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重庆南开中学2013-2014学年高二数学上学期中试题


重庆南开中学高 2015 级 2013~2014 学年度 高二(上)期中 数 学 试 题

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的.

x2 y2 1.双曲线 ? ? 1 的焦距为 4 12
A. 4
2





B. 2

C. 2 2

D. 2 3 ( D. ?4 ( ) )

2.若抛物线 y ? 2 px 的焦点为 ? 2, 0 ? ,则 p 的值为 A. ?2 B. 2 C. 4

3.已知圆 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ,则过点 (2,1) 作该圆的切线方程为 A. x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. x ? 2

D. x ? y ? 3 ? 0 ( )

4.若一个椭圆的长轴长,短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率为 A.

4 5
2 2

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

5.已知双曲线 x ? y ? 2 ,过定点 P(2,0) 作直线 l 与双曲线有且只有一个交点,则这样 的直线 l 的条数为 A. 1 条 6.如果椭圆 B. 2 条 C. 3 条 ( D. 4 条 )

15 x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左准线的距离为 ,则点 P 到右焦点的距离为 100 36 2
( )

A. 10 7.方程

B. 6

C. 12

D. 14 )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则双曲线 ? ? 1 的焦点坐标为 ( 5?k k ?3 k ?3 k ?5
B. (? 2 ,0) C. (0,? 2k ? 8 )

A. (0,? 2 )

D. (? 2k ? 8 ,0)

8.已知抛物线 y

2

? 2 px 的焦点为 F , P,Q 为抛物线上两点,若 ?PQF 为边长为 2 的
1

正三角形,则 p 的值是 A. 2 ? 3 B. 3 ? 3 C.





3 ?1

D. 2 3 ? 1

x2 y 2 ? ? 1(b, a ? 0) 的右焦点 F2 向其一条渐近线作垂线 l ,垂足为 P ,l 与另 a 2 b2 ???? ? ???? 一条渐近线交于 Q 点,若 QF2 ? 2PF2 ,则双曲线的离心率为 ( )
9.过双曲线 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

10. 设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 F 的直线与抛物线交于 A, B 两点, 过 AB 的中 点 M 作准线的垂线与抛物线交于点 P ,若 PF ? A. 2 B. 4

3 ,则弦长 AB 等于 2
D. 8





C. 6

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.已知椭圆方程为 :

x2 y2 ? ? 1 ,则椭圆的右准线方程为 6 5
2

2 2 2 12.已知圆 C1 : x ? 2 x ? y ? 1 ,圆 C2 : x ? 4x ? y

? 0 ,则圆 C1 与圆 C2 相交

的弦长为
2 13. 已知点 M (3 , 2) ,F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点, P 在该抛物线上移动, PM ? PF 点 则

的最小值是 14.已知椭圆的中心为坐标原点,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F (2, 0) 的直线交椭圆于 A, B 两 点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线, 则该椭圆的长半轴长为

??? ??? ? ?

?

15.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,圆 x 2 ? y 2 ? 4 。直线 y ? 2 x 与椭圆交于点 A ,过 A 作椭圆的 4 3

切线交圆于 M , N 两点( M 在 N 的左侧) ,则 MF1 ? NF2 ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)
2 2 2 2 2 已知圆 C1 : x ? y ? 2ay ? a ? 1 ? 0 与圆 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 16 外切.

2

(1)求实数 a 的值; (2)若 a ? 0 ,求经过点 P(?1, 4) 且与圆 C1 相切的直线 l 的方程

17. (本小题满分 13 分) 已知双曲线 C1 : x ?
2

y2 ? 1 ,双曲线 C2 与双曲线 C1 有相同的渐近线且经过点 ( 3, 2) 4
??? ??? ? ?

(1) 求双曲线 C2 的标准方程; (2) 若直线 y ? x ? 1 与双曲线 C2 的两渐近线相交于 A, B ,求 OA ? OB 的值

18. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C 的顶点是椭圆

x2 y2 焦点 F 与该椭圆的右焦点 F 重合, 抛 ? ? 1 的中心, 4 3

物线 C 与椭圆的交点为 P ,延长 PF 交抛物线 C 交于 Q , (1)求抛物线 C 的方程; (2) 求| PQ |的值

19. (本小题满分 12 分) 已知点 P 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一动点,椭圆 C 左,右顶点分别为 A, B , a 2 b2

左焦点为 F ,若| PF |最大值与最小值分别为 4 和 2 。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知直线 l 过点 A 且倾斜角为 300 ,点 M 为椭圆 C 长轴上一动点,且点 M 到直线 l 的 距离等于 MB ,若连接 PM 并延长与椭圆 C 交于点 Q ,求 S ?APQ 的最大值

3

20. (本小题满分 12 分) 已知直线 y ? ?4 上有一动点 Q ,过点 Q 作垂直于 x 轴的直线 l1 ,动点 P 在直线 l1 , 若点 P 满足 OP ? OQ ( O 为坐标原点 ) ,记点 P 的轨迹为 C (1) 求曲线 C 的方程 (2)过点 A ?4,0)作直线 l2 与曲线 C 交于 M , N 两点,若与 y 轴交于点 R ,且 (

1 1 3 ,求直线 l2 的方程。 ? ? | AM | | AN | | AR |

21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,定义以原点为圆心,以

a 2 ? b2 为 半 径 的 圆 O 为 椭 圆

x2 y 2 x2 y 2 3 ,直线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的“准圆”.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 a b a b
l : 2 x ? y ? 5 ? 0与椭圆 C 的“准圆”相切.
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) P 为椭圆 C 的右准线上一点,过点 P 作椭圆 C 的“准圆”的切线段 PQ ,点 F 为椭

? 圆 C 的右焦点,求证:| PQ | | PF |

M(?
(3)过点

6 ,0) 5 的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点,为 Q 椭圆 C 的左顶点,是否存在直

线 l 使得 ?QAB 为直角三角形?

4


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