数学三角函数公式大全

三角函数
1. ① 与 ? （ 0°≤ ? ＜ 360°） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ） ：

?? | ?

? k ? 360

?

??,k ? Z

?
? k ? 180 , k ? Z
? ? ?

▲

y

②终边在 x 轴上的角的集合： ?? | ? ③终边在 y 轴上的角的集合： ?? | ?

? ?

3 sin x 4 c o sx c o sx

2 sin x 1 c o sx

? k ? 180

? 90 , k ? Z
?

x
c o sx 4 sin x 2 sin x 3

④终边在坐标轴上的角的集合： ?? | ? ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合： ?? | ? ⑥终边在 y
? ?x

? k ? 90 , k ? Z
? ?

? ? ?

1

? k ? 180

? 45 , k ? Z
? ?

S IN \C O S 三 角 函 数 值 大 小 关 系 图 1、 2、 3、 4表 示 第 一 、 二 、 三 、 四象限一半所在区域

轴上的角的集合： ?? | ?

? k ? 180

? 45 , k ? Z

⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直，则角 ? 与角 ? 的关系： ?
?

? 360 k ? ?
? ?

?

? 360 k ? 180
?

??

? 180 k ? ?
?

? 360 k ? ? ? 90

2. 角度与弧度的互换关系：360° ? 180° ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ =2 = 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式： 1rad＝ 180 °≈57.30°=57°18ˊ．
?

1°＝
1 2
y

?
180

≈0.01745 （rad）

3、弧长公式： l ? | ? | ? r .

扇形面积公式： s 扇 形 ?

1 2

lr ?

|? | ? r

2

4、三角函数：设 ? 是一个任意角，在 ? 的终边上任取（异于 原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则
cos ? ? x r

sin ? ?

y r

；
r y

a的 终边
P（x,y)

；

tan ? ?

y x

；

cot ? ?

x y

；

sec ? ?

r x

；.

csc ? ?

.

r

o

x

5、三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦）
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

y P T

- + o x + 正切、余切
O

M

Ax

6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域： 三角函数 f ( x ) ? sinx
f (x) ? f (x) ?

定义域 ?x | x ? R ?

cosx tanx cotx secx cscx
cos ? ? tan ?
c o s? s i n? ? c o t?

?x | x ? R ?
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

f (x) ? f (x) ?

?x | x ? R 且 x ?

k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

f (x) ?

?x | x ? R 且 x ?

k? , k ? Z ?

8、同角三角函数的基本关系式： sin ?
tan ? ? cot ? ? 1
sin
2 2

csc ? ? sin ? ? 1
2 2

s e c? ? c o s? ? 1
2 2

16. 几个重要结论 :
? ?1

? ? cos ? ? 1 sec ? ? tan ? ? 1 csc ? ? cot

(1)

y

(2)

y

9、诱导公式：
把 k? 2

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
|cosx|>|sinx| x O |cosx|>|sinx| x

? ?的 三 角 函 数 化 为 ?的 三 角 函 数 ， 概 括 为 ：

O

“奇变偶不变，符号看象限”

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

三角函数的公式： （一）基本关系
公式组一 sinx? cscx= 1 tanx=
sin x co s x

sin x + co s x= 1
2 2

2

2

co sx? secx = 1 tanx? co tx= 1

x=

co s x sin x

1 + tan x = sec x 1 + co t x= csc x
2 2

公式组二
sin( 2 k ? ? x ) ? sin x cos( 2 k ? ? x ) ? cos x tan( 2 k ? ? x ) ? tan x cot( 2 k ? ? x ) ? cot x

公式组三
sin( ? x ) ? ? sin x cos( ? x ) ? cos x tan( ? x ) ? ? tan x cot( ? x ) ? ? cot x

公式组四
sin( ? ? x ) ? ? sin x cos( ? ? x ) ? ? cos x tan( ? ? x ) ? tan x cot( ? ? x ) ? cot x

公式组五
sin( 2 ? ? x ) ? ? sin x cos( 2 ? ? x ) ? cos x tan( 2 ? ? x ) ? ? tan x cot( 2 ? ? x ) ? ? cot x

公式组六
sin( ? ? x ) ? sin x cos( ? ? x ) ? ? cos x tan( ? ? x ) ? ? tan x cot( ? ? x ) ? ? cot x

（二）角与角之间的互换 公式组一
cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

公式组二
s i n2? ? 2 s i n c o s ? ?

c o s2? ? c o s ? ? s i n ? ? 2 c o s ? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ?
2 2 2 2

t a n2? ?

2 t a n? 1? t an ?
2

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin

?
2

? ?

1 ? c o s? 2

tan( ? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

cos

?
2

? ?

1 ? cos ? 2

tan( ? ? ? ) ?

tan

?
2

? ?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

sin ? 1 ? cos ?

?

1 ? cos ? sin ?

公式组三
2 tan sin ? ? 1 ? tan

公式组四
?
2
2

公式组五
? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ?

sin ? cos ? ?

1 2 1 2 1 2

?sin ?? ?sin ?? ?cos ??

?? ?? ??

cos(

1 2

? ? ? ) ? sin ?
? ? ? ) ? cos ? ? ? ? ) ? cot ?

?
2

cos ? sin ? ? cos ? cos ? ?

sin(

1 2

1 ? tan cos ? ? 1 ? tan

2

?
2

? ? ? ? cos ?? ? ?

tan(

1 2

2

?
2

sin ? sin ? ? ?

1 2

?cos ??

? ? ? ? cos ?? ? ?
cos

??
cos(

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

? ??
2

1 2

? ? ? ) ? ? sin ?

2 tan tan ? ? 1 ? tan

?
2
2

sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2 ? ??

sin cos

? ??
2 ? ??

tan(

1 2

? ? ? ) ? ? cot ?
? ? ? ) ? cos ?

?
2

cos ? ? cos ? ? 2 cos

cos ? ? cos ? ? ? 2 sin
2

2 ? ??

sin

? ??
?

2

sin(

1 2
3

sin 15

?

? cos 75

?

?

6 ? 4

, , tan 15 ?
2

? cot 75

?

? 2?

3

,.

2

tan 75

2 ? ? cot 15 ? 2 ?

sin 75

?

? cos 15

?

?

6 ? 4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin ?? x ? ? ?

（A、 ? ＞0）
k? , k ? Z ?

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[ ? 1, ? 1]

R
[ ? 1, ? 1]

?x | x ? R 且 x ?

R

R
?

R
?

??

A, A ?
2?

2?

2?

?

奇函数
?
2

偶函数
[ ? 2 k ? 1 ?? , 2 k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? ?? 2 ? 2 ?

奇函数

当? 当?

? 0, ?

非奇非偶 0 , 奇函数

[?

? 2 k? ,

；

?k ? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数（ k ? Z ）

?
2

? 2 k? ]

上为增函 数
[2 k? ,

上 为 增 函 数 （k ? Z ）

上为增函 数 ； 单调性
[

?2 k

? 1 ?? ]

? ? ? ?? ? 2 k? ? ? 2 ( A ), ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 k? ? ? ? ? ? 2 ? (? A)? ? ? ?

?
2

? 2 k? , ? 2 k? ]

3? 2

上为减函 数 （k ? Z ）

上为增函数；
? ? ? ?? ? 2 k? ? ? 2 ( A ), ? ? ? ? ? ? ? 3 2 k? ? ? ? ? ? ? 2 (? A)? ? ? ? ?

上为减函 数 k?Z ） （

上 为 减 函 数

（k ? Z ）

注意：① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反； y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地，若 y ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上递增（减） ，则 y ? ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上递减（增）.
▲

②y? ③y

sin x

与y

? cos x

的周期是 ? . （?
? 0

y

? sin( ? x ? ? ) 或 y ? cos( ? x ? ? )
x 2

）的周期 T

?

2?

?

.
x O

y ? tan

的周期为 2 ? （ T

?

? ?

? T ? 2?

，如图，翻折无效）.
?
2

④y

? sin( ? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k ? ?
? k?（ k ? Z

（k ? Z ） ，对称中心（ k ? , 0 ） y ；
? 1 2

?sc (o

?x ? ? )

的

对称轴方程是 x
原点对称

） 对称中心 k ? ， （

? ,0

） y ? (a ； nt

（ ? x ? ? ) 的对称中心

k? 2

. ,0 ）

y ? cos 2 x ? ? ? ? y ? ? cos( ? 2 x ) ? ? cos 2 x ?

tan ⑤当 tan ? · ?

? 1, ? ? ? ? k ? ?

?
2

(k ? Z )

tan ； tan ? · ?

? ? 1, ? ? ? ? k ? ?

?
2

(k ? Z )

.

⑥y

? cos x

与y

? ? ? ? sin ? x ? ? 2 k? ? 2 ? ?
1 2

是同一函数,而 y

? (? x ? ? )

是偶函数，则

y ? (? x ? ? ) ? sin( ? x ? k ? ?

? ) ? ? cos( ? x ) .

⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.（× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， ）
y ? tan x 为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是 f ( x ) 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定 义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： f (? x) ? ? f ( x) ）
f (? x) ? f ( x)

，奇函数：

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： y ? tan x 是奇函数， y ? tan( x ? 义域不关于原点对称） 奇函数特有性质：若 0 ? x 的定义域，则 f ( x ) 一定有 质）
▲

1 3

? ) 是非奇非偶.（定

f (0) ? 0

.（ 0 ? x 的定义域，则无此性

▲

⑨y

? sin x

不是周期函数； y

? sin x

为周期函数（ T ? ? ） ；

y

y

x

1 /2 x

y = c o s|x |图 象

y = |c o s2 x + 1 /2 |图 象

y ? cos x

是周期函数（如图） y ；
1 2

? cos x

为周期函数（ T ? ? ） ；

y ? cos 2 x ?

的周期为 ? （如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： .
2

y ? f ( x ) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R

⑩y

? a cos ? ? b sin ? ?

a ?b
2

sin( ? ? ? ) ? cos ? ?

b a

有

a ?b
2

2

? y

.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数 y＝Asin（ω x＋φ）的振幅|A|，周期 T
? 2? |? |

，频率 f

?

1 T

?

|? | 2?

，相位 ? x ? ? ; 初相 ?

（即当 x＝0 时的相位）（当 A＞0，ω ＞0 时以上公式可去绝对值符号） ． ， 由 y＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当 0＜|A| ＜1）到原来的|A|倍，得到 y＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换． （用 y/A 替换 y） 由 y＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变， 横坐标伸长 （0＜|ω |＜1） 或缩短 （|ω |＞1） 到原来的 | 1 | 倍，得到 y＝sinω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换．(用ω x
?

替换 x) 由 y＝sinx 的图象上所有的点向左 （当 φ＞0） 或向右 （当 φ＜0） 平行移动｜φ｜个单位， 得到 y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移．(用 x＋φ 替换 x) 由 y＝sinx 的图象上所有的点向上（当 b＞0）或向下（当 b＜0）平行移动｜b｜个单位， 得到 y＝sinx＋b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移． （用 y+(-b)替换 y）

由 y＝sinx 的图象利用图象变换作函数 y＝Asin（ω x＋φ） （A＞0，ω ＞0） （x∈R）的 图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （ 1 ） 常 值 代 换 ： 特 别 是 用 “ 1 ” 的 代 换 ， 如 1=cos2 θ +sin2 θ =tanx?cotx=tan45°等。 （ 2 ） 项 的 分 拆 与 角 的 配 凑 。 如 分 拆 项 ： sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x； 配凑角： = α +β ） α （ －β ， = β －
? ? ?
2

? ? ?
2

等。

（3）降次与升次。 （4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? )，这里辅助角 ? 所 在象限由 a、b 的符号确定， ? 角的值由 tan ? = 2.证明三角等式的思路和方法。
b a

确定。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化 为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的 单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” 。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析 例 1． 已知 tan ? ? 的值. 解： （1）
cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 1? ? sin ? 2 2
2

2

， （1） 求

cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

； （2）sin 2 ? ? sin ? . cos ? ? 2 cos 2 ?

1 ? tan ? 1? cos ? ? ? sin ? 1 ? tan ? 1? 1? cos ?
2

? ?3 ? 2 2

；

(2)

sin

2

? ? sin ? cos ? ? 2 cos
2

??

sin

2

? ? sin ? cos ? ? 2 cos sin
2

?

? ? cos

2

?

sin ? ? cos
2

cos ? 2 ? ?1 2 cos ?

? sin

?

sin ?

?2 ?

2?

2?2 2 ?1

?

4? 3

2

.

说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） ，进行 弦、切互化，就会使解题过程简化。 例 2．求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x ) 2 的值域。 解：设 t ? sin x ? co s x ?
1 2 3 2 y ? t ? t ? 1 ? (t ? ) ? 2 4 2 sin ( x ? π 4 ) ? [ ? 2， 2 ] ，则原函数可化为

，因为 t ? [ ? 2， 2 ] ，所以
1 2

当 t ? 2 时， y m ax ? 3 ? 2 ，当 t ? ?
3 4

时， y m in ?

3 4

，

3 所以，函数的值域为 y ? [ ， ? 2 ] 。

例 3．已知函数 f ( x ) ? 4 sin 2 x ? 2 sin 2 x ? 2， x ? R 。 （1）求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合； （2）证明：函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?
π 8

对称。

解： f ( x ) ? 4 sin 2 x ? 2 sin 2 x ? 2 ? 2 sin x ? 2(1 ? 2 sin 2 x )

? 2 s i n x 2?

2 c o s? 2 x

2

π 2 xs ? n ( 2 i 4

)

(1)所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? π ，因为 x ? R ， 所以，当 2 x ?
π 4 ? 2 kπ ? π 2

，即 x ? kπ ?

3π 8

时， f ( x ) 最大值为 2 2 ；
π 8

(2)证明：欲证明函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 有 f (?
π 8 ? x) ? f (? π 8 π 8 π 8 π 8 ? x ) ? 2 2 sin [ 2 ( ? ? x ) ? 2 2 sin [ 2 ( ? ? x) ? f (? π 8
1 2

对称，只要证明对任意 x ? R ，

? x ) 成立， π 8 π 8 ? x) ? ? x) ? π 4 π 4 ] ? 2 2 sin ( ? ] ? 2 2 sin ( ? π 2 π 2
π 8

因为 f ( ?
f (?

? 2 x ) ? ? 2 2 co s 2 x ? 2 x ) ? ? 2 2 co s 2 x

， ， 对称。

所以 f ( ?

? x ) 成立，从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?

例 4． 已知函数 y=

cos2x+

3 2

sinx?cosx+1

（x∈R）,

（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合； （2）该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得 到？ 解： 1） （ y= +1 = =
1 4 1 2 1 2

cos2x+

3 2

sinx? cosx+1=

1 4

(2cos2x－1)+

1 4

+

3 4

（2sinx? cosx）

cos2x+ sin(2x+

3 4

sin2x+ )+
5 4

5 4

=

1 2

(cos2x?sin

?
6

+sin2x?cos

?
6

)+

5 4

?
6

所以 y 取最大值时， 只需 2x+

?
6

=

?
2

+2kπ , （k∈Z） 即 ，
?
6

x=

?
6

+kπ , （k∈Z） 。

所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为{x|x= （2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换： （i）把函数 y=sinx 的图像向左平移
?
6

+kπ ,k∈Z}
?
6

，得到函数 y=sin(x+
1 2

)的图像；

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 函数 y=sin(2x+
?
6

倍（纵坐标不变） ，得到

)的图像；
1 2

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 函数 y=
1 2

倍（横坐标不变） ，得到

sin(2x+

?
6

)的图像；

（iv）把得到的图像向上平移 的图像。 综上得到 y=
1 2

5 4

个单位长度，得到函数 y=

1 2

sin(2x+

?
6

)+

5 4

cos2x+

3 2

sinxcosx+1 的图像。

说明：本题是 2000 年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数 的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式，降 幂后最终化成 y= a 2 ? b 2 sin (ω x+ ? )+k 的形式，二是化成某一个三角函数的 二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当 cosx=0 时，y=1；当 cosx≠0 时，
1 cos
2

x?
2

3

sin x cos x
2

1

?

3

tan x
2

y=

2 sin

2 x ? cos

+1=
x

2

2 1 ? tan

+1
x
3 4 7 4

化简得：2(y－1)tan2x－ 3 tanx+2y－3=0 ∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得： ∴ymax=
7 4

≤y≤

，此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ +
x 3 cos x 3 ? 3 cos
2

?
6

,k∈Z}

例 5．已知函数 f ( x ) ? sin

x 3

.

（Ⅰ）将 f(x)写成 A sin( ? x ? ? ) 的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （Ⅱ）如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，试求 x 的范围及此时函数 f(x)的值域. 解： f ( x ) ?
1 2 sin 2x 3 ? 3 2 (1 ? cos 2x 3 ) ? 1 2 sin 2x 3 ? 3 2 cos 2x 3 ? 3 2 ? sin( 2x 3 ?

?
3

)?

3 2

（Ⅰ）由 sin(

2x 3

?

?
3

) =0

即

2x

?

?
3

? k ? ( k ? z )得 x ? k? z

3k ? 1 2

?

k? z

即对称中心的横坐标为 （Ⅱ）由已知 b2=ac
cos x ? ? 1 2 ?| a
2

3 3k ? 1 2

?，

?c ?b
2

2

?

a

2

? c ? ac
2

?

2 ac ? ac 2 ac 2x 3 2x 3 ?

?

1 2

， 5? 9

2 ac ? cos x ? 1， ?

2 ac 0? x ?

?
3

，

?
3

?

?

?
3

?

?
3

?
2

|? |

5? 9

?

?
2

|，
3 2

? sin
].

?
3

? sin(

?
3

) ? 1，

?

3 ? sin(

2x 3

?

?
3

) ?1?

3 2

，

即 f ( x ) 的值域为 ( 3 ,1 ? 综上所述， x ? ( 0 , ]
3

?

，

f ( x ) 值域为 ( 3 ,1 ?

3 2

]

.

说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数 形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行 整合的能力。

例 6．在 ? A B C 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 (1)求 sin B 的值； (2)若 b ? 4 2 ，且 a=c，求 ? A B C 的面积。 解：(1)由正弦定理及
co s C co s B ? 3a ? c b

co s C co s B

?

3a ? c b

，

，有

co s C co s B

?

3 sin A ? sin C sin B

，

即 sin B cos C ? 3 sin A cos B ? sin C cos B ，所以 sin( B ? C ) ? 3 sin A cos B ， 又因为 A ? B ? C ? π ，sin ( B ? C ) ? sin A ， 所以 sin A ? 3 sin A cos B ， 因为 sin A ? 0 ， 所以 co s B ?
1 3

，又 0 ? B ? π ，所以 sin B ? 1 ? co s 2 B ?
2 3 ac ? 32

2 2 3

。

(2)在 ? A B C 中，由余弦定理可得 a 2 ? c 2 ?
4 3 S ? 1 2 a c sin B ? 1 2 a sin B ? 8 2
2

，又 a ? c ，

所以有 a 2 ? 3 2， 即 a 2 ? 2 4 ，所以 ? A B C 的面积为 。

三角函数
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1．已知点 P（tanα，cosα）在第三象限，则角 α 的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2．集合 M＝{x|x＝ kπ π kπ ± ，k∈Z}与 N＝{x|x＝ ，k∈Z}之间的关系是 2 4 4 （ ） D.第四象限 （ ）

A.M N B.N M C.M＝N D.M∩N＝ ? 3． 若将分针拨慢十分钟， 则分针所转过的角度是 （ ） A.60° B.－60° C.30° D.－30° 4． 已 知 下 列 各 角 （ 1） 787° (2)－ 957° (3)－ 289° (4)1711° 其 中 在 第 一 象 限 的 ， ， ， ， 角 是 ( )

A.（1） （2） B.（2） （3） C.（1） （3） D.（2） （4） 5．设 a＜0，角 α 的终边经过点 P（－3a，4a） ，那么 sinα＋2cosα 的值等于 （ A. 2 5 2 B.－ 5 C. 1 5 1 D.－ 5 （ D.± 3 2 （

）

1 3 6． cos(π＋α)＝－ ， π＜α＜2π， sin(2π－α)等于 若 则 2 2 A.－ 3 2 B. 3 2 C. 1 2

）

7． α 是第四象限角， π－α 是 若 则 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 8． 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2， 则这个圆心角所对的弧长是 A.2 B. 2 sin1 C.2sin1 D.sin2

）

（

）

1 9． 如果 sinx＋cosx＝ ， 0＜x＜π， 且 那么 cotx 的值是 5 4 A.－ 3 4 3 B.－ 或－ 3 4 C.－ 3 4 D.

（ 4 3 或－ 3 4 （ D.9

）

10． 若实数 x 满足 log2x＝2＋sinθ， 则|x＋1|＋|x－10|的值等于 A.2x－9 B.9－2x C.11 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 11．tan300° ＋cot765° 的值是_____________. sinα＋cosα 12．若 ＝2，则 sinαcosα 的值是_____________. sinα－cosα 13．不等式（lg20)2cosx＞1，(x∈(0，π))的解集为_____________. 1 14．若 θ 满足 cosθ＞－ ，则角 θ 的取值集合是_____________. 2 15．若 cos130° ＝a，则 tan50° ＝_____________. 16．已知 f(x)＝ 1－x 1＋x －

）

π ，若 α∈( ，π)，则 f(cosα)＋f(－cosα)可化简为___________. 2

三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17． （本小题满分 12 分）设一扇形的周长为 C(C＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面 积？最大面积是多少？

18．(本小题满分 14 分）设 90° ＜α＜180° ，角 α 的终边上一点为?P（x， 5 )，且 cosα＝ 2 x，求 sinα 与 tanα 的值. 4

m－3 4－2m π 19．(本小题满分 14 分)已知 ≤θ≤π，sinθ＝ ，cosθ＝ ，求 m 的值. 2 m＋5 m＋5

20．(本小题满分 15 分)已知 0° ＜α＜45° ，且 lg(tanα)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg3 3 － lg2，求 cos3α－sin3α 的值. 2

7 21．(本小题满分 15 分)已知 sin(5π－α)＝ 2 cos( π＋β)和 3 cos(－α)＝－ 2 cos(π＋β)， 2 且 0＜α＜π，0＜β＜π，求 α 和 β 的值.

三角函数
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1． 下列函数中， 最小正周期为 π 的偶函数是 A.y＝sin2x C.y＝sin2x＋cos2x x B.y＝cos 2 1－tan2x D.y＝ 1＋tan2x （ ）

2． 设函数 y＝cos(sinx)， 则 （ ） A.它的定义域是［－1，1］ B.它是偶函数 C.它的值域是［－cos1，cos1］ D.它不是周期函数 3．把函数 y＝cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两

倍，然后把图象向左平移 （ ） A.y＝2sin2x π C.y＝2cos(2x＋ ) 4

π 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 4 B.y＝－2sin2x x π D.y＝2cos( ＋ ) 2 4 （ D. 4π 3 （ ） ）

π 4． 函数 y＝2sin(3x－ )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 4 A. π 3 B. 2π 3 C.π

5． sinα＋cosα＝m， 若 且－ 2 ≤m＜－1， α 角所在象限是 则 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6．函数 y＝|cotx|· sinx（0＜x≤ 3π 且 x≠π）的图象是 2

（

）

cos2x 7． y＝ 设 ， 则下列结论中正确的是 1＋sinx A.y 有最大值也有最小值 C.y 有最小值但无最大值 π 8． 函数 y＝sin （ －2x)的单调增区间是 4 3π π A.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z) 8 8 π 3π C.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z) 8 8 B.y 有最大值但无最小值 D.y 既无最大值又无最小值

（

）

（ π 5π B.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z) 8 8 3π 7π D.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z) 8 8 （ D.2a

）

1 9．已知 0≤x≤π，且－ ＜a＜0，那么函数 f(x)＝cos2x－2asinx－1 的最小值是 2 A.2a＋1 B.2a－1 C.－2a－1

）

π 10．求使函数 y＝sin(2x＋θ)＋ 3 cos(2x＋θ)为奇函数，且在［0， ］上是增函数的 θ 的一 4 个 （ A. 5π 3 值 ） B. 4π 3 C. 2π 3 D. π 3 为

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） cosx 11．函数 y＝ 的值域是_____________. 1＋2cosx

cosx 12．函数 y＝ 的定义域是_____________. lg（1＋tanx） 13．如果 x，y∈［0，π］ ，且满足|sinx|＝2cosy－2，则 x＝___________，y＝___________. 14．已知函数 y＝2cosx，x∈［0，2π］和 y＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图 形的面积是_____________ 15．函数 y＝sinx＋cosx＋sin2x 的值域是_____________. 16．关于函数 f(x)＝4sin(2x＋ π )(x∈R)有下列命题： 3

①由 f(x1)＝f(x2)＝0 可得 x1－x2 必是 π 的整数倍； π ②y＝f(x)的表达式可改为 y＝4cos(2x－ )； 6 ③y＝f(x)的图象关于点（－ π ，0)对称； 6

π ④y＝f(x)的图象关于直线 x＝－ 对称. 6 其中正确的命题的序号是_____________. 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17． （本小题满分 12 分）如图为函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该 函数的一个解析式.

18． （本小题满分 14 分）已知函数 y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R) (1)当 y 取得最大值时，求自变量 x 的取值集合. (2)该函数图象可由 y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

19． （本小题满分 14 分）已知函数 f(x)＝ log

1 2

(sinx－cosx)

（1）求它的定义域和值域； （2）求它的单调减区间； （3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.

20． （本小题满分 15 分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图） ，为降低成本，必 须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m， 渠深 3 米， 则水渠侧 壁的倾斜角 α 应为多少时，方能使修建的成本最低？

21． (本小题满分 15 分）已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，其 3π π 图象关于点 M（ ，0)对称，且在区间［0， ］上是单调函数，求 φ 和 ω 的值. 4 2