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分段函数常见题型分析


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 分段函数常见题型分析 作者:钟治明 来源:《中学生导报· 教学研究》2013 年第 29 期 摘 要:分段函数是近年高考的热点函数题型,是考查基本初等函数的运算、图像和性质 的很好载体,本文对分段函数可能出现的各种类型做出总结,给学生一些复习上的帮助。 关键词:高考;分段函数;总结 所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分,有不同对应关系的函数,因此分段函数不是几 个函数而是一个函数,它在解题中有着广泛的应用,不少同学对此认识不深,解题时常出现错 误.现就分段函数的常见题型例析如下: 1.求分段函数的定义域、值域 例 1.求函数 f(x)=x2+4x,(x≤-2)x2,(x>-2) 的值域. 解:当 x≤-2 时,y=x2+4x=(x+2)2-4,∴ y≥-4. 当 x>-2 时,y=x2,∴ y>-22=-1. ∴ 函数 f(x)的值域是{y∣ y≥-4,或 y>-1}={y∣ y≥-4}. 评注:分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集;分段函数的值域是 各段函数值集合的并集. 2.作分段函数的图象 例 2:已知函数 f(x)=-2,x∈ (-∞,-2)x+3,x∈ [-2,2)3,x∈ [2,+∞),画函数 f (x)的图象. 解:函数图象如图 1 所示. 评注:分段函数有几段,其图象就由几条曲线组成,作图的关键是根据定义域的不同,分 别由表达式做出其图象.作图时,一要注意每段自变量的取值范围;二要注意间断函数的图象 中每段的端点的虚实. 3.求分段函数的函数值 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 评注:求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的 对应关系求值. 4.求分段函数的最值 例 4.已知函数 f(x)=2,(x≥0)x2,(x 解:由于本分段函数有两段,所以这个函数的图象由两部分组成,其中一部分是一段抛物 线,另一部分是一条射线,如图 2 所示.因此易得,函数最小值为 0,没有最大值. 5.分段函数表达式问题 例 5.如图 3,动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B,C,D 再回到 A,设 x 表示 P 点的行程,y 表示 PA 的长度,求 y 关于 x 的表达式. 解:如图 3 所示,当 P 点在 AB 上运动时,PA=x;当 P 点在 BC 上运动时,由 Rt△ PBA, 求得 PA=1+(x-1)2;当 P 点在 CD 上运动时,由 Rt△ PDA 求出 PA=1+(3-x)2;当 P 点在 DA 上运动时,PA=4-x,所以 y 关于 x 的表达式是 y=x, 0≤x≤1,x2-2x+2,1 在此基础上,强调“分段”的意义,指出分段函数的各段合并成一个整体,必须用符号“{” 来表示,以纠正同学们的错误认识. 分段函数的类型繁多,但是基本总结为以上几种类型,希望这篇文章可以给高三复习阶段 的师生带来帮助。

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