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21数列的概念与简单表示法(共42张PPT)_图文

2.1 数列的概念与简单表示法

09:48

1

童谣
一只青蛙,一张嘴 ,两只眼睛,四条腿; 两只青蛙,两张嘴 ,四只眼睛,八条腿; 三只青蛙,三张嘴 ,六只眼睛,十二条腿。

青蛙



眼睛



1
2 3 4
……
09:48

1
2 3 4
……

2
4 6 8
……

4
8 12 16
……
2

甲乙两位赌王打赌,约定如下:

(1)赌王甲第一天给赌王乙1元钱,第二天给 3元,第三天给五元,第四天给7元,按照这个 规律付下去。
(2)赌王乙第一天给赌王甲1分钱,第二天给 2分,第三天给4分,第四天给8分,按照这个 规律付下去。 问题:你能写出付款规律吗?
两位赌王的付款数按顺序依次排列如下 1, 3, 5, 7, 9, · · ·
1, 2,22,23,24 · · · 09:48

(1)单位:元
(2)单位:分
3

传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经 常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上 画点或用小石子来表示数字.

1,3,6,10

09:48

由于这些数可以用三角形点阵表 示,故称其为三角形数.

4

1,4,9,16 因为这些数能够表示成正方形, 故称为正方形数.
09:48 5

1,1,2,3,5,8,13,……

斐波那契
(Fibonacci;1170 ? 1250 )

《算盘书》
1202.

09:48

6

(1)1,3,6,10,…
(2)1,2,4,8,16,… (3)1740,1823,1906,1989,…

(4)2,4,8,16,32,…
观察上面4个例子它们有什么共同特点? 特点:1、均是一列数, 2、有一定次序.
09:48 7

数列的定义
按照一定的次序排列的一列数叫做数列。

数列中的每一个数叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的第1项(首项),第 2项,· · · · · · ,第n项, · · · · · ·
09:48 8

(1) 1,3,5,7是一个数列, 7,5,3,1也是一个数列, 这两个数列是不是同一个数列呢? 不是。数列中的数是有先后次序的,两个数列即使所含的数完全相同, 只要排列的次序不同,就是两个不同的数列。

(2)-1,1,-1,1,-1,1.是不是一个数列呢? 数列中的数只要求按一定次序排列,并没有规定数列中的数必须不同,同 一个数可以在数列中重复出现。

09:48

9

[注 意 ]
数列与数集是两个不同的概念. 数集 中的元素具有无序性和互异性,而 数列中的数是按一定的次序排列的. 并且数列中可以有相同的数.

09:48

10

数列的分类 1、根据数列项数是否有限分类: 项数有限的数列叫做有穷数列, 项数无限的数列叫做无穷数列.

2、根据数列各项的变化趋势分类
递增数列、递减数列、

摆动数列、常数数列.
09:48 11

递增数列: 从第2项起,每一项都大于它的 前一项的数列; 递减数列:从第2项起,每一项都小于它的 前一项的数列; 摆动数列: 从第2项起,有些项大于它的前 一项,有些项小于它的前一项的数列; 常数列: 各项都相等的数列.
09:48 12

数列的一般形式可以写成:

a1 , a2 , a3 ,?, an ,?
其中右下标n表示项的位置序号

2,4,8, 16,32 a1 a2 a3 a4 a5

上面的数列又可简记为{an }
09:48 13

{an }与an之间有何区别?
[注 意 ]
{an}与an是两个不同的概念.

{an}表示数列a1,a2,a3,……而an 表示的是数列{an}的第n项.
09:48 14

如何用数学式子表示递增数列、递减数列 和常数列?

递增数列: an?1 ? an , n ? N
递减数列: 常数列:
09:48

*

an?1 ? an , n ? N

*

an ? c(n ? 1,2,3,??)
15

问题

数列 1, 2, 2 , 2 , ?, 2 .
(1)请你写出数列的第7项,第36项吗? (2)32是该数列的项吗? 有何启迪? 在数列中,由项的序号就可以找到项;

2

3

63

由项就可以了解该项在数列中的位置,即知道该项的序号。

数列中的每一个项都对应着一个序号,反过来,每个 序号也都对应着一个项。
09:48 16

数列与函数 对于数列中的每个序号n,都有唯一 的一个数(项)an与之对应. 项数n 1
2 3 4 …… 64

(自变量) (函数值)

项 a n 1 2 2 2 23

……

263

可以认为:
09:48

an ? f (n)
17

1,2,2 , 2 ,?, 2

2

3

63

由此可见,序号与项构成了一个重要的关系

——函数(数列是一种特殊的函数)。
其中自变量是序号;自变量的取值范围是正整 数集(或它的有限子集{1,2,3,……,n}) 在上面数列中,你能表示项an与项的序号n之间 的关系吗?

an ? 2
09:48

n ?1
18

数列通项公式 数列的项数n与项an之间的关系如果可以 用一个公式表示,那么这个公式叫做这个数 列的通项公式。

通项公式就是an与n之间的函数关系式
如:数列 2, 4, 6, … …

an ? 2n
1 an ? n
19

1 1 1 1 如:数列 1, , , , , … 2 3 4 5
09:48

观察下列数列, 写出它们的通项公式:

(1) 1, 2, 2 , 2 , ?, 2 ;
1 1 1 1 ( 2) 1, , , , , ? 2 3 4 5

2

3

63

(3) 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ?
09:48 20

[注 意 ]
1. 并不是所有的数列都有通项; 2. 数列的通项可以有不同的形式;

3. 数列的通项实际上就是相应函数
的解析式an= f(n), 但这是一类特

殊的函数.
09:48 21

例 写出数列的一个通项公式,使 它的前4项分别是下列各数: (1)1,3,5,7;
解:此数列的前四项1,3,5,7都 是序号的2倍减去1,所以通项公式 是:

an ? 2n ? 1
09:48 22

( 2)

2 ?1 3 ?1 4 ?1 5 ?1 , , , ; 2 3 4 5
2 2 2 2

解:此数列的前四项的分母都
是序号加1,分子都是分母的平方减 去1,所以通项公式是:

an
09:48

? n ? 1? ?

? 1 n?n ? 2 ? ? n ?1 n ?1
2
23

( 3)

1 1 1 1 , , , . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5

解:此数列的前4项的值都等于序
号与序号加上1的积的倒数,所以通项公 式是:

1 an ? n?n ? 1?
09:48 24

(4)-1,1,-1, 1,-1, 1,-1

解:此数列的绝对值都等于1,且
奇数项为负,偶数项为正,所以通项公 式是:

an ? ??1?
09:48

n

25

1 1 1 1 , ,? , . ( 5) ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5
解:此数列的前4项的绝对值都等
于序号与序号加上1的积的倒数,且奇数 项为负,偶数项为正,所以通项公式是:

? ? 1? an ? n ?n ? 1?
n
09:48 26

写出下面数列的一个通项公式,使它的前4 项分别是下列各数:

变式

1 1 1 (1) 1, ? ,, ? ; 2 3 4 (2) 2, 0, 2, 0;

an ? ( ?1)

n ?1

1 n
n ?1

an ? 1 ? (?1)

练习:课本31页 4
09:48 27

例2、图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三 角形,在下图4个三角形中,着色三角形的个数依次 构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项 公式,并在直角坐标系中画出它的图象。

09:48

28

an 30 27 24 21 18 15

an ? 3

n ?1

数列用图象表示时,是一群孤立的点

12
9 6 3

o 09:48

1

2

3

4

5

n

29

练习:课本33页 5

09:48

30

14.根据下列5个图形及相应点的个数的 变化规律,试猜测第n个图中有多少个点.

1+n(n-1)=n2-n+1.

09:48

31

答案 4,7,10,15

09:48

32

问题:如果一个数列{an}的首项a1=1,从第二项 起每一项等于它的前一项的2倍再加1, 你能写出这个数列的前三项吗? an = 2 an-1 + 1(n∈N,n>1) 像上述问题中给出数列的方法叫做递推法,其中 an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公式也是数 列的一种表示方法。 数列的第n项an与它前面相邻一项an-1 (或相邻几项)所满足的关系式叫递推公式; 给出数列的前几项(初始值)和递推公式 的数列叫递推数列。
09:48 33

例3 设数列{an}满足

写出这个数列的前五项。
09:48

练习:课本31页 2
34

1.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是( ) A.递增数列 B.递减数 列 C.常数项 D.不能确 定
答案 A

09:48

35

答案

B

09:48

36

8.已知数列{an}满足:a1=a2=1,an+2= an+1+an,(n∈N*),则使an>100的n的最小 值是________.

答案

12

09:48

37

2.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是( A.an+1=an+n,n∈N* B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2 C.an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2 D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2

)

答案

B

09:48

38

09:48

39

09:48

40

以上各式累加得,an- a1

09:48

41


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