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广东省清远市2014-2015学年高二上学期期末教学质量检测数学理试题 Word版含答案


清远市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高二理科数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? ,集合 ? ? ?1,3,5? , ? ? ?1,2? ,则 ? A. ? B. ?5? ) C.135 D.150 ) C. ?3?

? ? ?? ? (
U



D. ?3,5?

2、直线 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是( A.30 B.45

3、用一个平面去截一个几何体,得到的截面是圆面,这个几何体不可能是( A.棱锥 4、圆 ? x ? 1? ? y ? 3
2

B.圆柱

C.球 )

D.圆锥

?

?

2

? r 2 ( r ? 0 )经过原点的充要条件是(
B.r ? 2 C.r ? 3

A.r ? 1

D.r ? 4 )

5、在直三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中,若 C? ? a , C? ? b , CC1 ? c ,则 ?1? ? ( A.a ? b ? c B.a ? b ? c ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.?a ? b ? c

D.?a ? b ? c

6、 “ x ? 0 ”是“ x ?1 ? 1 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

7、已知命题 p : 平行于同一直线的两个平面平行,命题 q : 垂直于同一平面的两条直 线平行,那么( ) B. p 且 q 是真命题 D. ?p 且 q 是真命题

A. p 或 q 是假命题 C. ?p 或 q 是假命题 8、已知椭圆 C 的离心率为

5 ,焦点为 F1 3

?

5, 0 、 F2 ? 5, 0 ,椭圆 C 上位于第一

?

?

?

象限的一点 ? ,且满足 ?F 1 ? ?F 2 ,则 ?F 2 ? ?F 1 的值为( A.1 B.2 C.3

) D.4

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. )
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9、抛物线 x2 ? ?4 y 的焦点坐标是 10、命题“ ?x ? R , x 2 ? 0 ”的否定是

,准线方程是 .



11、如图,正方体 ??CD ? ?1?1C1D1 中,直线 ??1 与 ?C1 所成 角为 12、双曲线 .
x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的左、右顶点分别是 ? 、 a 2 b2

? ,左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,若 ?F1 , ?? , ?F2 成等差数
列,则此双曲线的离心率为 . 13、如右图,一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图 是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则该几何体的 表面积是 . 14、椭圆 4 x2 ? 9 y 2 ? 144 内有一点 ? ? 3, 2 ? ,过点 ? 的弦恰好以 ? 为中点,那么这条弦 所在直线的斜率为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 15 、 (本小题满分 12 分)已知 p : ?5 ? 2x ? 1 ? 5, q : ? x ? 3m ? 2?? x ? 3m ? 2? ? 0 (m ? 0) ,若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求正实数 m 的取值范围.

16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x .若点 ? 1, ? 3 在角 ? 的终边上. ?1? 求 sin ? ;

?

?

? 2 ? 求 f ?? ? 的值.

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17、 (本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱 ??C ? ?1?1C1 (侧棱垂直于底面)中, ?C ? ?? ,且 ??1 ? ?? ? 2 .

?1? 求证: ??1 ? 平面 ?1?C ; ? 2 ? 当 ?C ? 2 时,求直线 ?C 与平面 ?1?C 所成的角.

18、 (本小题满分 14 分)已知圆 C 过原点,圆心在射线 y ? 2 x ( x ? 0 )上,半径为

5. ?1? 求圆 C 的方程;

? 2 ? 若 ? 为直线 m : x ? 2 y ? 5 ? 0 上的一动点,? 为圆 C 上的动点,求 ?? 的最小值
以及 ?? 取最小值时 ? 点的坐标.

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19 、 (本小题满分 14 分)如图,在多面体 ??CD?F 中,四边形 ?? CD 为菱形, ???C ? 60 ,?C ? 面 ?? CD ,F? ? 面 ?? CD ,G 为 ? F 的中点,若 ?G ? 面 ?? F , ?? ? 2 . ?1? 求证: ?G// 面 ??CD ;

? 2 ? 若 ?F ? ?? ,求二面角 ? ? ?F ? D 的余弦值.

20、 (本小题满分 14 分)已知椭圆 C : 轴端点与短轴端点间的距离为 5 .

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,长 2 a b 2

?1? 求椭圆 C 的方程; ? 2 ? 设过点 D?0,4? 的直线 l 与椭圆 C 交于 ? , F 两点, ? 为坐标原点,若 ???F 为直
角三角形,求直线 l 的斜率.

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清远市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高二理科数学试卷参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 C 6 B 7 D 8 B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9. ? 0, ?1? 11. 60

y ? 1 (第一空 3 分,第二空 2 分)
12. 2 13. 12

10. ?x ? R , x ? 0
2

14. ?

2 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解:解不等式可求得:p:-2≤x≤3,…………………2 分 q:2-3m≤x≤2+3m (m>0).…………………4 分 解法一:则 ? p:A={x∣x<-2 或 x>3}, ? q:B={x∣x<2-3m 或 x>2+3m,m>0 } ?? 6 分 由已知 ? p ? ? q, ? q 不能推出 ? p, 得 A B. …………………8 分
?2 ? 3m ? ?2, 从而 ?2 ? 3m ? 3, ? ? m ? 0. ? ? 1 0 ? m ? .…………………11 分(得到不等式组得 2 分) 3

经验证 ( 上述不等式组中等号不能同时成立) , .. . ∴为所求实数 m 的取值范围是 { x | 0 ? x ? } .12 分 解法二:解不等式可求得:p:A={x|-2≤x≤3},…………………2 分 q:B={x|2-3m≤x≤2+3m} (m>0).…………………4 分 ? p 是 ? q 的充分而不必要条件,即 q 是 p 的充分而不必要条件(或者 p 是 q 的必要而不充分 条件)?? 6 分 由已知 q ? p, p 不能推出 q , 得 B .A…………………8 分
?2 ? 3m ? ?2, ? ?2 ? 3m ? 3, ? m ? 0. ? ? 1 0 ? m ? …………………11 分(得到不等式组得 2 分) 3

1 3

经验证 ( 上述不等式组中等号不能同时成立) , .. . ∴为所求实数 m 的取值范围是 { x | 0 ? x ? } .12 分
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1 3

16.解: (1)因为点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上,|PO|=2,??2 分 所以 sin? ?

y ????4 分 | OP |

sin ? ? ?

3 ,????5 分(没有过程扣 1 分) 2

(2)由(1)得 cos ? ?

1 ????7 分 2
??10 分,

由已知得 f (? ) ? 3sin 2? ? 2sin 2 ? ? 2 3sin ? cos ? ? 2sin 2 ?

? 2 3 ? (?

3 1 3 ) ? ? 2 ? (? ) 2 ? ?3 . 2 2 2

??????12 分

17、解法一(1)证明:∵在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,

∴A1A⊥面 ABC,……..(1 分), BC ? 面ABC ∴A1A⊥BC ……..(2 分) 又? BC⊥AB…..(3 分), AB ? AA 1 ? A
? BC ? 平面AA1 B1 B ,(4 分) AB1 ? 面ABB 1A

∴BC⊥AB1,(5 分) ∵四边形 A1ABB1 是正方形
? AB1 ? A1B ……..(6 分)

又∵ BC ? A1B ? B , AB1 ? 平面A1BC ……..(7 分) (2)解法一:设 AB1 ? A1B ? O ,连结 CO????(8 分), ∵ BC ? 平面A1 ABB1 .则 ?ACO 就是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角 θ……
∵BC=2,? AO ?

(10 分)

AO 1 AB1 ? 2 ; sin ?ACO ? sin ? ? ……..(11 分) 2 AC

? AC ?? 2 2, AO ? 2 ……..(12 分)
在 Rt△AOC 中,

sin ? ?

1 ? ,∴ θ= …..(13 分) 2 6

? BC 的长为 2 时,直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为

? .……..(14 分) 6

(2)解法二:由(1)知以 B 为原点建立如图所示坐标系 B-xyz,???(8 分),

设 BC= x ,则 B(0,0,0),A(0,2,0) ,C(2,0,0) A1 (0,2,2),??(10 分),
由(1)知 AB1 ? 平面A1BC ,??(11 分),
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B1 (0,0,2) , AB1 =(0,-2,2),??(12 分),

∵直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 θ,

1 sin ? ? cos ? AC , AB ? ? , ??(13 分) ∴ 1 2
即 BC 的长为 2 时,直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为

? .……..(14 分) 6

解法二: (1)∵在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∴A1A⊥面 ABC,……..(1 分), 又∵BC⊥AB,所以可建立如图所示的直角坐标系 B-xyz,则 B(0,0,0),A

(0,2,0),C(X,0,0) A1(0,2,2),B1(0,0,2)……..(4 分),

AB1 ? BA ? 2, 2) ? (0, 2, 2) ? 0 ……..(5 分), 1 ? (0,
? AB1 ? A1B ……..(6 分)

AB1 ? BC ? (0, ? 2, 2) ? ( x, 0, 0) ? 0 ……..(7 分),
∴BC⊥AB1,(8 分) 又∵ BC ? A1B ? B , AB1 ? 平面A1BC ……..(9 分)
(2)BC=2,由(1)知 C(2,0,0)
????

(10 分),

由(1)知 AB1 ? 平面A1BC ,??(11 分),

B1 (0,0,2) , AB1 =(0,-2,2),??(12 分),

∵直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 θ,

1 sin ? ? cos ? AC , AB ? ? , ??(13 分) ∴ 1 2
即 BC 的长为 2 时,直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为
(说明:求法向量 2 分)
18.解: (1)设圆 C 的方程为: ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 ……………………..(1 分)
2 2

? .……..(14 分) 6

? b ? 2a ? 2 2 ?a ? b ? 5 由题意知: ? ? a?0

…………..(4 分)

第 7 页 共 11 页

解得 a ? 1, b ? 2 ……………………..(6 分)

? 圆 C 的方程为: ?x ?1? ? ? y ? 2? ? 5 ……………………..(7 分)
2 2

(2)由图像可知线段 MN 的延长线经过圆 C 的圆心,且与直线 m 垂直时|MN|的最小,

??(8 分)
∴直线 MN: y ? 2 ? 2( x ? 1) ,??(9 分) ∵MN ? m =M,∴联立 ?

?x ? 2 y ? 5 ? 0 得 M(-1,-2)??(11 分) ? 2x ? y ? 0
|1? 4 ? 5 | = 2 5 …...…(12 分) 5

解法一:设圆心 C 到直线 m 的距离为 d,则 d=

? |MN|的最小值为 d-r= 5 ……………………..(13 分)
∴|MN|的最小值为 5 ,此时 M 的坐标(-1,-2)……………..(14 分) 解法二:? |MN|的最小值为=|CM|-r= 2 5 - 5 = 5 ………………..(13 分) ∴|MN|的最小值为 5 ,此时 M 的坐标(-1,-2)……………..(14 分) 19.解:解法一( (1)不建系) : (1)(解法一)取 AB 的中点 M,连结 GM,MC,G 为 BF 的中 点,∴GM //FA, ????1 分

又 EC ? 面 ABCD, FA ? 面 ABCD,∴CE//AF,??2 分 ∴CE//GM, 且 GM ? 面 ABCD,??????3 分 ∴四边形 CEGM 为平面四边形.??????4 分 又因为 MC ? 面 ABCD ,∴GM ? MC,??????5 分 ∵EG⊥面 ABCD ,又∵ GM ? 面 ABF ,∴GE ? MG,∴EG∥CM ,??????6 分

又因为 MC ? 面 ABCD ,EG ? 面 ABCD , ∴ EG∥面 ABCD ??????7 分
(解法二)∵ABCD 为菱形,∠ABC=60°,∴△ABC 为正三角形, ????1 分 又∵M 是 AB 的中点, ∴MC⊥AB, ????2 分 又∵FA⊥面 ABCD, MC ? 面 ABCD,∴FA⊥MC,????3 分
第 8 页 共 11 页

AB∩FA=A,∴MC⊥面 ABF,????4 分 已知 EG⊥面 ABF,∴MC∥EG ????5 分

又因为 MC ? 面 ABCD ,EG ? 面 ABCD , ∴ EG∥面 ABCD ??????7 分
(2) (解法一)由题意知 △FAB≌△FAD, ∴FB=FD=2 2 ????1 分 同理△FAB≌△FAD,,EB=ED= 5 ,????2 分 ∴△FEB≌△FED,????3 分, 过 B 作 BH⊥FE,连 HD,则 DH⊥FE,????4 分,∴∠BHD 为所求角的平面角?5 分, 在直角梯形 FACE 中,FE= 5 ,根据面积相等 FB ? EG ? BH ? FE 得 BH ? 在△BHD 中,根据余弦定理得 COS∠BHD= ?

2 30 ?6 分, 5

1 1 ,∴为所求角的余弦值为 ? ???7 分 4 4

(解法二)建立如图所示的坐标系,∵AB=2,AF=AB,由(1)知四边形 GMCE 为矩形. 则 B( 3,0,0 )E(0,1,1) F(0,-1,2)

EF =(0,-2,1) , EB =( 3 ,-1,-1), DE =( 3 ,1, 1),??????10 分
设平面 BEF 的法向量 n1 =( x, y, z )则

?? 2 y ? z ? 0 令 y ? 1 ,则 z ? 2, x ? 3 , ? 3 x ? y ? z ? 0 ?
∴ n1 =( 3,1,2 )???????12 分 同理,可求平面 DEF 的法向量 设所求二面角的平面角为 ? ,则 解法二((1)、(2)均建系) : (1)建立如图所示的坐标系,因为 AB=2,设 AF=b,则 A(0,-1,0),B( 3,0,0 ) , F(0,-1,

n 2 =(- 3,1,2 )???13 分
cos ? = ?

1 .???????14 分 4

3 1 b , ? , ) ,E(0,1,c) ??3 分 2 2 2 ∵EG⊥面 ABF,∴ EG ? AB ,EG ? AF , ??4 分
b) ,G(

第 9 页 共 11 页



( ,? , ? c) ? ( 3 ,1,?b) ? 0 ? ? ? EG ? FB ? 0 ? 2 2 ??5 分 ∴ ? 2 解得 b=2c.?7 分 ? ? 3 3 b ? EG ? AF ? 0 ? ( ,? , ? c) ? (0,0, b) ? 0 ? 2 2 ? 2
??8 分 ??9 分

?

3

3 b

∴ EG

?(

由已知 FA ? 面 ABCD, EG ? 平面 ABCD 上,∴EG∥平面 ABCD (2)∵AF=AB,则 E(0,1,1) F(0,-1,2)

3 3 , ? , 0) ,∴ EG ? AF ? 0 , 2 2

EF =(0,-2,1) , EB =( 3 ,-1,-1), 设平面 BEF 的法向量 n1 =( x, y, z )则

DE =( 3 ,1, 1),??????10 分

?? 2 y ? z ? 0 令 y ? 1 ,则 z ? 2, x ? 3 ,???????11 分 ? ? 3x ? y ? z ? 0
∴ n1 =( 3,1,2 )???????12 分

n 2 =(- 3,1,2 )???13 分 1 设所求二面角的平面角为 ? ,则 cos ? = ? ???????14 分 4
同理,可求平面 DEF 的法向量 20.解: (1)由已知
2 2 2

c 3 2 ? , a ? b 2 ? 5, a 2
2

??????2 分 解得 a ? 4, b ? 1,
2

又 a ? b ? c , ??????3 分

????4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. ????????????5 分 4

(2)根据题意,过点 D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4. ??6 分

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 联立, ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 32kx ? 60 ? 0 ,????7 分 ? y ? kx ? 4 ?

? ? (32k ) 2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 ,
2 令 ? ? 0 ,解得 k ?

15 . 4

??????????????????8 分

设 E、F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x 2 ? ?

32 k 60 , x1 x 2 ? ,??????????9 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
第 10 页 共 11 页

(i)当∠EOF 为直角时,

因为∠EOF 为直角,所以 OE ? OF ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,??????10 分 所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19. ??????11 分 所以 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
(ii)当∠OEF 或∠OFE 为直角时,不妨设∠OEF 为直角, 此时, kOE ? k ? 1 ,所以

y1 y1 ? 4 ? ? ?1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ??①????12 分 x1 x1



x12 ? y12 ? 1 ????② 4
2

将①代入②,消去 x1 得 3 y1 ? 4 y1 ? 4 ? 0, 解得 y1 ? 将 y1 ?

2 或 y1 ? ?2 (舍去) ,????????13 分 3
所以 k ?

2 2 5, 代入①,得 x1 ? ? 3 3

y1 ? 4 ? ? 5 ,??????14 分 x1

经检验,所求 k 值均符合题意 综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5. ??????14 分

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