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2016年高考名校交流仿真模拟卷数学参考答案


2016 年高考名校交流仿真模拟卷·数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.A 【解析】 根据题意, 求解一元二次方程化简 M ? {0, 2} , 求解对数不等式化简集合 N ? {x | 0 ? x ? 2} , 则 M ? N ? [0, 2] . 2.B 【解析】①错,“命题 p ? q 为真”时有可能 p,q 都为真,p 真 q 假, p 假 q 真, “命题 能为假;②正确;③错,当“a < b,m = 0”时“am2 = bm2”; ④正确.

p ? q ”可

3.C 【解析】试题分析 :A 错, ?, ? 可能相交; B 错,可能 l 在 ? 内; D 错, l, ? 无必然关系 . 4 .C 【解析】 A ?

2,

? ? kπ ?

5. C 【解析】由韦达定理得 a ? b ? p , a ? b ? q ,则 a ? 0, b ? 0 ,当 a, b, ? 2 适当排序后成等比数列

π . 3

5 3 5 ? π? 3 π, T? π ? ? ? ? ? π, T ? π, ? ? 2 ,当 x ? 4 12 12 ? 3? 4

? x ? ? ? 2kπ ? ,

π 2

4 .当适当排序后成等差数列时, ?2 必不是等差中项, a 4 4 8 当 a 是等差中项时, 2 a ? ? 2 ,解得 a ? 1 ,b ? 4 ;当 是等差中项时, ? a ? 2 ,解得 a ? 4 , a a a b ? 1 ,综上所述, a ? b ? p ? 5 , ab ? q ? 4 ,所以 p ? q =1.
时, ?2 必为等比中项,故 a ? b ? q ? 4 , b ? 6.B 【解析】b + (c - 2) = 4,则 b = 4c - c > 0,0 < c < 4,
2 2 2 2
2 2 1 ( AC ? AB ) 2

AO ? BC ? AM ? ( AC ? AB ) ?

1 2 (b ? c 2 ) ? 2c ? c2 ? ? (c ? 12 ) ? ?1(? 8 , 1. ] 2 7.A 【解析】作 BE⊥AD 于 E,连接 CE,∵ AB ? BD ? AC ? CD ? 10 ,说明 B, ?
C 都是在以 A,D 为焦点的椭圆球上,且 BE,CE 都垂直于 AD,BE=CE,取 BC 中点 F,可推出四面体 ABCD 的体积的最大值,当△ ABD 为等腰三角形时.
8.B 【解析】如右图所示,由图形易知 0 ?

(第 6 题图)

x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则

f ( x1 ) ? 4 | log2 x1 |? ?4log2 x1 , f ( x2 ) ? 4 | log2 x2 |? 4log2 x2 , 1 2 ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 ? log2 x1 ? log2 x2 , x1 x2 ? 1 ,令 x 2 ? 5 x ? 12 ? 0 ,即 x ? 10 x ? 24 ? 0 , 2
解得 x ? 4 或 x ? 6 ,而二次函数 y ? 直线 x ? 5 ,由图象知, 2 ?

(第 7 题图)

1 2 x ? 5 x ? 12 的图象的对称轴为 2

x3 ? 4 ,且有

x3 ? x4 ? 5, 2

( x3 ? 2) ? ( x4 ? 2) ? ( x3 ? 2)(8 ? x3 ) ? ?( x3 ? 5) 2 ? 9 . x 1?x2 ( x ? 2) ? ( x4 ? 2) 2 ?8. ∵ 2 ? x3 ? 4 , 0 ? ?( x3 ? 5) ? 9 ? 8 ,即 0 ? 3 x 1? x2

x4 ? 10 ? x3 ,

(第 8 题图)

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 9.100 2 【解析】 5
lgx

? 25,

得 lg x ? 2,

x ? 100 ; f (ab) ? 1 , ab ? 10 ,

2 2 2 f ( a2 )? f ( b ) ? l ga ? lg b ?

2 la gb ?.
2 sin

2
x x cos ? 2 2 2 sin 2 x ? sin ? x ? π ? ? 2 ,周期 2 π , ? ? 4? 2 ? 2
第1页

10. 2π

?1 ?

2 【解析】 f ( x ) ? 2

2016 年高考名校交流仿真模拟卷·数学(文科)参考答案

最小值是 ?1 ? 11.

2 . 2

8 3

2(3 ?

2 ?

5 ) 【解析】该几何体为四棱锥.

12. 2

3 【解析】画出线性区域,对 |x ? 2 y ? 1| ? 3|x ? y| 绝对值中 x ? 2 y ? 1, x ? y 2

C

符号进行讨论. 13. 2 7 【解析】 AB ? 8 时,AB 中点 M 到准线距离为 4,M 到 y 轴距离 为 3,又以 (第 12 题图)

AB 为直径的圆半径为 4,则弦长为 2 7 . a 14. [27, ? ?) 【解析】 8 ? x ? 即 a ? (8 ? x)(6 ? y ) 恒成立,只需求 a ? (8 ? x)(6 ? y ) 的最大 6? y
x? ? 4? ? 当 x ? 2, (8 ? x)(6 ? y ) ? 48 ? 6 x ? 8 y ? xy ? 51 ? 6 ? x ? ? ? 27 . x? ? 2 ? 2 ? b 1 2 2 b2 ? 2 (a 2 ? c 2,)2 c 2 a ?, e 15. ? 则a ? 2 kPA1 kPA2 ? ? 2 ? ? , ? 2 , 1? ? 【解析】 a 2 ? ?
16. (本小题满分 14 分) 【解析】(1) tan A ? tan B ? 值. 而 (8 ? x)(6 ? y ) ? 48 ? 6 x ? 8 y ? xy ? 51 ? 6 ? x ? 4 ? 在[1, 2]上是增函数, [2, 3]上是减函数. ? ?

? ?

c a

2 , 又e ?1. 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

sin( A ? B) sin C . ??(3 分) ? cos A cos B cos A cos B ? 2sin C sin C 2sin C 1 ∵ tan A ? tan B ? ,∴ ,∴ cos B ? ,∵ 0 ? B ? ? ,∴ B = . ??(7 分) ? 3 cos A cos A cos B cos A 2 a c b 3 (2) 由正弦定理 ? ? ? ? 2 , 得 a = 2sinA, c = 2sinC. sin A sin C sin B 3 2 π? ? 2π ? ? 2a ? c ? 4sin A ? 2sin C ? 4sin A ? 2sin ? ? A? ? 3sin A ? 3 cos A ? 2 3 sin ? A ? ? . ??(10 分) 6? ?3 ? ? π 2π π π π 因为 b ? a ,所以 ? A ? ??(12 分) , ? A? ? . 3 3 6 6 2 π? ? 所以 2a ? c ? 2 3 sin ? A ? ? ? [ 3, 2 3) . ??(15 分) 6? ? ?
17. (本小题满分 15 分) 【解析】 (1)证明:∵ ∵ PC⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD,∴AC⊥PC,

sin A sin B sin A cos B ? cos Asin B ? ? cos A cos B cos A cos B

AB = 2,AD = CD = 1,∴ AC = BC= 2 ,∴ AC2 + BC2 = AB2, ∴ AC⊥BC,

AC⊥平面 PBC,∵ AC⊥平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. ??(7 分) ??? ? ???? ??? ? (2)如图,以 C 为原点,取 AB 中点 F, CF 、 CD 、 CP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向,建立空间直角
坐标系,则 C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,-1,0) .

又 BC I PC = C,∴

? ??? ? ??? ? ?1 1 a ? ??? 1 a? ?1 , ? , ? ,CA =(1,1,0) ,CP = (0, 0, a) ,CE ? ? , ? , ? , 2 2? 2 2? ?2 ?2 ? ?? ??? ? ?? ?? ??? ?? 取 m =(1,﹣1,0) ,则 m ? CA = m ? CP = 0, m 为面 PAC 的法向量. ??(9 分)
设P (0, 0, a) (a>0) , 则E? 2016 年高考名校交流仿真模拟卷·数学(文科)参考答案 第2页

设 n =(x,y,z)为面 EAC 的法向量,则 n · CA = n · CE = 0,即 ?

?

?

??? ? ?

??? ?

? z = ? 2, 则n?a (, ? a, ? 2 )

??? ? ? ??? ? ? PA ? n 2 ? ? ? 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ, 则 sinθ = |cos< PA, n ?|? ???? , 即直线 PA 与平面 EAC 3 | PA || n | 2 所成角的正弦值为 . ??(15 分) 3 18. (本小题满分 15 分) 【解析】 (1) na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ? n2 (n ? 1) , n ? 2时,( n ? 1)a1 ? (n ? 2)a2 ? ? ? an?1 ? (
( n ? 1)a1 ? (n ? 2)a2 ? ? ? an?1 ? (n ? 1) 2 n , n ? 2时,( 两式相减得: a1 ? a2 ? ? ? an ? 3n ? n , 即S n ? 3n 2 ? n .
2

??? ? PA ? (1,1, ? 2) .??(12 分)

?? ? ? ?? ? m?n a 6 n ?|? ?? ? ? ? , 依题意, |cos< m , , 则 a = 2. 于是 n ? (2, ? 2, ? 2) , 2 | m || n | a ?2 3

?x ? y ? 0 ,取 x = a,y = ? a, ? x ? y ? az ? 0

n ? 2时,an ? S n ? S n?1 ? 6n ? 4 ,

nn ?? 1 时 1 时 ,a ,a ?? 22 满足 满足 aa ? 66 nn ?? 44 ,? ,? aa ? 66 nn ?? 44 . ??(4 分) 11 n n? n n?

10 由 11 bn?1 ? 10bn ? 1 ? 0 得: bn ?1 ? 1 ? 10 ,? {bn ? 1} 为首项是 1,公比是 的等比数列可求得:
? 10 ? bn ? ? ? ? 11 ?
n ?1

bn ? 1

11

11

? 1 . ??(8 分)
n

10 ? ,设存在正整数 k ,使对 n ? N (2) c ? (6n ? 4)? ? ? n ? 11 ?
n

?

, cn ? ck 恒成立,由 c

n ?1

? cn ?

64 ? 6n ? 10 ? 时,cn ? ? 知:n ? 10 11 ? 11 ?

n

cn?1 ? cn ?

64 ? 6n ? 10 ? 时,cn?1 ? cn , n ? 10 时,cn?1 ? cn ,所以存在正整数 k ? 11 ,使 ? ? 知:n ? 10 11 ? 11 ?
对任意正整数 n ,均有 c n ? c k . ??(15 分)

19. (本小题满分 15 分) 【解析】(1)如图,设动圆圆心 O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|,当 O1 不在 y 轴 上时, 过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H, 则 H 是 MN 的中点, ∴ 化简得 y2=4x (x ≠ 0). ??(3 分) |O1M|=|O1A|.


x2 ? 4 ? ( x ? 2)2 ? y2

又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y2 ? 4x,??(5 分) ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2 ? 4x. (2)由(1)知 B( x ' , 2)在抛物线 C 上, x ' ? 1,即 B(1, 2). ??(6 分) ??(7 分)

设直线 PQ 的方程为 x ? my+n,点 P,Q 的坐标分别为 P(x1,y1),Q(x2,y2). 由?

? x ? my ? n
2 ? y ? 4x

得 y2-4my-4n=0.

由 ? >0,得 m2 ? n>0,y1 ? y2 ? 4m, (第 19 题图 1)

y1· y2 ? -4n. ??(9 分)


BP⊥BQ, ∴

??? ? ??? ? BP ? BQ ? 0 . ∴ (x1-1)(x2-1) ? (y1-2)(y2-2) ? 0.
∴ (y1-2)(y2-2)[(y1 ? 2)(y2 ? 2) ? 16] ? 0 . n ? -2m ? 1

y
P B
O

又 x1 ? ∴

y2 y2 1 2 ,x2= . 4 4

(y1-2)(y2-2) ? 0 或(y1 ? 2)(y2 ? 2) ? 16 ? 0. ∴ ??(13 分)

或 n ? 2m ? 5. ∵

x
Q
(第 19 题图 2)

? >0 恒成立.∴n ? 2m ? 5. ∴ 直线 PQ 的方程为 x-5 ? m (y ? 2),

∴ 直线 PQ 过定点(5,-2). ??(15 分) 2016 年高考名校交流仿真模拟卷·数学(文科)参考答案 第3页

(3)设 B(x0,y0),P(0,p),Q(0,q),设 p>q.直线 PB 的方程: y ? p ? 简,得(y0-p)x - x0y + x0p = 0. ∵ 圆心(2,0)到直线 PB 的距离是 2, ∴ ∵

y0 ? p 化 x x0

| ( y0 ? p ) 2 +x0 p | ( y0 ? p ) ? x0
2 2

2 2 2 2 2 ? 2 . ??(8 分) ∴ 4(y0-p) + 4x0 = 4(y0-p) + 4x0p (y0-p) + x0 p .

x0>4,上式化简后,得(x0-4)p2+4y0p-4x0 = 0,同理,(x0-4)q2 + 4y0q -4x0 = 0,

∴ p?q?

? 4 y0 ? ? 4 x0 ? ?4 y0 ?4 x0 x0 2 ? y0 2 ? 4 x0 , pq ? , p ? q ? ?? . ??(10 分) ? 4 ? ? 4 ? ? ? x0 ? 4 x0 ? 4 ( x0 ? 4) 2 ? x0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ?
y02 = 4x0, p ? q ?

2



P(x0,y0)是抛物线上的一点,∴

4 x0 . x0 ? 4

1 1 4 x0 16 ( p ? q) x0 ? x0 ? 2[( x0 ? 4) ? ? 8] ? 32 . ??(13 分) 2 2 x0 ? 4 x0 ? 4 16 , x0 ? 8, y0 ? ?4 2 时取等号. 所以 B(8, ? 4 2) . 当且仅当 x0 ? 4 ? x0 ? 4
∴ S△ BPQ= ∴ △ BPQ 面积的最小值为 32. ??(15 分) (第 19 题图 3)

? ax +1, ( ? 1<x ? 1) a ? 2 f ( x) ? 2 20. (本小题满分15分) 【解析】 (1) f(x)= ,当 ? ? 1, a? a2 ? 2 x ? ax ? 1 ? 2 x ? ? ? 1, ( x ? 1) 4 ? ? ? 4? 8 ? ?
即 ?4 ? a < ? 1 时, f ( x) 在(-1,1]上递减,[1, +∞)上递增, f (x)min =f (1) ? a ? 1 ;当 ? 即 a < ? 4 时,f (x)在 ? ?1, ?

a ? 1, 4

? a ? a2 a? ? a? ? ? , ? ? f ( x ) = f ? ? ? ?1 . 上递减, 上递增, ? min ? ? ? 8 4? ? 4 ? ? 4? ? ? ? a +1, ( ? 4 ? a < ? 1) ? . 综上, f (x ) min = ? a 2 ??(4分) ? ? ? 1, (a ? ?4) ? 8 (2)由题意可知f (x)有两个零点 x1 , x2 ,∵ f (1) = a +1< 0,则f ( x )在(-1,1)和(1, +∞)上各有一个零 2x22 ? ax2 ?1 ? 0 , 点,设 x1 ? x2 ,则 ax1 +1=0,
x2 x2 2 1 ? 0 ? x1 x2 ? ? x2 ? ? x ? ? 1, ( x2 ? 1) . 又f (x)在(0,1]上递减. 2 2 a 1 ? 2 x2 2 x2 2 ? 1 . ? f(x x 2 x? 1 ? a ? 1 ??(9分) 1 x 2) ? a1
(3) 设 t1 ? t2 , 由 (I) 知 a ? ?4 , 1 ? t1 ? ? 解得 1 ?

?(ax ? 1) ? 2 ? a ? 1 a a2 , 当 (a ? 1) ? 2 ? ? ? 1 即 a ? ?8 时, 由? ? t2 ; 4 8 ?x ? 1

2 2 2 ? ? x ? 1 即 1 ? ? t0 ? 1 ,? (m, n) ? ?1 ? , a a a ?

2 1 ? 1? . ? n ? m ? ? ? . ??(12 分) a 4 ?

? 2 ? a ? 1 ?(a x? 1 ) 2 a ? . 解得 1 ? ? x ? ? . ? a2 a 8 ? 2 ?? ? 1 ?(ax ? 1 ) 8 ? 2 a? 2 a 2 a 2 a ? ? ( m , n) ? ? 1 ? , ? ? . ? n ? m ? ? ? ? 1 , 即1 ? ? t0 ? ? , ∵ ? ? ? 1 在 a ? ?8 时, a 8 a 8 a 8 a 8 ? ?

a2 当 (a ? 1) ? 2 ? ? ? 1即 ?8 ? a ? ?4 时,由 8

取得最大值

1 1 1 . ? n ? m ? . 综上, n ? m ? . ??(15 分) 4 4 4
2016 年高考名校交流仿真模拟卷·数学(文科)参考答案 第4页


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