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广东省清远市2014-2015学年高二上学期期末教学质量检测数学文试题 Word版含答案


清远市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高二文科数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知全集 U ? R ,集合 ? ? ? x ?2 ? x ? 3? , ? ? ? x x ? 4或x ? ?1? ,那么 ? ? ? ( ) B.? x ?2 ? x ? ?1? C.? x x ? 3或x ? 4? D.? x ?1 ? x ? 3? ) A.? x ?2 ? x ? 4?

2、已知命题 p : 3 ? 2 ,命题 q : 3 ? 2 ,则下列判断正确的是( A. “ ? p ”为真命题 C. “ p ? q ”为假命题 B. “ ? q ”为真命题 D. “ p ? q ”为真命题

3、用一个平面去截一个几何体,得到的截面是圆面,这个几何体不可能是( A.圆锥 B.圆柱 ) C.120 ) C. 2 ) C.球



D.棱锥

4、直线 y ? 3x ? 5 ? 0 的倾斜角是( A.30 B.60

D.150

5、已知函数 f ? x ? ? x ? ln x ,则 f ? ?1? 的值为( A.1 B. ?1

D. ?2

6、已知空间两点 ?1 ? ?1,0, 2? , ?2 ? 0,3,1? ,此两点间的距离为( A. 11 B. 19 C.19 )

D.11

1 x2 y 2 ? 1 的离心率为 ”的( 7、 “ m ? 3 ”是“椭圆 ? 2 4 m

A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 8、已知双曲线 2 ? y 2 ? 1( a ? 0 )的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点重合,则此双 a

曲线的渐近线方程是( A.y ? ? 5x

) B.y ? ?

5 x 5

C.y ? ? 3 x

D.y ? ?

3 x 3

第 1 页 共 9 页

9、将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何 体的左视图为( )

A.

B.

C.

D. )

10、右图 3 是函数 y ? f ? x ? 的导函数的图象,则正确的判断是( A. f ? x ? 在 ? ?2,1? 上是增函数 B. x ? 1 是 f ? x ? 的极大值点 C. f ? x ? 在 ? ?1, 2? 上是增函数,在 ? 2, 4 ? 上是减函数 D. x ? 3 是 f ? x ? 的极小值点 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11、过点 ?1, 2 ? 且与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线的方程是 12、命题“ ?x ? R , x 2 ? 0 ”的否定是 .



13、如图 4 ,一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图 是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则该几何体的 体积是 . 图4

14、椭圆 4 x2 ? 9 y 2 ? 144 内有一点 ? ? 3, 2 ? ,过点 ? 的弦恰好以 ? 为中点,那么这条弦 所在直线的斜率为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 15、 (本小题满分 12 分)已知命题 p : x2 ? x ? 6 , q : x ? ? ,若“ p ? q ”与“ ? q ” 同时为假,求 x 的值.

第 2 页 共 9 页

? ? ? 16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? ? , x ? R . ? 12 ? ?? ?1? 求 f ? ? ? 的值; ?4? 4 ?? ? ? ?. ? 2 ? 若 cos ? ? ,且 ? 是 ???C 的内角,求 f ? ? 5 6? ?

2 , ???D 是边长 2 为 1 的正方形, ?? ? 底面 ?? C ,若 G 、 F 分别是 ? C 、 ?D 的中点. ?1? 求证: GF// 平面 ??C ;
17、 (本小题满分 14 分)如图 5 ,三角形 ?? C 中, ?C ? ?C ?

? 2 ? 求三棱锥 ? ? ??C 的体积.

图5

18、 (本小题满分 14 分)已知圆 C 过原点,圆心在射线 y ? 2 x ( x ? 0 )上,半径为

5. ?1? 求圆 C 的方程;

? 2 ? 直线 l 过点 ? ?1,5? 且被圆 C 截得的弦长最大,求直线 l 的一般式方程.

第 3 页 共 9 页

19、 (本小题满分 14 分)已知点 ? ?1,0? 和直线 l : x ? ?1 ,坐标平面内一动点 ? 到 ? 的距离等于其到直线 l : x ? ?1 的距离. ?1? 求动点 ? 的轨迹方程;

? 2 ? 若点 ? ? t, 4? 是动点 ? 的轨迹上的一点, ? ? m,0? 是 x 轴上的一动点,问 m 取何值 2 时,直线 ?? 与圆 x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 相离.

20、 (本小题满分 14 分)已知 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 2 .

?1? 若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ? x? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程; ? 2 ? 若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的单调区间; ? 3? 若不等式 2x ln x ? f ? ? x ? ? a2 ?1恒成立,求实数 a 的取值范围.

第 4 页 共 9 页

清远市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高二文科数学试卷参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D 9 B 10 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 11.x ? y ? 3 ? 0 12.?x ? R ,x ? 0
2

13.

4 3 3

14.?

2 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解: p:x ? x ? 6 ? 0,? x ? 3或x ? ?2 ,????????????????4 分
2

∵“ q ”为假,∴ q 真, ??????????????6 分 又∵“ ??????????????8 分 p ? q ”为假,? p假,

?

即?

?? 2 ? x ? 3 ,???????? 10 分 ? x??

? x ? ?1,0,1,2 ???????12 分
16.解(1) f(x) ? sin(

?

4 12 4 (2)因为 cos ? ? ,且? 是△ABC 的内角, 5
? ? ?
????7 分

?

?

), ??2 分

? ??3 分 6 3 所以 sin ? ? ,??6 分 5
= sin

=

1 ??4 分 2

f (? - ) ? sin(? ? ? ) 6 6 12 ? sin (? ? ) 4 ? sin ? cos

?

????8 分

????10 分 ? cos ? sin 4 4 3 2 4 2 ? ? ? ? ????11 分 5 2 5 2 2 ?? ?????? 12 分. 10 17、解(1) :取 BC 的中点 M,AB 的中点 N,连结 GM、FN、MN
第 5 页 共 9 页

?

?

??1 分

∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点 ∴ GM // BE, 且GM ? 2 BE,………3 分
NF // DA, 且NF ? 1 DA 2 1

又∵ADEB 为正方形 ∴BE//AD,BE=AD ∴GM//NF 且 GM=NF ………4 分 ∴MNFG 为平行四边形………5 分 ∴GF//MN,………6 分 又 MN ? 平面 ABC, GF ? 平面ABC ∴GF//平面 ABC………7 分 方法 2:连接 EA ????1 分 ∵ADEB 为正方形,F 是 BD 的中点 ∴EA 交 BD 于点 F ????3 分 ∴AF=FE(或者 F 为 AE 的中点) ??4 分 ∵EG=GC(或者 G 为 CE 的中点) ∴GF//AC, ????5 分 又 AC ? 平面 ABC,

GF ? 平面ABC

∴GF//平面 ABC

??7 分

方法 3: (利用面面平行略) (2)BE⊥底面 ABC ∴BE 是三棱锥 E—ABC 的高且 BE=1 ∴VB—AEC=VE—ABC ………………12 分

………………9 分

?

1 S△ ABC ? BE ? 3

1?1 2 2? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3? 2 2 2 ? 12
2

………………14 分

方法 2: (以 AC 为高 略) 18.解: (1)设圆 C 的方程为: ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 ……………………..(1 分)
2

? b ? 2a ? 2 2 ?a ? b ? 5 由题意知: ? ? a?0

,…………..(4 分)

解得 a ? 1, b ? 2 ……………………..(6 分)

? 圆 C 的方程为: ?x ?1? ? ? y ? 2? ? 5 ……………………..(7 分)
2 2

(2)由题意可知直线 l 过圆 C 的圆心时截得的弦最长……………………..(9 分) ∴直线 l 过圆心 C(1,2)……………………..(10 分)

又∵直线 l 过 P(1,5) ,∴直线 l 的斜率 k 不存在(12 分)
第 6 页 共 9 页

∴直线 l 方程为 x -1=0…………………..(14 分) 19.解: (1)设 P ( x, y ) ,则点 P 到 l 的距离| x ? 1 |, | PN |? 由题意得,| x ? 1 | =
( x ? 1) 2 ? y 2 ,????????3 分

( x ? 1) 2 ? y 2 ????2 分

化简得 y 2 ? 4 x .所以动点 P 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x .??????????????5 分 解法 2:由题得点 P 的轨迹是以点 N 为焦点,直线 l 为准线的抛物线????2 分 ∴设 P 的轨迹方程为 y 2 ? 2 px ,????3 分 ∴ p=2,????4 分 所以动点 P 的轨迹方程为 y ? 4 x .??????????????5 分
2
2 (2)由 A ? t , 4 ? 在轨迹 y 2 ? 4 x 上,则 4 ? 4t ,解得 t ? 4 ,即 A ? 4, 4? .???6 分

当 m ? 4 时,直线 AK 的方程为 x ? 4 ,此时直线 AK 与圆 x ? ( y ? 2) ? 4 相离.?7 分
2 2

当 m ? 4 时,直线 AK 的方程为 y ?
2 2

4 ( x ? m) ,即 4 x ? (m ? 4) y ? 4m ? 0 .??8 分 4?m

圆 x ? ( y ? 2) ? 4 的圆心 (0, 2) 到直线 AK 的距离 d ?

2m ? 8 16 ? (m ? 4)
2

,????10 分

令d ?

2m ? 8 16 ? (m ? 4)2

? 2 , ????11 分
2

解得 m ? 1 .????13 分

综上所述, 当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 x ? ( y ? 2) ? 4 相离.??????????14 分
2

20.解: (1)∵ a ? 1 ∴ f ?( x) ? 3x ? 2 x ? 1
2

∴ f ( x) ? x ? x ? x ? 2
3 2

?????????????1 分

∴ k ? f ?(1) ? 4 ???????????????2 分 又 f (1) ? 3 ,所以切点坐标为 (1,3) ????????????????3 分 ∴ 所求切线方程为 y ? 3 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 1 ? 0 .
2 2

????4 分

(2) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? ( x ? a)(3x ? a) ??????????????5 分

第 7 页 共 9 页

a ??????????????????6 分 3 a ① 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 , 得 ? a ? x ? . 3 a 由 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ?a 或 x ? 3 a a 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ?? ) ??7 分 3 3 a ② 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ? a . 3 a 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ?a 3 a a 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ? a ) ,单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) ?8 分 3 3
由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a 或 x ? ∴综上所述: 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ?? ) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ? a ) 单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) .9 分 (3)依题意 x ? (0,??) ,不等式 2 x ln x ? f ?( x) ? a ? 1 恒成立, 等价于
2

a 3

a 3

a 3

a 3

2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立????????????10 分

3 1 x? 在 (0, ??) 上恒成立????????????11 分 2 2x 3x 1 ? 设 h? x ? ? ln x ? , 则 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? ????????????????12 分 1 3 1 h ' ?x ? ? ? ? 2 ? ? x 2 2x 2x 2 1 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1, x ? - (舍) 3
可得 a ? ln x ? 当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 当 x 变化时, h?( x), h( x) 变化情况如下表:

x
h?( x)

(0,1)
+

1
0

(1,??)
-

第 8 页 共 9 页

h( x )

单调递增

-2

单调递减

????????????????????????????????13 分 ∴ 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2 ∴ a 的取值范围是 ?? 2,??? .

? a ? ?2

????????????14 分

第 9 页 共 9 页


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