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2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练:专题对点练14 数列与数列的证明及数列中的存在性问题

专题对点练 14 数列与数列不等式的证明 及数列中的存在性问题 专题对点练第 19 页 1.若数列{an}满足:a1= ,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2. (1)证明:数列{an+1-an}是等差数列; (2)求使 +…+ 成立的最小的正整数 n. (1)证明 由 3(an+1-2an+an-1)=2 可得 an+1-2an+an-1= , 即(an+1-an)-(an-an-1)= , 故数列{an+1-an}是以 a2-a1= 为首项, 为公差的等差数列. (2)解 由(1)知 an+1-an= (n-1)= (n+1), 于是累加求和得 an=a1+ (2+3+…+n)= n(n+1), ∴ =3 . ∴ +…+ =3- , ∴n>5.∴最小的正整数 n 为 6. 2.(2017 广东揭阳二模,理 17)已知数列{an},a1=1,an+1= +n+1. (1)求证:数列 是等比教列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. (1)证明 ∵an+1= +n+1, ∴ =2× +1,∴ +1=2× , ∴数列 是等比教列,公比为 2,首项为 2. (2)解 由(1)可得 +1=2n,可得 an=n· 2n-n. 设数列{n· 2n}的前 n 项和为 Tn, 则 Tn=2+2×22+3×23+…+n· 2n, 2Tn=22+2×23+…+(n-1)· 2n+n· 2n+1, 两式相减可得-Tn=2+22+…+2n-n· 2n+1= -n· 2n+1, ∴Tn=(n-1)· 2n+1+2. ∴Sn=(n-1)· 2n+1+2. 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λan,其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若 S5= ,求 λ. 解 (1)由题意得 a1=S1=1+λa1,故 λ≠1,a1= ,a1≠0. 由 Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1 得 an+1=λan+1-λan, 即 an+1(λ-1)=λan. 由 a1≠0,λ≠0 得 an≠0,所以 . 因此{an}是首项为 ,公比为 的等比数列, 于是 an= . (2)由(1)得 Sn=1- .由 S5= 得 1- ,即 .解得 λ=-1. 4.(2017 吉林白山二模,理 17)在数列{an}中,设 f(n)=an,且 f(n)满足 f(n+1)-2f(n)=2n(n∈N*),且 a1=1. (1)设 bn= ,证明数列{bn}为等差数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. (1)证明 由已知得 an+1=2an+2n, ∴bn+1= +1=bn+1, ∴bn+1-bn=1.又 a1=1,∴b1=1, ∴{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列. (2)解 由(1)知,bn= =n,∴an=n· 2n-1. ∴Sn=1+2×21+3×22+…+n· 2n-1, 2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)· 2n-1+n· 2n, 两式相减得-Sn=1+21+22+…+2n-1-n· 2n=2n-1-n· 2n=(1-n)2n-1, n ∴Sn=(n-1)· 2 +1. 5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*),其中 m 为常数,且 m≠-3. (1)求证:{an}是等比数列; (2)若数列{an}的公比 q=f(m),数列{bn}满足 b1=a1,bn= f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求证: 列,并求 bn. 证明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3, 得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3, 两式相减,得(3+m)an+1=2man. 为等差数 ∵m≠-3,∴ ,∴{an}是等比数列. (2)由(3-m)Sn+2man=m+3, 得(3-m)S1+2ma1=m+3,即 a1=1,∴b1=1. ∵数列{an}的公比 q=f(m)= , ∴当 n≥2 时,bn= f(bn-1)= , ∴bnbn-1+3bn=3bn-1,∴ . ∴ 是以 1 为首项, 为公差的等差数列, ∴ =1+ . 又 =1 也符合,∴bn= . 6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=-2,且满足 Sn= an+1+n+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=log3(-an+1),求数列 的前 n 项和 Tn,并求证 Tn< . (1)解 ∵Sn= an+1+n+1(n∈N*),∴当 n=1 时,-2= a2+2,解得 a2=-8. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an+1+n+1- , 即 an+1=3an-2,可得 an+1-1=3(an-1). 当 n=1 时,a2-1=3(a1-1)=-9, ∴数列{an-1}是等比数列,首项为-3,公比为 3. ∴an-1=-3n,即 an=1-3n. (2)证明 bn=log3(-an+1)=n,∴ . ∴ Tn= +…+ .∴ Tn< . ?导学号 16804192? 7.(2017 湖南长郡中学模拟,理 17)在数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,an>0,且 4Sn= N*),数列{bn}为等比数列,公比 q>1,b1=a1,且 2b2,b4,3b3 成等差数列. (1)求{an}与{bn}的通项公式; (2)令 cn= ,若{cn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<6. +2an+1(n∈N*),① +2a1+1,解得 a1=1. +2an+1(n∈ (1)解 4Sn= 当 n=1 时,4a1= 当 n≥2 时,4Sn-1= +2an-1+1,② ①-②得 4an=(an+1)2-(an-1+1)2, 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 又 an>0,∴

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