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2016-2017学年高中数学苏教版选修2-1学业分层测评1.1.2 充分条件和必要条件 Word版含解析


学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1. “φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的________________条件. 【解析】 φ=π 时,y=sin(2x+φ)=sin 2x 过点(0,0).而当 y=sin(2x+φ)过 原点时,φ=kπ(k∈Z).故填充分不必要. 【答案】 充分不必要

2.已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的________ 条件. 【解析】 a=3 时,A={1,3}?{1,2,3},反之不成立.故“a=3”是“A? B”的充分不必要条件. 【答案】 充分不必要

3.对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ③“a<5”是“a<3”的必要条件; ④“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件. 其中真命题的序号为________. 【解析】 a>bD 对. 【答案】 ③④ ①c=0 时,ac=bcD a=b,错;②2>-3 时,22<(-3)2,故

a2>b2,错;③x<3<5,故 a<3?a<5,对;④a+5 是无理数?a 是无理数,

4.已知 α,β 是不同的两个平面,直线 a?α,直线 b?β,a 与 b 无公共点, q:α∥β,则 p 是 q 的________条件. 【解析】 件. 【答案】 必要不充分 α∥β?a,b 无公共点,反之不成立.故 p 是 q 的必要不充分条

5.(2016· 吉林高二检测)数列{an}中,“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数

列”的________条件. 【解析】 因为“a1<a2<a3”D “数列{an}是递增数列”,且“数列

{an} 是递增数列 ” ? “a1 < a2 < a3” ,故 “a1 < a2 < a3” 是 “ 数列 {an} 是递增数 列”的必要不充分条件. 【答案】 必要不充分条件

6.函数 y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是________(填序 号). ①b≥0;②b>0;③b<0;④b≤0. 【解析】 ∵函数 y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数,∴根据二次函 【导学号:09390007】

b 数的性质得出:-2≤0,b≥0,∴函数 y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数 的充要条件是 b≥0,故填①. 【答案】 ①

7.如果 x,y 是实数,那么“x≠y 是“cos x≠cos y”的________条件. 【解析】 设集合 A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cos x≠cos y},则集合 A 的 补集 C={(x,y)|x=y},集合 B 的补集 D={(x,y)|cos x=cos y}.显然 C?D,所 以 B?A,于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件. 【答案】 必要不充分

8.若条件 p:|x|≤2,条件 q:x≤a,且 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的 取值范围是________. 【解析】 ∴a≥2. 【答案】 二、解答题 9.若方程 x2-mx+2m=0 有两根,求其中一根大于 3,一根小于 3 的充要 条件. 【解】 方程 x2-mx+2m=0 对应的二次函数 f(x)=x2-mx+2m, a≥2 由题意可知 p:-2≤x≤2,q:x≤a.p 是 q 的充分不必要条件,

则方程 x2-mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3,一根小于 3 的充要条件是 f(3)<0,即 32-3m+2m<0, 解得 m>9.

故其中一根大于 3,一根小于 3 的充要条件是(9,+∞). 10.已知 p:x2-4x-5≤0,q:|x-3|<a (a>0).若 p 是 q 的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围. 【解】 解不等式 x2-4x-5≤0,得-1≤x≤5,解不等式|x-3|<a (a>0),

得-a+3<x<a+3,设 A={x|-1≤x≤5},B={x|-a+3<x<a+3},因为 p 是 q ?-a+3<-1, 的充分不必要条件, 从而有 A?B.故? 解得 a>4.所以实数 a 的取值 ?a+3>5, 范围是(4,+∞). [能力提升] 1.“a=0”是“直线 l1:x-2ay-1=0 与 l2:2x-2ay-1=0 平行”的 ________条件. 【解析】 (1)∵a=0,∴l1:x-1=0,l2:2x-1=0,∴l1∥l2,即 a=0?l1 ∥l2. 1 1 1 1 (2)若 l1∥l2,当 a≠0 时,l1:y=2ax-2a,l2:y=ax-2a. 1 1 令2a=a,方程无解.当 a=0 时,l1:x-1=0,l2:2x-1=0,显然 l1∥l2. ∴l1∥l2?a=0. 【答案】 充要

2.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“f(x)为[0,1]上的增 函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件. 【导学号:09390008】 【解析】 若函数 f(x)在[0,1]上是增函数, 则根据 f(x)是偶函数可知 f(x)在[- 1,0]上是减函数,结合 f(x)的周期为 2 可知 f(x)在[3,4]上是减函数.反过来,若函 数 f(x)为[3,4]上的减函数, 则根据 f(x)的周期为 2, 可知 f(x)为[-1,0]上的减函数. 因 此“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件. 【答案】 充要

3.“k>4,b<5”是“一次函数 y=(k-4)x+b-5 的图象交 y 轴于负半轴, 交 x 轴于正半轴”的________条件. 【解析】 ①当 k>4,b<5 时,一次函数 y=(k-4)x+b-5 的大 致图象如图. ②若一次函数 y=(k-4)x+b-5 交 y 轴于负半轴, 交 x 轴于正半轴, 当 x=0

时,y=b-5<0,∴b<5. 当 y=0 时,x= 5-b >0.∵b<5,∴k>4. k-4

故“k>4,b<5”是“一次函数 y=(k-4)x+(b-5)的图象交 y 轴于负半轴, 交 x 轴于正半轴”的充要条件. 【答案】 充要

4.已知 ab≠0,求证:a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0. 【证明】 必要性:∵a+b=1,即 b=1-a,

∴a3 +b3 + ab- a2 - b2 = a3 + (1 - a)3 + a(1 - a)- a2 - (1 - a)2 = a3 + 1 - 3a + 3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0. 充分性: ∵a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0, ∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. ∵ab≠0,∴a≠0 且 b≠0,∴a2-ab+b2≠0,故 a+b=1. 综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.


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