 2 5 5

? 200 ?

sin(? 2 ? ? 1 ) cos ? 1 cos ? 2

tan 2 ?1 ?

2 2 tan 2 ? 2 ? 5 5

将⑥代入上式得:
S ? 50 ? sin(? 2 ? ? 1 ) cos(? 2 ? ? 1) tan 2 ? 1 ? 2 2 tan 2 ? 2 ? 5 5

? 50 ? tan(? 2 ? ?1 ) tan 2 ?1 ?

2 2 tan 2 ? 2 ? 5 5

? 50 ?

tan ? 2 ? tan ? 1 1 ? tan ? 2 tan ? 1

tan 2 ? 1 ?
tan 2 ?1 ?

2 2 tan 2 ? 2 ? 5 5

? 200 tan ? 2 ? tan ?1

2 2 tan 2 ? 2 ? 5 5


2 2 ? 200 (k2 ? k1 )2 ( k12 ? )( k2 2 ? ) 5 5

2 2 F> 现在求 ( k2 ? k1 )2 ( k12 ? )( k2 2 ? ) 的极值 5 5

实际上因为 k1k2 ? ?

3 , k1 与 k2 异号. 4

假设 k2 ? 0 ,则 k1 ? 0 设 k3 ? ?k1 ? 0 , k3 k2 ?
3 ,则⑦式变为: 4

2 2 S ? 200 ( k2 ? k3 )2 ( k3 2 ? )( k2 2 ? ) 5 5
这是两个对称正变量的求极值问题.



因为地位等价,所以当 k2 ? k3 时, S 达到极小值.
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2 2 S ? 200 ( k2 ? k3 )2 ( k3 2 ? )( k2 2 ? ) 5 5 2 2 ? 200 ( 2 k2 k3 )2 ( k2 k3 ? )( k2 k3 ? ) 5 5 2 2 ? 200 (4k2 k3 )(k2 k3 ? )(k2 k3 ? ) 5 5 3 2 3 2 ? 200 3 ? ( ? )( ? ) 4 5 4 5
3 2 23 ? 200 ? ( ? ) ? 3 ? 200 ? ? 3 ? 230 3 4 5 20

故四边形 AMBN 面积 S 的最小值是 230 3 .

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