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湖南省岳阳县一中2015届高三年级第三次月考理科数学试卷


湖南省岳阳县一中 2015 届高三年级第三次月考试卷
理科数学
时量:120 分钟 总分:150 分 命题人: 周军才 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1. 设复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 2 ? xi ( x ? R) ,若 z1 ? z2 ? R ,则 x ? ( A. ?1 答案: B 解: z1 ? z2 ? ?1 ? i ? ? 2 ? xi ? ? ? 2 ? x ? ? ? 2 ? x ? i 因为 z1 ? z2 ? R 所以 x ? 2 ? 0,? x ? ?2 , 2. 下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( A. y ? x3 答案:D 3. 在 ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? ,则 cos B 等于( ) B. y ? ln(? x) ) D. y ? x ? B. ?2 C. 1 D. 2 )

C. y ? xe? x

2 x

2 2 3 答案:D
A. ?

B.

2 2 3

C. ?

6 6 D. 3 3

解:由正弦定理有 所以 cos B =

15 10 3 ? ? sin B ? , a ? b,? A ? B , B 为锐角 sin 60? sin B 3

6 3


4. 已知 {a n } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 S9=12 ,则下列各式一定为定值的是( A. a3 ? a8 答案:C 解析: S9 =12 ? a1 ? a9 ? B. a10 C. a3 ? a5 ? a7 D. a2 ? a7

8 4 定值, a3 ? a5 ? a7 ? 3a5 ? 3 ? ? 4 3 3

5. 已知 f ( x) ? 3sin x ? ? x ,命题 p : ?x ? ? 0,
-1-

? ?

??

? , f ( x) ? 0 ,则( ) 2?

A. p 是假命题; ?p : ?x ? ? 0,

? ?

??

? , f ( x) ? 0 2?

B. p 是假命题; ?p : ?x0 ? ? 0,

? ?

??

? , f ( x0 ) ? 0 2?

C. p 是真命题; ?p : ?x ? ? 0,

? ?

??

? , f ( x) ? 0 2?

D. p 是真命题; ?p : ?x0 ? ? 0, 答案:D

? ?

??

? , f ( x0 ) ? 0 2?

解: f ?( x) ? 3cos x ? ? ? 0 恒成立,则 f ( x) ? 3sin x ? ? x 在 ? 0,

? ?

??

? 上单调递减, 2?

f (0) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 恒成立,所以 p 是真命题

? ?? ?p : ?x0 ? ? 0, ? , f ( x0 ) ? 0 ? 2?
6. 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,若

S6 ? 3, S3
D.3



S9 =( S6



A. 2 答案:B 解:

B.

7 3

C.

8 3

S6 S ? q 3 S3 S S ? q 3 S3 ? q 6 S3 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ?3? 3 ? 3 ? q3 ? 2 , 9 ? 3 ? ? ? S3 S3 S6 S3 ? q 3 S3 1 ? q3 3 3
4 4

7. 函数 y ? sin x ? cos x 是 A.最小正周期为

(

)

? 2 ? ? ,1? 的函数 ,值域为 ? 2 ? 2 ?
? 2 ? ? ,1? 的函数 ,值域为 ? 4 ? 2 ?

B.最小正周期为

C.最小正周期为

? ?1 ? ,值域为 ? ,1? 的函数 2 ?2 ?
-2-

D.最小正周期为 答案:C

? ?1 ? ,值域为 ? ,1? 的函数 4 ?2 ?

解: y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x
4 4 2 2

?

?

2

? 2sin 2 x cos 2 x ?

最小正周期为 T ?

2? ? ? , 4 2 1 3 cos 4 x ?1 ? ? ? ? 1 ,即值域为 ? ,1? 2 4 4 ?2 ?

3 cos 4 x ? 4 4

因为 ?1 ? cos 4 x ? 1 ,所以

8. 如图,面积为 8 的平行四边形 OABC , 对角线 AC ? CO , AC 与 BO 交于点 E ,某指数 函数 y ? a x ? a ? 0, 且a ? 1? ,经过点 E , B ,则 a = A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 ( )
y B

答案:A 解析:设点 E t , at ,则点 B 坐标为 2t ,2at ,又 2a t ? a 2t
t

? ?

?

?

C E O A x

∴a ?2 , 平行四边形 OABC 的面积= OC ? AC ? at ? 2t ? 4t ,又平行四边形 OABC 的面积为 8 ∴ t ? 2, ∴ a2 ? 2, a ? 2

9. 已知 x ? 1, y ? 1 ,且

1 1 ln x, , ln y 成等比数列,则 xy 的最小值是 4 4

A. 1 答案:C 解: 因为

B.

1 e

C. e

D. 2

1 1 1 ln x, , ln y 成等比数列,则 ln x ln y ? , 4 4 4

由 x ? 1, y ? 1 ,则 ln x ? 0,ln y ? 0, 所 以 ln? xy? ? ln x ? ln y ? 2 lnx ln y? 当 1, 且 仅 当 ln x ? ln y ? 等号 所以 xy ? e , xy 的最小值是 e 10. 已知函数 f ( x) ?

1 即 , x? y? 2

e时 取

ex ? m ,若对于任意 a, b, c ? R ,都有 f (a) ? f (b) ? f (c) 成立,则实数 ex ? 1
-3-

m 的取值范围是( ) 1 1 A. [ , 2] B. [0,1] C. [1, 2] D. [ ,1] 2 2 答案:A 解: 由题意可得 f (a) ? f (b) ? f (c) 对 ?a, b, c ? R 恒成立 因为 f ( x) ?

ex ? m m ?1 ?1? x x e ?1 e ?1

所以当 m ? 1 时函数 f ( x) 在 R 上是减函数,函数的值域为 ?1, m ? 故 f (a) ? f (b) ? 2, f (c) ? m,? m ? 2 (1) 当 m ? 1 时函数 f ( x) 在 R 上是增函数,函数的值域为 ? m,1? 故 f (a) ? f (b) ? 2m, f (c) ? 1,?2m ? 1, m ? 由(1)(2)知

1 2

(2)

1 ?m?2 2
A ??R
则实数 a 的取值范围 ? B? ,R

二、 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已 知 集 合 A ? ? x| x? ? a , B? | 1 ? x?? 2且 , ? x 是 . 答案: a ? 2 解析: ?R B ? ?x ? 1或x ? 2? ,且 A 12. 数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?
1 3

??R B? ? R ,由图 a ? 2
.

2an , ? n ? N + ? ,则 a5 ? an ? 2

答案:

解: a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? 13. 已知 tan ? ? ?

2 3

1 2

2 5

1 3
.

? ?

?? 1

? ? , ? ? ? 0, ? ? ,则 sin ? = 4? 3

答案:

5 5

解: tan ? ? ?

? ?

?? 1

tan ? ? 1 1 1 5 ? ? tan ? ? ? ,又 ? ? ? 0, ? ? ,则 sin ? = ?? ? 4 ? 3 1 ? tan ? 3 2 5
-4-

14. 平面向量 a, b, e 满足 e ? 1 , a e ? 1, b e ? 2, a ? b ? 2 ,则向量 a ? b 与 e 的夹角为 答案:

2? 3

?1 , b ? e 2? 解 : a e e ?1
所以 cos a ? b, e ? ?

?

a ?

?

b ? e 1?, ? a ? b c e o s

? a , 又 b ? e ? 1,

a , ?

b ? 2

1 2? , a ? b, e ? ? 0, ? ? ,故向量 a ? b 与 e 的夹角为 2 3

15. 设函数 f ?x? ? x x ? a 的图象与函数 g ?x? ? x ? 1 的图象有三个不同的交点,则 a
8

的范围是
答案: ?1,???
6

.
8

解:当 a ? 0 时.图象如下图一, 当 a ? 0 时.图象如下图二,据图知 f ( x), g ( x) 的图象有三个不
4
6

同交点,则满足 a ? 1
4

2
2

a
5
15 10

1
5

5

10

15
5 10 15

1

a

2

2

图一 4

图二
6

4

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 6 16. (本小题满分 12 分) 在正项等比数列 ?an ? 中, 公比 q ? ? 0,1? ,且满足 a3 ? 2 , a1a3 ? 2a2 a4 ? a3a5 ? 25 . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ? log 2 an ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 S n ,当
8
8

S S1 S 2 ? ? ? ? ? ? n 取最大值时,求 1 2 n

n 的值.
解: ? a1a3 ? 2a2 a4 ? a3 a5 ? 25 ,

? a2 ? 2a2 a4 ? a4 ? ?a2 ? a4 ? ? 25 ,
2 2 2

? ?an ?是正项等比数列,
-5-

? a2 ? a4 ? 5 ,

? a3 ? 2 ,
2 1 ? ? 2q ? 5,? 0 ? q ? 1,? q ? . q 2

?1? ? a n ? a3 ? ? ? ?2?

n ?1

? 2 4? n .
n (7 ? n ) S n 7 ? n , ? , 2 n 2

(2) bn ? log2 a n ? 4 ? n, S n ?
Sn Sn?1 1 ? ?? n n ?1 2

1 ?S ? ? 数列 ? n ? 是公差为 ? 首项为3的等差数列 ,且为递减数列 2 ?n?

当 n ? 7,

Sn S S S ? 0,? n ? 6或7, 当 1 ? 2 ? ? ? ? ? n 取最大值时, n ? 6或7 1 2 n n

17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c . 已知 a ? 3 , cos A ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

? 6 B ? A? . , 2 3

? 6? 3 解: (Ⅰ)因 0 ? A ? ? ,故 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? . … ………2 分 ? 3 ? ? ? 3 ? ?
2

2

因B ? A?

?
2

, 故s i n B? s i n

?? ? c o s ? ? A? ? 2? ?

A?

6 . 3

… ……………………4 分

a sin B a b ? ? 由正弦定理 ,得 b ? sin A sin B sin A

3?

6 3 ? 3 2 . … …………………6 分 3 3

-6-

(Ⅱ) cos B ? cos ? A ?

? ?

??

3 . ? ? ? sin A ? ? 2? 3

…………………8 分

sin C ? sin ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 ? 3? 6 6 1 ?? ? ? ? ? . ? ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3

… ……………10 分

则 ?ABC 的面积为

1 1 1 3 2 . ab sin C ? ? 3 ? 3 2 ? ? 2 2 3 2

… …………………12 分

18. (本小题满分 12 分) ?y ? 0 ?y ? x ? 设约束条件 ? 所确定的平面区域为 D . ?y ? 2 ? x ? ?t ? x ? t ? 1(0 ? t ? 1) (1)记平面区域 D 的面积为 S=f(t),试求 f(t)的表达式. ( 2 ) 设 向 量 a ? ?1, ?1? , b ? ? 2, ?1? , Q ? x, y ? 在 平 面 区 域 D ( 含 边 界 ) 上 ,

OQ ? ma ? nb, (m, n ? R) ,当面积 S 取到最大值时,用 x, y 表示 m ? 3n ,并求 m ? 3n
的最大值. 解: (1)由约束条件所确定的平面区域是五边形 ABCEP,如图所示,其面积 S=f(t) =S△OPD-S△AOB-S△ECD, 1 而 S△OPD= ×1×2=1. 2 1 1 S△OAB= t2,S△ECD= (1-t)2, 2 2 1 1 1 所以 S=f(t)=1- t2- (1-t)2=-t2+t+ . 2 2 2

? x ? m ? 2n (2)由 OQ ? ma ? nb 得 ? x, y ? ? m ?1, ?1? ? n ? 2, ?1? , 所以 ? ? 2 x ? y ? m ? 3n ? y ? ?m ? n
1 1 ?3 1? S=f(t)=-t2+t+ , 0 ? t ? 1 则当 t ? 时面积 S 取到最大值. 点 E 坐标为 ? , ? 2 2 ?2 2?

-7-

7 ?3 1? 由线性规划知识,直线 z ? 2 x ? y 经过可行域中点 E ? , ? 时 2 x ? y 取到最大值 ,所以 2 2 2 ? ?
m ? 3n 的最大值也为

7 2

19. (本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ?

x?

1 1 1 1 ? x ? ? 1及g ( x) ? x ? ? x ? ?1 x x x x

(1)求 f ( x) 的最小值和 g ( x) 的最大值; (2)若 a ?

x 2 ? x ? 1, b ? t x , c ? x ? 1 ,问是否存在满足下列条件的正数 t,使得

对于任意的正数 x, a , b, c 都可以成为某个三角形三边的长?若存在,则求出 t 的取值范围; 若不存在,请说明理由. 【解析】 : (1) f ( x) g ( x) ? ( x ?

1 2 1 ) ? ( x ? ? 1) ? 1 …………………………(2 分) x x

由于 x ?

1 1 ? 2,当x ? 1时等号成立. 又x ? ? 2 , x x



1 x ? ? 1 ? 3 ,当 x=1 时等号成立. ……………………………………………(4 分) x

故 x?

1 1 ? x ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3. 即 x=1 时,f(x)的最小值 2 ? 3 . x x

…………………………………………………………………………………………(6 分) 又 f ( x) ? g ( x) ? 1, ? g ( x) ?

1 ? 2? 3 . f ( x)

故 x ? 1 时,g(x)的最大值 2 ? 3 ..…………………………………………………(8 分) (2)∵ a ?

x2 ? x ? 1 ? x ? 1 ? c ,

2 ? ? x ? x ?1 ? t x ? x ?1 ∴若能构成三角形,只需 ? 2 ? ? x ? x ? 1 ? ( x ? 1) ? t x

-8-

? 1 1 ? x ? ?1 ?t ? x ? x x ? ?? 对 x ? R? 恒成立.…………………………………(10 分) 1 1 ?t ? x ? ? x ? ?1 ? x x ?

?t ? [ g ( x)]max ?? ?t ? [ f ( x)]min
由(1)知

f ( x)min ? f (1) ? 2 ? 3

?t ? 2 ? 3 ……………………………(11 分)

g ( x)max ? 2 ? 3

?t ? 2 ? 3 …………………………………………………(12 分)

综上,存在 t ? (2 ? 3, 2 ? 3) 满足题设条件. ……………………………………(13 分)

20. (本小题满分 13 分)

若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n 都有 6Sn ? 1 ? 2an .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? (?1)n ?1

4 ? n ? 1? ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn log 1 an ? log 1 an?1
2 2

解:(1)由 6S1 ? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 由 6Sn ? 1 ? 2an ……①,

1 . 8

…………2 分

当 n ? 2 时,有 6Sn?1 ? 1 ? 2an?1 ……②, ①-②得:

…………3 分 …………4 分

an 1 ? , an ?1 4

1 1 ? 数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 4 8

…………5 分

? an ? a1q

n ?1

1 ?1? ? ?? ? 8 ? 4?

n ?1

?1? ?? ? ? 2?

2 n ?1


2 n ?1

…………6 分

?1? (2)由(1)知 log 1 an ? log 1 ? ? 2 2 ?2?

? 2n ? 1.…………7 分

-9-

bn ? (?1)n?1

4 ? n ? 1? 4 ? n ? 1? ? (?1)n?1 log 1 an ? log 1 an?1 (2n ? 1) ? (2n ? 3)
2 2

所以 bn ? (?1)n ?1 ?

1 ? ? 1 ? ? …………9 分 ? 2n ? 1 2 n ? 3 ? ?1 1? ?1 1? ? ?? ?3 5? ?5 7? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?? ? ? ? ?? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 3 ?

当 n 为偶数时, Tn ? ? ? ? ? ?

?

1 1 ? …………11 分 3 2n ? 3

当 n 为奇数时, Tn ? ? ? ? ? ?

?1 1? ?1 1? ? ?? ?3 5? ?5 7?

1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?? ? ? ??? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 3 ?

?

1 1 ? 3 2n ? 3

1 ?1 ? ,n为奇数 ? ? 3 2n ? 3 T ?? 所以 n …………13 分 ? 1 ? 1 , n为偶数 ? 3 2n ? 3 ?
21. (本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x) ? x2 ? ln( x ? a) ,其中 a 为常数. (1)讨论函数 g ( x) 的单调性; (2) 若 g ? x ? 存 在 两 个 极 值 点 x1 , x2 , 求 证 : 无 论 实 数 a 取 什 么 值 都 有

g ? x1 ? ? g ? x2 ? ?x ?x ? ? g? 1 2 ?, 2 ? 2 ?

解: (1)函数的定义域为 ? ?a, ?? ?

g ?( x) ? 2 x ?

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 2 2 ? ,记 h( x) ? 2 x ? 2ax ? 1,判别式 ? ? 4a ? 8 x?a x?a

2 ①当 ? ? 4a ? 8 ? 0, 即 ? 2 ? a ?

2 时, h( x) ? 0 恒成立, g? ? x ? ? 0
- 10 -

所以 g ( x) 在区间 ? ?a, ?? ? 上单调递增 ②当 a ? ? 2或a ? 记 x1 ?

2 时,方程 2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实数根 x1 , x2

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 显然 x1 ? x2 , x2 ? 2 2
a ?0, h(?a) ? h(0) ? 1 ? 0 2

(i) 若 a ? ? 2 , h( x) ? 2 x2 ? 2ax ? 1图象的对称轴 x ? ?

两根 x1 , x2 在区间 ? 0, ?a ? 可知当 x ? ?a 时函数 h( x) 单调递增, h( x) ? h(?a) ? 0 ,所以

g? ? x ? ? 0
所以 g ( x) 在区间 ? ?a, ?? ? 上单调递增 ( ii ) 若

a a ? 2 , 则 h( x) ? 2x2 ? 2ax ? 1 图 象 的 对 称 轴 x ? ? 2

0 ? ,

h(?a) ? h(0) ? 1 ? 0 ,所以 ?a ? x1 ? x2 ,
当 x1 ? x ? x2 时, h( x) ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 ? x1 , x2 ? 上单调递减 当 ?a ? x ? x1或x ? x2 时, h( x) ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 ? ?a, x1 ? , ? x2 , ??? 上 单调递增 综上,当 a ?

2 时 g ( x) 在区间 ? ?a, ?? ? 上单调递增

? ?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 ? , 当 a ? 2 时 g ( x) 在 ? ? 上 单 调 递 减 , 在 ? ? 2 2 ? ? ? ? ?a ? a 2 ? 2 ? ? ?a ? a 2 ? 2 , ?? ? 上单调递增 ? ? a, ? ,? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?
(2)由(1)知当 a ? 当a ?

2 时, g ( x) 没有极值点,
1 2

2 时, g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ? ?a, x1 x2 ?

- 11 -

g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? x12 ? ln( x1 ? a ) ? x2 2 ? ln( x2 ? a )
2 =? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ln ? ? x1 x2 ? a ? x1 ? x2 ? ? a ? ? 2

? a 2 ? 1 ? ln 2

?

g ? x1 ? ? g ? x2 ? a 2 ? 1 ? ln 2 ? , 2 2 a a2 a ?x ?x ? 又g ? 1 2 ? ? g (? ) ? ? ln 2 4 2 ? 2 ?
2 2 g ? x1 ? ? g ? x2 ? a ? a2 1 ln 2 ? x1 ? x2 ? a ? 1 ? ln 2 ? a ?g? ? ? ? ln ? ? ? ln a ? ? ?? 2 2 2? 4 2 2 ? 2 ? ? 4

记 h( a ) ? 则 h?(a ) ?

a2 1 ln 2 ? ln a ? ? ,a ? 2 4 2 2
a 1 a2 ? 2 ? ? ?0 2 a 2a

所以 h(a) 在 a ?

所以 h(a) ? 0 所以

2 时单调递增 2 1 ln 2 h( 2) ? ? ln 2 ? ? ?0 4 2 2

g ? x1 ? ? g ? x2 ? ?x ?x ? ? g? 1 2 ? 2 ? 2 ?

- 12 -


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