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浙江省杭州市西湖高级中学2015-2016学年高一上学期10月月考数学试题


杭西高 2015 年 10 月高一数学月考答卷
一、 1 填空题: (本题共 10 小题) 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题: (本题共 6 小题) 座位号 A 11. 14. 16. 学号 三、解答题: (本题共 4 小题)
17.已知 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={ x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},且

12. 15.

13、

? (A∩B),A∩C= ? ,求 a 的值.

班级

姓名

18.设 A 是实数集,满足若 a∈A,则

1 ∈A, a≠1 且 1 ? A. 1-a

(1)若 2∈A,则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元素. (2)A 能否为单元素集合?请说明理由.

(3)若 a∈A,证明:1-

1 ∈A. a

19.已知函数 f ( x) ?

x2 ? 2x ? 1 ?

x ?1 x ?1

(1)求函数的定义域; (2)化简解析式并用分段函数表示; (3)作出函数图象,并说明函数单调性和值域

20.求函数 f(x)=2x2-2ax+3 在区间[-1,1]上的最小值.

21.已知定义域为 R 的函数 f(x)= ax2 ? bx ? c ? b ? 0? 是奇函数. (1)求 a,c 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

参考答案
一、选择题 1.A 解析:条件 UA={2}决定了集合 A={0,1},所以 A 的真子集有 ? ,{0},{1},故正确 选项为 A. 2.D 解析:在数轴上画出集合 A,B 的示意图,极易否定 A,B.当 a=2 时,2 ∈ B,故不满 足条件 A ? B,所以,正确选项为 D. 3.C 解析:据条件 A∪B=A,得 B ? A,而 A={-3,2},所以 B 只可能是集合 ? ,{-3}, {2},所以, m 的取值集合是 C. 4.B 解析:阴影部分在集合 N 外,可否 A,D,阴影部分在集合 M 内,可否 C,所以,正确 选项为 B. 5.B 解析:集合 M 是由直线 y=x+1 上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合 P 是坐 标平面上不在直线 y=x+1 上的点组成的集合,那么 M ? P 就是坐标平面上除去点(2,3)外 的所有点组成的集合.由此 U(M ? P)就是点(2,3)的集合,即 U(M ? P)={(2,3)}.故正 确选项为 B. 6.D 解析:判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同,选项 A,B,C 中,两函 数的定义域不同,正确选项为 D. 7.C 解析:函数 f(x)显然是奇函数,所以不难确定正确选项为 C.取特殊值不难否定其它选 项.如取 x=1,-1,函数值不等,故否 A;点(1,0)在函数图象上,而点(0,1)不在图象上, 否选项 D,点(0,-1)也不在图象上,否选项 B. 8.B 解析:当 x=0 时,分母最小,函数值最大为 1,所以否定选项 A,C;当 x 的绝对值取值 越大时,函数值越小,但永远大于 0,所以否定选项 D.故正确选项为 B.

9.A 解析:利用条件 f(x+4)=f(x)可得,f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1),再根 据 f(x)在 R 上是奇函数得,f(7)=-f(1)=-2×12=-2,故正确选项为 A. 10.C 解析:由为奇函数图像关于原点对称,偶函数图象关于 y 轴对称,函数 f(x),g(x)在区间 [0,+∞)上图象重合且均为增函数,据此我们可以勾画两函数的草图,进而显见①与③正 确.故正确选项为 C. 二、填空题 11.参考答案:{x| x≥1}. 解析:由 x-1≥0 且 x≥0,得函数定义域是{x|x≥1}. 12.参考答案:

19 . 3

解析:由 f(f(x))=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,所以 a2=4,ab+b=1(a>0),解得 a

19 1 1 =2,b= ,所以 f(x)=2x+ ,于是 f(3)= . 3 3 3 ?1 ? 13.参考答案: ? , +∞ ? . ?2 ?
解析:a=0 时不满足条件,所以 a≠0. (1)当 a>0 时,只需 f(0)=2a-1>0; (2)当 a<0 时,只需 f(1)=3a-1>0.
?1 ? 综上得实数 a 的取值范围是 ? ,+∞ ? . 2 ? ?

14.参考答案:{1,5,7,15},{5,9,11,15}. 解析:根据条件 I={1,3,5,7,9,11,13,15},M∩N={5,15},M∩( IN)={1, 7},得集合 M={1,5,7,15},再根据条件( IM)∩( IN)={3,13},得 N={5,9,11,15}. 15.参考答案:(2,4].

?m+1 ≥ -2 ? 解析:据题意得-2≤m+1<2m-1≤7,转化为不等式组 ?m+1<2m-1 ,解得 m 的取值 ?2m-1 ≤ 7 ?
范围是(2,4]. 16.参考答案:x(1-x3). 解析:∵任取 x∈(-∞,0],有-x∈[0,+∞), ∴ f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3),

∵ f(x)是奇函数,∴ f(-x)=-f(x). ∴ f(x)=-f(-x)=x(1-x3), 即当 x∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为 f(x)=x(1-x3). 三、解答题 17.参考答案:∵B={x|x2-5x+6=0}={2,3}, C={x|x2+2x-8=0}={-4,2}, ∴由 A∩C= ? 知,-4∈A,2 ∈A; 由 ? (A∩B)知,3∈A. ∴32-3a+a2-19=0,解得 a=5 或 a=-2. 当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}=B,与 A∩C= ? 矛盾. 当 a=-2 时,经检验,符合题意. 18.参考答案:(1)∵ 2∈A, ∴ ∴ ∴

1 1 = =-1∈A; 1-a 1-2 1 1 1 = = ∈A; 1-a 1+1 2
1 1 = =2∈A. 1-a 1- 1 2

因此,A 中至少还有两个元素:-1 和 (2)如果 A 为单元素集合,则 a= 数范围内,A 不可能是单元素集. (3)证明: a∈A?

1 . 2

1 ,整理得 a2-a+1=0,该方程无实数解,故在实 1-a

1-a 1 1 1 ∈A? ∈A? ∈A,即 1- ∈A. 1 a 1-a 1-a+1 1- 1-a
2

a? a2 ? 19.参考答案: f(x)=2 ? x- ? +3- . 2? 2 ?

(1)当

a <-1,即 a<-2 时,f(x)的最小值为 f(-1)=5+2a; 2 a a2 ?a? ≤1,即-2≤a≤2 时,f(x)的最小值为 f ? ? =3- ; 2 2 ?2?

(2)当-1≤

(3)当

a >1,即 a>2 时,f(x)的最小值为 f(1)=5-2a. 2

?5+2a, a<-2, ? ? a2 ? 综上可知,f(x)的最小值为 ?3- , -2 ≤ a ≤ 2, 2 ? ?5-2a, a>2. ? ?

20.参考答案:(1)∵函数 f(x)为 R 上的奇函数, ∴ f(0)=0,即

-1+b =0,解得 b=1,a≠-2, 2+a


从而有 f(x)=

-2 x+1 2 x+1+a

1 - +1 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- 2 ,解得 a=2. 1+ a 4+a

(2)先讨论函数 f(x)=

-2 x+1 2
x+1

+2

=-

1 1 + x 的增减性. 任取 x1, x2∈R, 且 x1<x2, f(x2) 2 2 +1


-f(x1)=

1 2 x2 + 1



1 2 x1 + 1



2 x1 -2 x2 (2 x2 +1)(2 x1 +1)

∵指数函数 2x 为增函数,∴ 2 x1 -2 x2 <0,∴ f(x2)<f(x1), ∴函数 f(x)=
-2 x+1 2 x+1+2

是定义域 R 上的减函数.

由 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 得 f(t2-2t)<-f(2t2-k), ∴ f(t2-2t)<f(-2t2+k),∴ t2-2t>-2t2+k ( ? ). 由( ? )式得 k<3t2-2t.
1? 1 1 1 1 ? 又 3t2-2t=3(t- )2- ≥- ,∴只需 k<- ,即得 k 的取值范围是 ?-∞,- ? . 3? 3 3 3 3 ?


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