三角函数
1. ① 与 ? ( 0°≤ ? < 360°) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ) :
?? | ?
? k ? 360
?
??,k ? Z
?
? k ? 180 , k ? Z
? ? ?
▲
y
②终边在 x 轴上的角的集合: ?? | ? ③终边在 y 轴上的角的集合: ?? | ?
? ?
3 sin x 4 c o sx c o sx
2 sin x 1 c o sx
? k ? 180
? 90 , k ? Z
?
x
c o sx 4 sin x 2 sin x 3
④终边在坐标轴上的角的集合: ?? | ? ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: ?? | ? ⑥终边在 y
? ?x
? k ? 90 , k ? Z
? ?
? ? ?
1
? k ? 180
? 45 , k ? Z
? ?
S IN \C O S 三 角 函 数 值 大 小 关 系 图 1、 2、 3、 4表 示 第 一 、 二 、 三 、 四象限一半所在区域
轴上的角的集合: ?? | ?
? k ? 180
? 45 , k ? Z
⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ?
?
? 360 k ? ?
? ?
?
? 360 k ? 180
?
??
? 180 k ? ?
?
? 360 k ? ? ? 90
2. 角度与弧度的互换关系:360° ? 180° ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ =2 = 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?
1°=
1 2
y
?
180
≈0.01745 (rad)
3、弧长公式: l ? | ? | ? r .
扇形面积公式: s 扇 形 ?
1 2
lr ?
|? | ? r
2
4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于 原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则
cos ? ? x r
sin ? ?
y r
;
r y
a的 终边
P(x,y)
;
tan ? ?
y x
;
cot ? ?
x y
;
sec ? ?
r x
;.
csc ? ?
.
r
o
x
5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)
y y
+ + o x - 正弦、余割
- + o - + x
余弦、正割
y
y P T
- + o x + 正切、余切
O
M
Ax
6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.
7. 三角函数的定义域: 三角函数 f ( x ) ? sinx
f (x) ? f (x) ?
定义域 ?x | x ? R ?
cosx tanx cotx secx cscx
cos ? ? tan ?
c o s? s i n? ? c o t?
?x | x ? R ?
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?
f (x) ? f (x) ?
?x | x ? R 且 x ?
k? , k ? Z ?
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?
f (x) ?
?x | x ? R 且 x ?
k? , k ? Z ?
8、同角三角函数的基本关系式: sin ?
tan ? ? cot ? ? 1
sin
2 2
csc ? ? sin ? ? 1
2 2
s e c? ? c o s? ? 1
2 2
16. 几个重要结论 :
? ?1
? ? cos ? ? 1 sec ? ? tan ? ? 1 csc ? ? cot
(1)
y
(2)
y
9、诱导公式:
把 k? 2
|sinx|>|cosx| sinx>cosx
|cosx|>|sinx| x O |cosx|>|sinx| x
? ?的 三 角 函 数 化 为 ?的 三 角 函 数 , 概 括 为 :
O
“奇变偶不变,符号看象限”
cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2
三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 sinx? cscx= 1 tanx=
sin x co s x
sin x + co s x= 1
2 2
2
2
co sx? secx = 1 tanx? co tx= 1
x=
co s x sin x
1 + tan x = sec x 1 + co t x= csc x
2 2
公式组二
sin( 2 k ? ? x ) ? sin x cos( 2 k ? ? x ) ? cos x tan( 2 k ? ? x ) ? tan x cot( 2 k ? ? x ) ? cot x
公式组三
sin( ? x ) ? ? sin x cos( ? x ) ? cos x tan( ? x ) ? ? tan x cot( ? x ) ? ? cot x
公式组四
sin( ? ? x ) ? ? sin x cos( ? ? x ) ? ? cos x tan( ? ? x ) ? tan x cot( ? ? x ) ? cot x
公式组五
sin( 2 ? ? x ) ? ? sin x cos( 2 ? ? x ) ? cos x tan( 2 ? ? x ) ? ? tan x cot( 2 ? ? x ) ? ? cot x
公式组六
sin( ? ? x ) ? sin x cos( ? ? x ) ? ? cos x tan( ? ? x ) ? ? tan x cot( ? ? x ) ? ? cot x
(二)角与角之间的互换 公式组一
cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
公式组二
s i n2? ? 2 s i n c o s ? ?
c o s2? ? c o s ? ? s i n ? ? 2 c o s ? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ?
2 2 2 2
t a n2? ?
2 t a n? 1? t an ?
2
sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
sin
?
2
? ?
1 ? c o s? 2
tan( ? ? ? ) ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
cos
?
2
? ?
1 ? cos ? 2
tan( ? ? ? ) ?
tan
?
2
? ?
1 ? cos ? 1 ? cos ?
?
sin ? 1 ? cos ?
?
1 ? cos ? sin ?
公式组三
2 tan sin ? ? 1 ? tan
公式组四
?
2
2
公式组五
? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ?
sin ? cos ? ?
1 2 1 2 1 2
?sin ?? ?sin ?? ?cos ??
?? ?? ??
cos(
1 2
? ? ? ) ? sin ?
? ? ? ) ? cos ? ? ? ? ) ? cot ?
?
2
cos ? sin ? ? cos ? cos ? ?
sin(
1 2
1 ? tan cos ? ? 1 ? tan
2
?
2
? ? ? ? cos ?? ? ?
tan(
1 2
2
?
2
sin ? sin ? ? ?
1 2
?cos ??
? ? ? ? cos ?? ? ?
cos
??
cos(
sin ? ? sin ? ? 2 sin
? ??
2
? ??
2
1 2
? ? ? ) ? ? sin ?
2 tan tan ? ? 1 ? tan
?
2
2
sin ? ? sin ? ? 2 cos
? ??
2 ? ??
sin cos
? ??
2 ? ??
tan(
1 2
? ? ? ) ? ? cot ?
? ? ? ) ? cos ?
?
2
cos ? ? cos ? ? 2 cos
cos ? ? cos ? ? ? 2 sin
2
2 ? ??
sin
? ??
?
2
sin(
1 2
3
sin 15
?
? cos 75
?
?
6 ? 4
, , tan 15 ?
2
? cot 75
?
? 2?
3
,.
2
tan 75
2 ? ? cot 15 ? 2 ?
sin 75
?
? cos 15
?
?
6 ? 4
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x
y ? cos x
y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?
y ? cot x
y ? A sin ?? x ? ? ?
(A、 ? >0)
k? , k ? Z ?
定义域 值域 周期性 奇偶性
R
[ ? 1, ? 1]
R
[ ? 1, ? 1]
?x | x ? R 且 x ?
R
R
?
R
?
??
A, A ?
2?
2?
2?
?
奇函数
?
2
偶函数
[ ? 2 k ? 1 ?? , 2 k? ]
奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? ?? 2 ? 2 ?
奇函数
当? 当?
? 0, ?
非奇非偶 0 , 奇函数
[?
? 2 k? ,
;
?k ? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )
?
2
? 2 k? ]
上为增函 数
[2 k? ,
上 为 增 函 数 (k ? Z )
上为增函 数 ; 单调性
[
?2 k
? 1 ?? ]
? ? ? ?? ? 2 k? ? ? 2 ( A ), ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 k? ? ? ? ? ? 2 ? (? A)? ? ? ?
?
2
? 2 k? , ? 2 k? ]
3? 2
上为减函 数 (k ? Z )
上为增函数;
? ? ? ?? ? 2 k? ? ? 2 ( A ), ? ? ? ? ? ? ? 3 2 k? ? ? ? ? ? ? 2 (? A)? ? ? ? ?
上为减函 数 k?Z ) (
上 为 减 函 数
(k ? Z )
注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地,若 y ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上递增(减) ,则 y ? ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上递减(增).
▲
②y? ③y
sin x
与y
? cos x
的周期是 ? . (?
? 0
y
? sin( ? x ? ? ) 或 y ? cos( ? x ? ? )
x 2
)的周期 T
?
2?
?
.
x O
y ? tan
的周期为 2 ? ( T
?
? ?
? T ? 2?
,如图,翻折无效).
?
2
④y
? sin( ? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k ? ?
? k?( k ? Z
(k ? Z ) ,对称中心( k ? , 0 ) y ;
? 1 2
?sc (o
?x ? ? )
的
对称轴方程是 x
原点对称
) 对称中心 k ? , (
? ,0
) y ? (a ; nt
( ? x ? ? ) 的对称中心
k? 2
. ,0 )
y ? cos 2 x ? ? ? ? y ? ? cos( ? 2 x ) ? ? cos 2 x ?
tan ⑤当 tan ? · ?
? 1, ? ? ? ? k ? ?
?
2
(k ? Z )
tan ; tan ? · ?
? ? 1, ? ? ? ? k ? ?
?
2
(k ? Z )
.
⑥y
? cos x
与y
? ? ? ? sin ? x ? ? 2 k? ? 2 ? ?
1 2
是同一函数,而 y
? (? x ? ? )
是偶函数,则
y ? (? x ? ? ) ? sin( ? x ? k ? ?
? ) ? ? cos( ? x ) .
⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域, )
y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是 f ( x ) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? ? f ( x) )
f (? x) ? f ( x)
,奇函数:
奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan( x ? 义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x ) 一定有 质)
▲
1 3
? ) 是非奇非偶.(定
f (0) ? 0
.( 0 ? x 的定义域,则无此性
▲
⑨y
? sin x
不是周期函数; y
? sin x
为周期函数( T ? ? ) ;
y
y
x
1 /2 x
y = c o s|x |图 象
y = |c o s2 x + 1 /2 |图 象
y ? cos x
是周期函数(如图) y ;
1 2
? cos x
为周期函数( T ? ? ) ;
y ? cos 2 x ?
的周期为 ? (如图) ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: .
2
y ? f ( x ) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R
⑩y
? a cos ? ? b sin ? ?
a ?b
2
sin( ? ? ? ) ? cos ? ?
b a
有
a ?b
2
2
? y
.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T
? 2? |? |
,频率 f
?
1 T
?
|? | 2?
,相位 ? x ? ? ; 初相 ?
(即当 x=0 时的相位)(当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号) . , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A| <1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变, 横坐标伸长 (0<|ω |<1) 或缩短 (|ω |>1) 到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x
?
替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0) 或向右 (当 φ<0) 平行移动|φ|个单位, 得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y)
由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ) (A>0,ω >0) (x∈R)的 图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。
高中数学三角函数常见习题类型及解法 1.三角函数恒等变形的基本策略。 ( 1 ) 常 值 代 换 : 特 别 是 用 “ 1 ” 的 代 换 , 如 1=cos2 θ +sin2 θ =tanx?cotx=tan45°等。 ( 2 ) 项 的 分 拆 与 角 的 配 凑 。 如 分 拆 项 : sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x; 配凑角: = α +β ) α ( -β , = β -
? ? ?
2
? ? ?
2
等。
(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所 在象限由 a、b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? = 2.证明三角等式的思路和方法。
b a
确定。
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化 为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的 单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析 例 1. 已知 tan ? ? 的值. 解: (1)
cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 1? ? sin ? 2 2
2
2
, (1) 求
cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?
; (2)sin 2 ? ? sin ? . cos ? ? 2 cos 2 ?
1 ? tan ? 1? cos ? ? ? sin ? 1 ? tan ? 1? 1? cos ?
2
? ?3 ? 2 2
;
(2)
sin
2
? ? sin ? cos ? ? 2 cos
2
??
sin
2
? ? sin ? cos ? ? 2 cos sin
2
?
? ? cos
2
?
sin ? ? cos
2
cos ? 2 ? ?1 2 cos ?
? sin
?
sin ?
?2 ?
2?
2?2 2 ?1
?
4? 3
2
.
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行 弦、切互化,就会使解题过程简化。 例 2.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x ) 2 的值域。 解:设 t ? sin x ? co s x ?
1 2 3 2 y ? t ? t ? 1 ? (t ? ) ? 2 4 2 sin ( x ? π 4 ) ? [ ? 2, 2 ] ,则原函数可化为
,因为 t ? [ ? 2, 2 ] ,所以
1 2
当 t ? 2 时, y m ax ? 3 ? 2 ,当 t ? ?
3 4
时, y m in ?
3 4
,
3 所以,函数的值域为 y ? [ , ? 2 ] 。
例 3.已知函数 f ( x ) ? 4 sin 2 x ? 2 sin 2 x ? 2, x ? R 。 (1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?
π 8
对称。
解: f ( x ) ? 4 sin 2 x ? 2 sin 2 x ? 2 ? 2 sin x ? 2(1 ? 2 sin 2 x )
? 2 s i n x 2?
2 c o s? 2 x
2
π 2 xs ? n ( 2 i 4
)
(1)所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R , 所以,当 2 x ?
π 4 ? 2 kπ ? π 2
,即 x ? kπ ?
3π 8
时, f ( x ) 最大值为 2 2 ;
π 8
(2)证明:欲证明函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 有 f (?
π 8 ? x) ? f (? π 8 π 8 π 8 π 8 ? x ) ? 2 2 sin [ 2 ( ? ? x ) ? 2 2 sin [ 2 ( ? ? x) ? f (? π 8
1 2
对称,只要证明对任意 x ? R ,
? x ) 成立, π 8 π 8 ? x) ? ? x) ? π 4 π 4 ] ? 2 2 sin ( ? ] ? 2 2 sin ( ? π 2 π 2
π 8
因为 f ( ?
f (?
? 2 x ) ? ? 2 2 co s 2 x ? 2 x ) ? ? 2 2 co s 2 x
, , 对称。
所以 f ( ?
? x ) 成立,从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?
例 4. 已知函数 y=
cos2x+
3 2
sinx?cosx+1
(x∈R),
(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得 到? 解: 1) ( y= +1 = =
1 4 1 2 1 2
cos2x+
3 2
sinx? cosx+1=
1 4
(2cos2x-1)+
1 4
+
3 4
(2sinx? cosx)
cos2x+ sin(2x+
3 4
sin2x+ )+
5 4
5 4
=
1 2
(cos2x?sin
?
6
+sin2x?cos
?
6
)+
5 4
?
6
所以 y 取最大值时, 只需 2x+
?
6
=
?
2
+2kπ , (k∈Z) 即 ,
?
6
x=
?
6
+kπ , (k∈Z) 。
所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移
?
6
+kπ ,k∈Z}
?
6
,得到函数 y=sin(x+
1 2
)的图像;
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 函数 y=sin(2x+
?
6
倍(纵坐标不变) ,得到
)的图像;
1 2
(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 函数 y=
1 2
倍(横坐标不变) ,得到
sin(2x+
?
6
)的图像;
(iv)把得到的图像向上平移 的图像。 综上得到 y=
1 2
5 4
个单位长度,得到函数 y=
1 2
sin(2x+
?
6
)+
5 4
cos2x+
3 2
sinxcosx+1 的图像。
说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数 的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降 幂后最终化成 y= a 2 ? b 2 sin (ω x+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的 二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时,
1 cos
2
x?
2
3
sin x cos x
2
1
?
3
tan x
2
y=
2 sin
2 x ? cos
+1=
x
2
2 1 ? tan
+1
x
3 4 7 4
化简得:2(y-1)tan2x- 3 tanx+2y-3=0 ∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: ∴ymax=
7 4
≤y≤
,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ +
x 3 cos x 3 ? 3 cos
2
?
6
,k∈Z}
例 5.已知函数 f ( x ) ? sin
x 3
.
(Ⅰ)将 f(x)写成 A sin( ? x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函数 f(x)的值域. 解: f ( x ) ?
1 2 sin 2x 3 ? 3 2 (1 ? cos 2x 3 ) ? 1 2 sin 2x 3 ? 3 2 cos 2x 3 ? 3 2 ? sin( 2x 3 ?
?
3
)?
3 2
(Ⅰ)由 sin(
2x 3
?
?
3
) =0
即
2x
?
?
3
? k ? ( k ? z )得 x ? k? z
3k ? 1 2
?
k? z
即对称中心的横坐标为 (Ⅱ)由已知 b2=ac
cos x ? ? 1 2 ?| a
2
3 3k ? 1 2
?,
?c ?b
2
2
?
a
2
? c ? ac
2
?
2 ac ? ac 2 ac 2x 3 2x 3 ?
?
1 2
, 5? 9
2 ac ? cos x ? 1, ?
2 ac 0? x ?
?
3
,
?
3
?
?
?
3
?
?
3
?
2
|? |
5? 9
?
?
2
|,
3 2
? sin
].
?
3
? sin(
?
3
) ? 1,
?
3 ? sin(
2x 3
?
?
3
) ?1?
3 2
,
即 f ( x ) 的值域为 ( 3 ,1 ? 综上所述, x ? ( 0 , ]
3
?
,
f ( x ) 值域为 ( 3 ,1 ?
3 2
]
.
说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数 形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行 整合的能力。
例 6.在 ? A B C 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ? A B C 的面积。 解:(1)由正弦定理及
co s C co s B ? 3a ? c b
co s C co s B
?
3a ? c b
,
,有
co s C co s B
?
3 sin A ? sin C sin B
,
即 sin B cos C ? 3 sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3 sin A cos B , 又因为 A ? B ? C ? π ,sin ( B ? C ) ? sin A , 所以 sin A ? 3 sin A cos B , 因为 sin A ? 0 , 所以 co s B ?
1 3
,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? co s 2 B ?
2 3 ac ? 32
2 2 3
。
(2)在 ? A B C 中,由余弦定理可得 a 2 ? c 2 ?
4 3 S ? 1 2 a c sin B ? 1 2 a sin B ? 8 2
2
,又 a ? c ,
所以有 a 2 ? 3 2, 即 a 2 ? 2 4 ,所以 ? A B C 的面积为 。
三角函数
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.集合 M={x|x= kπ π kπ ± ,k∈Z}与 N={x|x= ,k∈Z}之间的关系是 2 4 4 ( ) D.第四象限 ( )
A.M N B.N M C.M=N D.M∩N= ? 3. 若将分针拨慢十分钟, 则分针所转过的角度是 ( ) A.60° B.-60° C.30° D.-30° 4. 已 知 下 列 各 角 ( 1) 787° (2)- 957° (3)- 289° (4)1711° 其 中 在 第 一 象 限 的 , , , , 角 是 ( )
A.(1) (2) B.(2) (3) C.(1) (3) D.(2) (4) 5.设 a<0,角 α 的终边经过点 P(-3a,4a) ,那么 sinα+2cosα 的值等于 ( A. 2 5 2 B.- 5 C. 1 5 1 D.- 5 ( D.± 3 2 (
)
1 3 6. cos(π+α)=- , π<α<2π, sin(2π-α)等于 若 则 2 2 A.- 3 2 B. 3 2 C. 1 2
)
7. α 是第四象限角, π-α 是 若 则 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 8. 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2, 则这个圆心角所对的弧长是 A.2 B. 2 sin1 C.2sin1 D.sin2
)
(
)
1 9. 如果 sinx+cosx= , 0<x<π, 且 那么 cotx 的值是 5 4 A.- 3 4 3 B.- 或- 3 4 C.- 3 4 D.
( 4 3 或- 3 4 ( D.9
)
10. 若实数 x 满足 log2x=2+sinθ, 则|x+1|+|x-10|的值等于 A.2x-9 B.9-2x C.11 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.tan300° +cot765° 的值是_____________. sinα+cosα 12.若 =2,则 sinαcosα 的值是_____________. sinα-cosα 13.不等式(lg20)2cosx>1,(x∈(0,π))的解集为_____________. 1 14.若 θ 满足 cosθ>- ,则角 θ 的取值集合是_____________. 2 15.若 cos130° =a,则 tan50° =_____________. 16.已知 f(x)= 1-x 1+x -
)
π ,若 α∈( ,π),则 f(cosα)+f(-cosα)可化简为___________. 2
三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)设一扇形的周长为 C(C>0),当扇形中心角为多大时,它有最大面 积?最大面积是多少?
18.(本小题满分 14 分)设 90° <α<180° ,角 α 的终边上一点为?P(x, 5 ),且 cosα= 2 x,求 sinα 与 tanα 的值. 4
m-3 4-2m π 19.(本小题满分 14 分)已知 ≤θ≤π,sinθ= ,cosθ= ,求 m 的值. 2 m+5 m+5
20.(本小题满分 15 分)已知 0° <α<45° ,且 lg(tanα)-lg(sinα)=lg(cosα)-lg(cotα)+2lg3 3 - lg2,求 cos3α-sin3α 的值. 2
7 21.(本小题满分 15 分)已知 sin(5π-α)= 2 cos( π+β)和 3 cos(-α)=- 2 cos(π+β), 2 且 0<α<π,0<β<π,求 α 和 β 的值.
三角函数
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 下列函数中, 最小正周期为 π 的偶函数是 A.y=sin2x C.y=sin2x+cos2x x B.y=cos 2 1-tan2x D.y= 1+tan2x ( )
2. 设函数 y=cos(sinx), 则 ( ) A.它的定义域是[-1,1] B.它是偶函数 C.它的值域是[-cos1,cos1] D.它不是周期函数 3.把函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两
倍,然后把图象向左平移 ( ) A.y=2sin2x π C.y=2cos(2x+ ) 4
π 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 4 B.y=-2sin2x x π D.y=2cos( + ) 2 4 ( D. 4π 3 ( ) )
π 4. 函数 y=2sin(3x- )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 4 A. π 3 B. 2π 3 C.π
5. sinα+cosα=m, 若 且- 2 ≤m<-1, α 角所在象限是 则 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.函数 y=|cotx|· sinx(0<x≤ 3π 且 x≠π)的图象是 2
(
)
cos2x 7. y= 设 , 则下列结论中正确的是 1+sinx A.y 有最大值也有最小值 C.y 有最小值但无最大值 π 8. 函数 y=sin ( -2x)的单调增区间是 4 3π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 π 3π C.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 B.y 有最大值但无最小值 D.y 既无最大值又无最小值
(
)
( π 5π B.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 3π 7π D.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 ( D.2a
)
1 9.已知 0≤x≤π,且- <a<0,那么函数 f(x)=cos2x-2asinx-1 的最小值是 2 A.2a+1 B.2a-1 C.-2a-1
)
π 10.求使函数 y=sin(2x+θ)+ 3 cos(2x+θ)为奇函数,且在[0, ]上是增函数的 θ 的一 4 个 ( A. 5π 3 值 ) B. 4π 3 C. 2π 3 D. π 3 为
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) cosx 11.函数 y= 的值域是_____________. 1+2cosx
cosx 12.函数 y= 的定义域是_____________. lg(1+tanx) 13.如果 x,y∈[0,π] ,且满足|sinx|=2cosy-2,则 x=___________,y=___________. 14.已知函数 y=2cosx,x∈[0,2π]和 y=2,则它们的图象所围成的一个封闭的平面图 形的面积是_____________ 15.函数 y=sinx+cosx+sin2x 的值域是_____________. 16.关于函数 f(x)=4sin(2x+ π )(x∈R)有下列命题: 3
①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π ②y=f(x)的表达式可改为 y=4cos(2x- ); 6 ③y=f(x)的图象关于点(- π ,0)对称; 6
π ④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6 其中正确的命题的序号是_____________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)如图为函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,试求该 函数的一个解析式.
18. (本小题满分 14 分)已知函数 y=(sinx+cosx)2+2cos2x.(x∈R) (1)当 y 取得最大值时,求自变量 x 的取值集合. (2)该函数图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
19. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= log
1 2
(sinx-cosx)
(1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调减区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.
20. (本小题满分 15 分)某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图) ,为降低成本,必 须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m, 渠深 3 米, 则水渠侧 壁的倾斜角 α 应为多少时,方能使修建的成本最低?
21. (本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其 3π π 图象关于点 M( ,0)对称,且在区间[0, ]上是单调函数,求 φ 和 ω 的值. 4 2