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高二理科数学测试题(2013年12月12)


高二理科数学测试题(2013 年 12 月 13 日)

一、选择题:本大题10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.某校有下列问题:①高三毕业班500名学生中,O型血有200人,A型血有125人,B型血有125 人,AB型血有50人,为研究血型与色弱的关系,需从中抽取一个容量为20的样本;②高二 年级足球队有11名运动员,要从中抽出2人调查学习负担情况。 方法:Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( ) A.①Ⅰ ②Ⅱ B.①Ⅲ ② Ⅰ C.①Ⅱ ②Ⅲ D.①Ⅲ ②Ⅱ 2. 四位二进制数能表示的最大十进制数是( ) A.4 B.15 C.64 D.127 3. 一个盒子里有 6 只好晶体管,4 只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,求 若已知第一只是好的,第二只也是好的概率为( ) A

7. 某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开了三个班.选课结束后,有四名选修英语的 同学要求改修数学,但数学选修每班至多可再接收两名同学,那么安排好这四名同学的方 案有( ) A.72种 B.54种 C.36种 D.18种 8. 某人在 5 次上班的途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x , y ,10,11,9;已知这组数 据的平均数为 10,方差为 2,则 | x ? y | 的值为( )

A.1 B.2 C. 3 D.4 9. 2012 年元旦某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,后四位数从“0000” 到“9999”共 10000 个号码。 公司规定: 凡卡号的后四位数带数字“6”或“8”的一律作为 “金 龙 卡”,则这组号码中“金龙卡”的个数为( ) A.2000 B.4096 C.8320 D. 5904 10. 一颗正方体骰子,共六个面的点数分别是 1、2、3、4、5、6,将这颗骰子投掷三次观察向上 的点数,则三次点数之和为 16 的概率是 ( ) A.

2 3

B.

C.

5 9

D.

7 9

1 6

B.

1 18

C.

1 36

D.

1 72

4.下列命题中,正确的命题有( ) (1)正态分布随机变量等于一个特定实数的概率是 0 ; (2)将一组数据中的每个数据都加上或都减去同一个常数后,方差不变; (3)设随机变量 ? 服从正态分布 N(0,1) ,若 P?? ? 1? ? p ,则 P ?? 1 ? ? ? 0 ? ? (4)回归直线一定过样本中心点 x, y A.1 个
2 2 2 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。 11. 某商 场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、 30 种、20 种,现从中 抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方 法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ___

? ?
C.3 个 )

1 ? p; 2

a 12. 若?x-x?9 的展开式中 x3 的系数是-84,则 a= ? ?

.

B.2 个

D.4 个 13. 某射击爱好者一次击中目标的概率为 p,在某次射击训练中向目标射击 3 次,记 X 为击中 目标的次数,且 D(X)=

5. 若 C3 ? C4 ? C5 ? ? ? Cn ? 83 ,则自然数 n ? (

A.6 B.7 C.8 D.9 6. 右图是某同学为求 1006 个偶数:2,4,6,…,2012 的平均数而设计的程序框图的部分内容,则 在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是( )

3 ,则 p=_______ 4

14.现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色,要求有公共 边的两块不能用同一种颜色,共有 种不同的着色方 案。 (用数字作答) .

A. C.

B. D.
1

15. 甲乙二人玩猜字游戏,先由甲在心中想好一个数字,记作 a ,然后再由乙猜甲刚才所想到 的数字,并把乙猜到的数字记为 b ,二人约定: a 、 b ? {1,2,3,4},且当 | a ? b |? 1 时 乙为胜方,否则甲为胜方.则甲取胜的概率是 .

三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分)已知 (

4
4

x

? 3 x 2 )n 展开式中的倒数第三项的二项式系数为 45

20.(本小题满分 13 分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这两条 流水线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克), 重量值落在 (495,510] 的 产品为合格品, 否则为不合格品. 图1是甲流水线样本的频率分布直方图, 表 1 是乙流水 线样本频数分布表.
频率/组距

(1)求含有 x 3 的项; (2)求二项式系数最大的项.

产品重量(克)
0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04

频数 6 8 14 8 4

(49 0,49 5] (49 5,50 0] (50 0,50 5] (50 5,51 0]
0

17.(本小题满分 12 分)某城市有连接 8 个小区 A、B、C、D、E、F、G、H 和市中心 O 的整 齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图, 某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区 A 前往 H。 (I)列出此人从小区 A 到 H 的所有最短路径(自 A 至 H 依次 用所经过的小区的字母表示) : (II)求他经过市中心 O 的概率。

0.03 0.02 0.01

490 495 500 505 510

515

(51 0,51 5]
(重量/克)

图 1:(甲流水线样本频率分布直方图) 表1:(乙流水线样本频数分布表) (1)若以频率作为概率, 试估计从甲流水线上任取 5 件产品, 求其中合格品的件数 X 的数学期望; (2)从乙流水线样本的不合格品中任意取 2 件,求其中超过合格品重量的件数 Y 的分布列;

18.(本小题满分12分)某公司向市场投放三种新型产品,经调查发现第一种产品受欢迎的概率

4 ,第二、第三种产品受欢迎的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同种产品是否受欢迎 5 相互独立。记 ? 为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量,其分布列为 ? 0 1 2 3


21.(本小题满分14分)已知用户甲的电脑被某黑客乙入侵。黑客乙为了窃取甲的某重要帐户的 用户名和密码,在甲的电脑中植入了如右程序框图所示的电脑程序,在甲每次登陆其重要 帐户之前,电脑先执行此程序,让甲输入其用户名 a ,密码 d 和一个随机的验证码 k ( a 、

p

2 45

a

d

8 45

(1)求该公司至少有一种产品受欢迎的概率;(2)求 p , q 的值;(3)求数学期望 E ? 。

d 、 k 均为正实数) ,因为甲的用户名和密码受到保护,所以乙每次只能看到验证码 k 和 输出结果 S 。某一天甲登陆了两次其重要帐户,乙看到当 1 4 S? S? k ? 2时 3 ,k ?5时 9。
(Ⅰ)乙能否由此信息确定甲重要帐户的用户名和密码?若能 确定,请求出 a 和 d 的值;若不能确定,请说明道理。 (Ⅱ) 现记输入的 a 值为 取到的值分别记为 式 ?1 ?

19.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1
2

a1

, 在程序运行的过程中, 以后变量 a

(Ⅰ)设集合 P={1,2, 3}和 Q={-1,1,2,3,4},从集合 P 中随机取一个数作为 a , 从 Q 中随机取一个数作为 b ,求函数 y ? f ( x) 在区间 [1, ??) 上是增函数的概率;

a2



a3

…,这样得到一个数列

?an ? ,若不等

?

?x ? y ? 8 ? 0 ? (a, b) 是区域 ? x ? 0 (Ⅱ)设点 ? y ? 0 内的随机点,求函数 y ? f ( x) 在区间 [1, ??) 上是 ?
增函数的概率。

? ? n ? N 均成立,求k的最大值。

? 1 ? 1? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1+ ? ? k· 2n ? 1 对 一 切 a1 ? ? a2 ? ? an ?

2


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