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2013届江苏省高考数学二轮复习:专题3 导数(Ⅰ)


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江苏省 2013 届高考数学(苏教版)二轮复习专题 3 导__数(Ⅰ)

导数作为研究函数的重要工具,同时也是学习高等数学的基础,一直受到命题者的青睐.2008 年考了 2 小题,并在 17 题中进行了考查?运用导数求三角函数的最值?;2009 年考了 2 小题,都是考查三次函数的 导数,显然重复;2010 年第 8 题和压轴题都考查了导数;2011 年 12 题和 19 题;2012 年 14 题和 18 题.可 以看出江苏高考每年都会出现两题考查导数的几何意义或者导数的四则运算以及利用导数研究极值、单调 性等. 预测在 2013 年的高考题中: ?1?导数的几何意义; ?2?利用导数研究函数的单调性或者极值、最值.

1.(2009· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上,且在第二象限内, 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 ________. 解析:y′=3x2-10=2?x=± 2,又点 P 在第二象限内,故 x=-2.点 P 的坐标为(-2,15). 答案:(-2,15)
2 2.(2010· 江苏高考)函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整

数,a1=16,则 a1+a3+a5=________. ak ak 2 解析:在点(ak,a2 k )处的切线方程为 y-ak =2ak(x-ak),当 y=0 时,解得 x= ,所以 ak+1= .则 a1+ 2 2 a3+a5=16+4+1=21. 答案:21

3. 若函数 f(x)=ex-2x-a 在 R 上有两个零点, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:当直线 y=2x+a 和 y=ex 相切时,仅有一个公共点,这时切点是(ln 2,2), 直线方程是 y=2x+2-2ln 2,将直线 y=2x+2-2ln 2 向上平移,这时两曲线必有 两个不同的交点. 答案:(2-2ln 2,+∞) 4.(2010· 江苏高考)将边长为 1 m 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是
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?梯形的周长? 梯形,记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积 解析:设剪成的小正三角形的边长为 x,则
2 ?3-x?2 4 ?3-x? S= = · 2 (0<x<1). 1 3 3 1-x ?x+1?· ?1-x? 2 2

法一:利用导数求函数最小值. S(x)= 4 ?3-x? · 2 , 3 1-x
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?1-x2?-?3-x?2· ?-2x? 4 ?2x-6?· S′(x)= · ?1-x2?2 3 = 4 -2?3x-1??x-3? · . ?1-x2?2 3

1 令 S′(x)=0,又 0<x<1,所以 x= . 3 1? ?1 ? 当 x∈? ?0,3?时,S′(x)<0,函数单调递减;当 x∈?3,1?时,S′(x)>0,函数单调递增; 1 32 3 故当 x= 时,S 取最小值为 . 3 3 法二:利用函数的方法求最小值. 1 1 1? , ,则 令 3-x=t,t∈(2,3), ∈? t ?3 2? S= 4 t2 4 1 · 2 = · . 3 -t +6t-8 3 8 6 - 2+ -1 t t

1 3 1 32 3 故当 = ,x= 时,S 取最小值为 . t 8 3 3 32 答案: 3 3

5.(2011· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象 在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的 最大值是________. 解析:设 P(x0,ex0),则 l:y-e x0=e x0 (x-x0), 所以 M(0,(1-x0)e x0).过点 P 作 l 的垂线其方程为 y-e x0=-e-x0 (x-x0),N(0,e x0+x0e-x0), 1 所以 t= [(1-x0)e x0+e x0+x0e-x0] 2 1 =e x0+ x0(e-x0-e x0). 2

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1 t′= (ex0+e-x0)(1-x0),所以 t 在(0,1)上单调增,在(1,+∞)上单调减,所以当 x0=1 时,t 取最大 2 1 1 e+ ?. 值 tmax= ? 2? e? 1 1 e+ ? 答案: ? 2? e?

[典例1] (2012· 扬州调研)已知函数 f(x)=ex+ax,g(x)=ex ln x(e 是自然对数的底数). (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线也是抛物线 y2=4(x-1)的切线,求 a 的值; (2)若对于任意 x∈R,f(x)>0 恒成立,试确定实数 a 的取 值范围; (3)当 a=-1 时,是否存在 x0∈(0,+∞),使曲线 C:y=g(x)-f(x)在点 x=x0 处的切线斜率与 f(x)在 R 上的最小值相等?若存在,求符合条件的 x0 的个数;若不存在,请 说明理由. [解] (1)f′(x)=ex+a,f′(1)=e+a,所以在 x=1 处的切线为 y-(e+a)=(e+a)(x-1), 即 y=(e+a)x. 与 y2=4(x-1)联立,消去 y 得 (e+a)2x2-4x+4=0, 由 Δ=0 知,a=1-e 或 a=-1-e. (2)f′(x)=ex+a, ① 当 a>0 时,f′(x)>0,f(x)在 R 上单调递增,且当 x→-∞时,ex→0,ax→-∞, 所以 f(x)→-∞,故 f(x)>0 不恒成立, 所以 a>0 不合题意; ②当 a=0 时,f(x)=ex>0 对 x∈R 恒成立, 所以 a=0 符合题意; ③当 a<0 时,令 f′(x)=ex+a=0,得 x=ln(-a),当 x∈(-∞,ln(-a))时,f′(x)<0;当 x∈(ln(-a), +∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减,在(ln(-a), +∞)上单调递增,所以 f(x)min=f(ln(- a))=-a+a ln(-a)>0,所以 a>-e.又 a<0,所以 a∈(-e,0). 综上 a 的取值范围为(-e,0]. (3)当 a=-1 时,由(2)知 f(x)min=f(ln(-a))= -a+a ln(-a)=1. 设 h(x)=g(x)-f(x)=ex ln x-ex+x, 1 则 h′(x)=exln x+ex·-ex+1 x 1 ln x+ -1?+1, =ex? x ? ?
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相等,x0 即为方程的解, 1 ? 令 h′(x)=1 得,ex? ?ln x+x-1?=0, 1 因为 ex>0,所以 ln x+ -1=0. x

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假设存在实数 x0∈(0,+∞),使曲线 C∶y=g(x)-f(x)在点 x=x0 处的切线斜率与 f(x)在 R 上的最小值

1 1 1 x-1 令 φ(x)=ln x+ -1,则 φ′(x)= - 2= 2 , x x x x 1 当 0<x<1 时,φ′(x)<0;当 x>1 时,φ′(x)>0.所以 φ(x)=ln x+ -1 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞) x 1 ? 上单调递增.所以 φ(x)>φ(1)=0,故方程 ex? ?ln x+x-1?=0 有惟一解为 1. 所以存在符合条件的 x0,且仅有一个 x0=1.

第一问考查导数的几何意义;第二问还可采用分离参数构造函数求最值的方法,不过也要进行讨论; 第三问先求 f(x)的最小值,然后再研究函数 h(x)=g(x)-f(x)=exln x-ex+x 在 x=x0 处的切线斜率,最后利 用函数与方程思想,把方程实根的问题转化为函数的零点问题. [演练1] 已知抛物线 C1:y=x2+2x 和 C2:y=-x2+a.如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线,称 l 是 C1 和 C2 的公 切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段. (1)a 取什么值时,C1 和 C2 有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程; (2)若 C1 和 C2 有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分. 解:(1)函数 y=x2+2x 的导数 y′=2x+2 曲线 C1 在点 P(x1,x2 1+2x1)的切线方程是 y-(x2 1+2x1)=(2x1+2)(x-x1), 即 y=(2x1+2)x-x2 1.① 函数 y=-x2+a 的导数 y′=-2x, 曲线 C2 在点 Q(x2,-x2 2+a)的切线方程是 y-(-x2 2+a)=-2x2(x-x2), 即 y=-2x2x+x2 2+a.② 如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线, 则①式和②式都是 l 的方程.
?x1+1=-x2, ? 所以? 2 2 ?-x1=x2+a. ?
2 消去 x2 得方程 2x1 +2x1+1+a=0.

1 当判别式 Δ=4-4×2(1+a)=0,即 a=- 时, 2 1 1 解得 x1=- ,x2=- ,此时点 P 与 Q 重合. 2 2
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1 即当 a=- 时 C1 和 C2 有且仅有一条公切线, 2 1 由①得公切线方程为 y=x- . 4 1 (2)证明:由(1)可知,当 a<- 时 C1 和 C2 有两条公切线. 2 设一条公切线上切点为 P(x1,y1),Q(x2,y2), 其中 P 在 C1 上,Q 在 C2 上,则有 x1+x2=-1,
2 2 2 y1+y2=x2 1+2x1+(-x2+a)=x1+2x1-(x1+1) +a=-1+a,

1 -1+a? 线段 PQ 的中点为?- , . 2 ? ? 2 1 -1+a? 同理,另一条公切线段 P′Q′的中点也是?- , . 2 ? ? 2 所以公切线段 PQ 和 P′Q′互相平分. [典例2] (2012· 苏锡常镇一调)若斜率为 k 的两条平行直线 l,m 经过曲线 C 的端点或与曲线 C 相切,且曲线 C 上的所有点都在 l,m 之间(也可在直线 l,m 上),则把 l,m 间的距离称为曲线 C 在“k 方向上的宽度”, 记为 d(k). (1)若曲线 C:y=2x2-1(-1≤x≤2),求 d(-1); (2)已知 k>2,若曲线 C:y=x3-x(-1≤x≤2),求关于 k 的函数关系式 d(k). 解:(1)y=2x2-1(-1≤x≤2)的端点为 A(-1,1),B(2,7), 1 7 - ,- ?, ∵y′=4x,由 y′=-1 得到切点为? 4 8? ? ∴当 k=-1 时,与曲线 C 相切的直线只有一条. 结合题意可得,两条平行直线中一条与曲线 C:y=2x2-1(-1≤x≤2)相切,另一条直线过曲线的端点 B(2,7). 9 ∴平行的两条直线分别为:x+y-9=0 和 x+y+ =0. 8 81 2 由两条平行线间的距离公式可得,d(-1)= . 16 (2)曲线 C:y=x3-x(-1≤x≤2)的端点 A(-1,0),B(2,6), ∴y′=3x2-1∈[-1,11]. 下面分两种情况: ①当 k≥11 时,两条直线都不是曲线的切线,且分别经过点 A(-1,0),B(2,6),此时 两条直线方程分别为 l:y=k(x+1),m:y-6=k(x-2),所以 d(k)= 3k-6 ; 1+k2 1+k 从 3

②当 2<k<11 时,设切点 N(a,a3-a)得到 k=3a2-1>2 且-1≤a≤2 得到 1<a≤2,且 a=

而推出 l,m 当中有一条与曲线 C 相切,有一条经过一点,且是经过 A(-1,0)的直线,和以 B(2,6)为切点的
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直线,方程分别为 l : y = k(x + 1) , m : y = (3a2 - 1)(x - a) + a3 - a = kx - 9k+2 9 3 3?1+k? 2 1+k2

3 (1 + k) ,所以 d(k) = 2

. 3k-6

? 1+k ,k≥11, 综上得 d(k)=? 3 9k+2 3?1+k? 2 ? 9 1+k ,2<k<11.
2 2

本题是一个即时定义问题,背景新颖,在解决第二问时要 注意将 k 看成一个常数,对 k 进行讨论,探 究出两条直线与曲线 C 的关系是都相切还是都是经过点还是一个相切一个经过点,并且了解经过哪个 点.这些都可以利用导数这个工具解决. [演练2] 1 设函数 f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=3. x+b (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并求出此定 值.

?2a+2+b=3, 1 解:(1)f′(x)=a- ,于是? ?x+b? 1 ?a-?2+b? =0.
2 2

1

?a=1, ? 解得? 或 ?b=-1, ?

?a=4, ? 8 ?b=-3.
1 . x-1

9

因为 a,b∈Z,故 f(x)=x+

1 (2)证明:在曲线上任取一点?x0,x0+x -1?, ? ? 0 1 由 f′(x0)=1- 知,过此点的切线方程为 ?x0-1?2 1 x2 0-x0+1 ? y- = 1-?x -1?2?(x-x0). ? ? x0-1 0 x0+1 ? x0+1?; 令 x=1,得 y= ,切线与直线 x=1 的交点为?1, ? x0-1 ? x0-1? 令 y=x,得 y=2x0-1, 切线与直线 y=x 的交点为(2x0-1,2x0-1).
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直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1).

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1?x0+1 ? 1? 2 ? -1?|2x0-1-1|= ? 从而所围三角形的面积为 ? |2x -2 |=2. 2?x0-1 ? 2? x0-1? 0 所以所围三角形的面积为定值 2. [典例3] (2012· 泰州中学期中)已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2 都有|f(x1)-f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值; (3)若过点 M(2,m)(m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围. 解:(1)f′(x)=3ax2+2bx-3.
?f?1?=-2, ?a+b-3=-2, ? ? 根据题意,得? 即? ?f′?1?=0, ? ? ?3a+2b-3=0, ? ?a=1, 解得? ?b=0. ?

所以 f(x)=x3-3x. (2)令 f′(x)=0,即 3x2-3=0,得 x=± 1. x f′(x) f(x) -2 -2 (-2,-1) + ? -1 0 极大值 (-1,1) - ? 1 0 极小值 (1,2) + ? 2 2

因为 f(-1)=2,f(1)=-2, 所以当 x∈[-2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=-2. 则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4,所以 c≥4, 即 c 的最小值为 4. (3)因为点 M(2,m)(m≠2)不在曲线 y=f(x)上,所以可设切点为(x0,y0).因为 f′(x0)=3x2 0-3,所以切 线的斜率为 3x2 0-3. x3 0-3x0-m 2 则 3x2 - 3 = ,即 2x3 0 0-6x0+6+m=0. x0-2
2 因为过点 M(2,m)(m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,所以方程 2x3 0-6x0+6+m=0 有三个不同的实

数解. 所以函数 g(x)=2x3-6x2+6+m 有三个不同的零点. 则 g′(x)=6x2-12x.令 g′(x)=0,则 x=0 或 x=2. x g′(x) g(x)
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(-∞,0) + ?

0 0 极大值

(0,2) - ?

2 0 极小值

(2,+∞) + ?

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?g?0?>0, ?6+m>0, ? ? 则? 即? 解得-6<m<2. ?g?2?<0, ?-2+m<0, ? ?

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所以 m 的取值范围为(-6,2).

本题考查导数的 几何意义、不等式恒成立、极值、最值等问题,一、二两问中规中矩,掌握好计算方 法即可,第三问主要能够将“若过点 M(2,m)(m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条 切线”转化成“关于切点横坐
2 标 x0 的方程 2x3 0-6x0+6+m=0 有三个不同的实数解”,问题就迎刃而解了.

[演练3] (2012· 南京一模)已知函数 f(x)=x-1-ln x. (1)求函数 f(x)的最小值; 1 1 1 (2)求证:当 n∈N*时,e1+ + +?+ >n+1; 2 3 n (3)对于函数 h(x)和 g(x)定义域上的任意实数 x,若存在常数 k,b,使得不等式 h(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx 1 +b 都成立,则称直线 y=kx+b 是函数 h(x)与 g(x)的“分界线”.设函数 h(x)= x2,g(x)=e[x-1-f(x)], 2 试问函数 h(x)与 g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出常数 k,b 的值;若不存在,说明理由. 解:(1)∵f(x)=x-1-ln x(x>0), 1 x-1 ∴f′(x)=1- = . x x 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f (x)递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增. ∴f(x)的最小值为 f(1)=0. (2)证明:由(1)知当 x>0 时,恒有 f(x)≥0, 即 x-1≥ln x. 1 1 1 - 故 ex 1≥x,从而有 ex≥x+1,当且仅当 x=0 时取等号.分别令 x=1 , , ,?, 可得 e1>1+1=2, 2 3 n n+1 1 1 3 1 1 4 1 1 e > +1= ,e > +1= ,?,e > +1= , 2 2 2 3 3 3 n n n n+1 1 1 1 3 4 1 1 1 相乘可得 e1+ + +?+ >2× × ×?× =n+1,即 e1+ + +?+ >n+1. 2 3 n 2 3 n 2 3 n 1 (3)令 F(x)=h(x)-g(x)= x2-eln x(x>0), 2 e ?x+ e??x- e? 则 F′(x)=x- = , x x 当 x∈(0, e)时,F′(x)<0,F(x)递减; 当 x∈( e,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增. 所以当 x= e时,F(x)取得最小值 0.
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圆您梦想 e e, ?. 则 h(x)与 g(x)的图象在 x= e处有公共点? 2? ?

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e e 设函数 h(x)与 g (x)存在“分界线”, 方程为 y- =k(x- e), 应有 h(x)≥kx+ -k e在 x∈R 时恒成立, 2 2 即 x2-2kx-e+2k e≥0 在 x∈R 时恒成立, 必须 Δ=4k2-4(2k e-e)=4(k- e)2≤0,得 k= e. e 下证 g(x)≤ ex- 在 x>0 时恒成立, 2 e 记 G(x)=eln x- ex+ , 2 e- ex e 则 G′(x)= - e= ,当 x∈(0, e)时,G′(x)>0,G(x)递增;当 x∈( e,+∞)时 G′(x)<0, x x G(x)递减. 所以当 x= e时,G(x)取得最大值 0, e 即 g(x)≤ ex- 在 x>0 时恒成立. 2 e 综上可知,函数 h(x)与 g(x)存在“分界线”,其中 k= e,b=- . 2 [专题技法归纳] (1)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围和符号. (2)可以利用导数求曲线的切线方程,由于函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数表示曲线在点 P(x0,f(x0))处切 线的斜率,因此,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程可如下求得: ①求出函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率. ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y=y0+f′(x0)(x-x0).

1.(2012· 南通调研)设 P 是函数 y= x(x+1)图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾斜 角为 θ,则 θ 的取值范围是________. 3 1 3 1 1 1 3 1 1 1 解析:依题意得,y=x +x ,y′= x + x- (x>0),当 x>0 时,y′= x + x- ≥2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 3 1 1 1 x × x- 2 2 2 2

π π 3,即该图象在点 P 处的切线的斜率不小于 3,即 tan θ≥ 3.又 θ∈[0,π),因此 ≤θ< ,即 θ 的取 3 2

π π? 值范围是? ?3,2?. π π? 答案:? ?3,2? 2.若方程 ln x-2x-a=0 有两个不等的实数根,则实数 a 的取值范围是________. 解析:作出 y=ln x 和 y=2x+a 的图象,分析方程 ln x-2x-a=0,有两个不等的实数根
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问题,即是研究 y=ln x 和 y=2x+a 的图象交点问题,如图可知,y=2x+a 与 y=ln x 相切时,a=-1-ln 2,只要 a<-1-ln 2,图象都有两个不等的交点, 即 a∈(-∞,-1-ln 2). 答案:(-∞,-1-ln 2) 3 3.若函数 f(x)= +ln x 在区间(m,m+2)上单调递减,则实数 m 的范围是________. x 3 3 1 x-3 解析:由 f(x)= +ln x,得 f′(x)=- 2+ = 2 ,由 f′(x)<0 得 0<x<3,所以 f(x)的减区间是(0,3].由 x x x x (m,m+2)?(0,3]得 0≤m≤1. 答案:[0,1] 4.f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 a=________,b=________. 解析:f′(x)=3x2+2ax +b,
? ? ?f′?1?=0, ?2a+b=-3, 由已知,得? 即? 2 ?f?1?=10, ?a +a+b=9, ? ? ? ? ?a=-3, ?a=4, 解得? 或? 经检验,当 a=-3,b=3 时,x=1 不是极值点;当 a=4,b=-11 时, ?b=3 ? ? ?b=-11.

符合题意. 答案:4 -11 5.设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 y 轴的交点的纵坐标为 yn,令 bn=2yn,则 b1· b2· ?· b2 010


的值为________. 解析:先求出函数在(1,1)处的切线方程 y-1=(n+1)· (x-1),令 x=0,求出 yn=-n,下面利用指数式 的运算法则以及等差数列求和即可. 1?2 011×1 005 答案:? ?2? 3 ? 6.已知函数 y=f(x)在定义域? ?-2,3?上可导,其图象如图,记 y=f(x)的导函数 y =f′(x),则不等式 xf′(x)≤0 的解集是________. 1 ? 解析:利用函数 f(x )的图象信息得出 f′(x)≤0 的解集是? ?-2,1?,f′(x)≥0 的解
?x≥0, ?x≤0, ? ? 3 1? 3 1 ? 集是? 或? 从而 0≤x≤1 或- <x≤- . ?-2,-2?∪[1,3),从而由 xf′(x)≤0,得? 2 2 ?f′?x?≤0 ? ?f′?x?≥0,

3 1? 答案:[0,1]∪? ?-2,-2? 7.曲边梯形由曲线 y=ex,y=0,x=1,x=5 所围成,过曲线 y=ex,x∈[1,5]上一 点 P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,这时点 P 的坐 标是________. 解析:如图设 P(x0,y0),得切线 AB 方程 y-ex0=ex0(x-x0),从而 A(1,e x0 (2-x0)),
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x0 x0

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x0

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B(5,e (6-x0)),所以梯形的面积 S=2e (8-2x0)=4e (4-x0),对 S 求导得 S′=4ex0(3-x0),易知 S(x0)在(1,3)上递增,(3,5)上递减,所以 S(x0)取最大时,P 点坐标为(3,e3). 答案:(3,e3) 1 8.已知函数 f(x)=- x2+4x-3ln x 在[t,t+1]上不是单调函数,则 t 的取值范围是________. 2
2 ?x-1??x-3? 3 -x +4x-3 解析:由题意知 f′(x)=-x+4- = =- ,由 f′(x)=0 得函数 f(x)的两个极 x x x

值点为 1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数 f(x)在区间[t,t+1]上就不是单调函数, 由 t<1<t+1 或者 t<3<t+1,得 0<t<1 或者 2<t<3. 答案:(0,1)∪(2,3) 9.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″(x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 在 D 上恒成立,则称 f(x)在 D 上为凸函数.以下四个 π? 函数在? ?0,2?上不是凸函数的是________.(把你认为正确的序号都填上) ①f(x)=sin x+cos x; ③f(x)=-x3+2x-1; ②f(x)=ln x-2x; ④f(x)=xex.

解析:对于①,f″(x)=-(sin x+cos x), π? x∈? ?0,2?时,f″(x)<0 恒成立; π? 1 对于②,f″(x)=- 2,在 x∈? ?0,2?时, x f″(x)<0 恒成立; π? 对于③,f″(x)=-6x,在 x∈? ?0,2?时, f″(x)<0 恒成立; π 0, ?时, 对于④,f″(x)=(2+x)· ex 在 x∈? ? 2? f″(x)>0 恒成立,所以 f(x)=xex 不是凸函数. 答案:④ 10.设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lg xn,则 a1+a2+?


+a99 的值为________. n 解析:函数在(1,1)处切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0 得到 xn= ,所以 a1+a2+?+a99= n+1 lg 1 =-2. 100 答案:-2 a+sin x 11.已知函数 f(x)= -bx(a,b∈R). 2+cos x (1)若 f(x)在 R 上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为 2 680,试求 a 和 b 的值;
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(2)若 f(x)为奇函数,

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2π? ?2π ? ①是否存在实数 b,使得 f(x)在? ?0, 3 ?为增函数,? 3 ,π?为减函数?若存在,求出 b 的值;若不存在, 请说明理由; ②如果当 x≥0 时,都有 f(x)≤0 恒成立,试求 b 的取值范围. 解:(1)∵f(x)在 x∈R 上存在最大值和最小值, ∴b=0(否则 f(x)值域为 R). a+sin x ∴y=f(x)= ?sin x-ycos x=2y-a 2+cos x ?|sin(x-φ)|= |2y-a| ≤1?3y2-4ay+a2-1≤0, 1+y2

4 又 Δ=4a2+12>0,由题意有 ymin+ymax= a=2 680, 3 ∴a=2 010. (2)若 f(x)为奇函数,∵x∈R,∴f(0)=0?a=0, 2cos x+1 sin x ∴f(x)= -bx,f′(x)= - b, 2+cos x ?2+cos x?2 2 ? ?2 ? ?2 ? ①若?b∈R,使 f(x)在? ?0,3π?上递增,在?3π,π?上递减,则 f′?3π?=0, 1+2cos x ∴b=0.这时 f′(x)= , ?2+cos x?2 2 ? 当 x∈? ?0,3π?时,f′(x)>0,f(x)递增, 2 ? 当 x∈? ?3π,π?时 f′(x)<0,f(x)递减. -bcos2 x+2?1-2b?cos x+1-4b ②f′(x)= , ?2+cos x?2 Δ=4[(1-2b)2+b(1-4b)]=4(1-3b), 1 若 Δ≤0,则 b≥ ,则 f′(x)≤0,对?x≥0 恒成立,这时 f(x)在[0,+∞)上递减,∴f(x)≤f(0)=0. 3 若 b<0,则当 x≥0 时,-bx∈[0,+∞), sin x 3 3 ∈?- , ?, 3? 2+cos x ? 3 sin x f(x)= -bx 不可能恒小于等于 0. 2+cos x sin x 3 3 若 b=0,则 f(x)= ∈?- , ?不合题意. 3? 2+cos x ? 3 1-3b 1 若 0<b< ,则 f′(0)= >0, 3 3 f′(π)=-b-1<0,∴?x0∈(0,π),使 f′(x0)=0,
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1 ? x∈(0,x0)时,f′(x)>0,这时 f(x)递增,f(x)>f(0)=0,不合题意.综上 b 的取值范围为? ?3,+∞?. 12.(2012· 无锡一中)已知函数 f(x)=x3+ax2-a2x+2,a∈R. (1)若 a<0 时,试求函数 y=f(x)的单调递减区间; (2)若 a=0,且曲线 y=f(x)在点 A,B(A,B 不重合)处切线的交点位于直线 x=2 上,证明:A,B 两点 的横坐标之和小于 4; (3)如果对于一切 x1,x2,x3∈[0,1],总存在以 f(x1),f(x2),f(x 3)为三边长的三角形,试求正实数 a 的 取值范围. a? 解:(1)函数 f(x)的导函数 f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x+a)? ?x-3?. a 因为 a<0,由 f′(x)<0,解得 <x<-a. 3 a ? 所以函数 y=f(x)的单调递减区间为? ?3,-a?. (2)当 a=0 时,f(x)=x3+2.
3 设在点 A(x1,x3 1+2),B(x2,x2+2)处的切线交于直线 x=2 上一点 P(2,t).

因为 y′=3x2, 所以曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为 k=3x2 1, 所以在点 A 处的切线方程为
2 y-(x3 1+2)=3x1(x-x1). 3 3 2 因为切线过点 P,所以 t-(x1 +2)=3x2 1(2-x1),即 2x1-6x1+(t-2)=0. 3 同理可得 2x2 -6x2 2+(t-2)=0. 3 2 2 两式相减得 2(x3 1-x2)-6(x1-x2)=0, 2 即(x1-x2)(x2 1+x1x2+x2)-3(x1-x2)(x1+x2)=0.

因为 x1-x2≠0,
2 所以 x2 1+x1x2+x2-3(x1+x2)=0.

即(x1+x2)2-x1x2-3(x1+x2)=0. 因为 x1x2≤? 所以 x1x2<? x1+x2?2 ? 2 ? ,且 x1≠x2,

x1+x2?2 ? 2 ?. x1+x2?2 ? 2 ? -3(x1+x2)<0,即(x1+x2)(x1+x2-4)<0.

从而上式可以化为(x1+x2)2-? 解得 0<x1+x2<4,

即 A,B 两点的横坐标之和小于 4. (3)由题设知,f(0)<f(1)+f(1), 即 2<2(-a2+a+3),解得-1<a<2. 又因为 a>0,所以 0<a<2.
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a x- ?, 因为 f′(x)=3(x+a)? ? 3?

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a 0, ?时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 所以当 x∈? ? 3? a ? 当 x∈? ?3,1?,f′(x)>0,f(x)单调递增. a? a 5 3 所以当 x= 时,f(x)有最小值 f? =- a +2. ?3? 3 27

? ? 5 从而条件转化为?f?0?<2?-27a +2?,② ? ? 5 ? a +2?.③ ?f?1?<2??-27 ?
3 3

a? 5 3 f? ?3?=-27a +2>0,①

3 3 2 3 3 由①得 a< ;由②得 a< .再根据 0<a<2 得 0<a< . 3 3 3 5 5 5 10 不等式③化为 a3-a2+a-1<0. 27 10 10 令 g(a)= a3-a2+a-1,则 g′(a)= a2-2a+1>0,所以 g(a)为 增函数. 27 9

? 0, 3 ? 1 又 g(2)=- <0,所以当 a∈? 3 ?时, 27 5? ?
g(a)<0 恒成立,即③成立.

? 0, 3 ? 所以 a 的取值范围为? 3 ?. 5? ?

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