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江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第三次检测(理数)


江西省南昌市第二中学 2016 届高三上学期第三次检测

数学(理科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知复数 z ? 3 ? A. 3 ? i

3 ? 4i ,则 z ? 4 ? 3i B. 2 ? 3i

( C. 3 ? i

) D. 2 ? 3i

2.已知条件 p: | x ? 4 | ? 6 ;条件 q: ( x ?1)2 ? m2 ? 0 (m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不必要 条件,则 m 的取值范围是 A . [21,+∞) B. [9,+∞) ( C.[19,+∞) ) D.(0,+∞) ) D.

3.在△ABC 中,若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A.

??? ?

????

????

? 1 ???? 2 ??? AC ? AB 3 3

B.

? 2 ???? 5 ??? AB ? AC 3 3

C.

? 2 ???? 1 ??? AC ? AB 3 3

? 2 ???? 1 ??? AC ? AB 3 3

4.设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 A. 11 B. 5 C.一 8

S5 = ( S2

) D.一 11

2 5. 等差数列{an}中, 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0,数列{bn}为等比数列,且 b7 ? a7 ,则 b6 b8 的

值为 A.4



) B.2 C.16 D.8 ( )

6.函数 y ?

2x 的图象大致为 ln x

7. 等差数列{ an }前 n 项和为 sn ,满足 S30 ? S60 ,则下列结论中正确的是( A . S45 是 Sn 中的最大值 C. S45 =0 B. S45 是 Sn 中的最小值 D . S90 =0



1

8.若 ? ? (

, ? ) ,且 3cos 2? ? 4sin( ? ? ) ,则 sin 2? 的值为( 4 4 7 7 1 A. B. ? C. ? 9 9 9

?

?

) D.

9.若函数 f ( x) ? a2 sin 2 x ? (a ? 2)cos 2 x 的图像关于直线 x ? ? ( A.2 ) B. 2 或 4 2 C. 4 2

?
8

1 9

, 则 f ( x ) 的最大值为 A D. 2 M C

10.如图所示,点 A,B,C 是圆 O 上三点,线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点 M,若

??? ? ??? ? ??? ? OC ? mOA ? nOB , (m ? 0, n ? 0) m ? n ? 2 ,则 ?AOB 的最小值为(
A.

O )

? 6

B.

? 3
2

C.

? 2

D.

2? 3

B

11. a 为参数,函数 f ( x) ? ( x ? a) ? 3x?2?a ? ( x ? a) ? 38? x?3a 是偶函数,则 a 可取值的集合 是 A. {0,5} B. { ? 2,5} C. { ? 5,2} ( ) D. {1,2015}

x2 12. 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 2) ? ,(a为常数且 a ? 0 ),若 f ( x) 在 x0 处取得极值, 2a
且 x0 ?[e ? 2, e2 ? 2] ,而 f (x) ?0 在 [ e ?2, e ? 2] 上恒成立,则 a 的取值范围(
2



A. a ? e ? 2e
4

2

B. a ? e ? 2e
4

2

C. a ? e ? 2e
2

D. a ? e ? 2e
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13.若 a , b 均为非零向量,且 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a , b 的夹角为 14.将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? 一半,纵坐标不变,再向右平移

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?



?
2

?? ?

?
2

) 图象上每一点的横坐标缩短为原来的


? ? 个单位长度得到 y ? sin x 的图象,则 f ( ) ? 6 4

15.已知函数 f ? x ? ? (2x ? a ?1)ln( x ? a ?1) 的定义域为 (?a ? 1, ??) , 若 f ? x ? ≥0 恒成 立,则 a 的值是 .

16.等比数列 {an } 的公比为 q ,其前 n 项的积为 Tn ,并且满足条件 a1 ? 1 ,

a99a100 ?1 ? 0 ,

a99 ? 1 ? 0 。给出下列结论:① 0 ? q ? 1 ;② a99 ? a101 ? 1 ? 0 ,③ T100 a100 ? 1
.

的值是 Tn 中最大的;④使 Tn ? 1 成立的最大自然数 n 等于 198。 其中正确的结论是

2

三、解答题: (70 分) 17. (本是满分 10 分) 已知等差数列 {an } 满足: a2 ? a4 ? 6 , a6 ? S3 ,其中 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 k ? N * ,且 ak , a3k , S2 k 成等比数列,求 k 的值。

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

? sin x ? a 2 sin( x ? ) ? 4 2sin( ? x) 2
5? 2 ] 时,函数 y = f(x)的最小值为 1 ? ,试确定常数 a 的 12 2

1 ? cos 2 x

?

(Ⅰ)求函数 y = f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ∈ [0, 值.

19. (本是满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A,B,C 的对边,且 4sin (Ⅰ)求 cosB; (Ⅱ)若 AB=2,点 D 是线段 AC 中点,且 的面积。
0 ,若角 B 大于 60 ,求△DBC
2

A?C 23 ? cos 2 B ? 2 9

3

20. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,AB=2BC=4,BF=CF=AE=DE,EF=2, EF//AB,AF⊥CF。 (Ⅰ)若 G 为 FC 的中点,证明:AF//平面 BDG; (Ⅱ)求平面 ABF 与平面 BCF 夹角的余弦值。 E F G D C

A

B

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足: a1 ? (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ?
2 3 an ? an ,求数列{ cn }的前 n 项和 Sn ? . 。 n 4 2 (1 ? 2an )(1 ? 3 an)

1 bn , an ? bn ? 1 , bn ?1 ? 。 2 4 1 ? an

22. (本小题满分 12 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? x 2 e1? x ? a( x ? 1) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 ( ,2) 上的单调区间; (Ⅱ) 设函数 g ( x) ? f ( x) ? a( x ?1 ? e
1? x

3 4

当 g ( x) 有两个极值点 x1、x2 ( x1 ? x2 ) 时, ),

总有 x2 g ( x1 ) ? ?f ?( x1 ) ,求实数 ? 的值.

4

数学(理科)参考答案
一.选择题:CBDDC DDCBD CB 二:填空题: 13.

? 1 3 ; 14. ; 15. ; 16.①②④ 3 3 2

三:解答题
17 解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由条件得

?a1 ? d ? a1 ? 3d ? 6 ?a1 ? 1 ?? ? an ? n ? ?d ? 1 ?a1 ? 5d ? 3a1 ? 3d n(n ? 1) 2 (Ⅱ)∵由(Ⅰ)易得 S n ? ,∵ a3 k ? ak ? S2 k 2
得 9k 2 ? k ? k (2k ? 1) 解得 k ? 4. 18. f ( x) ?

? sin x ? a 2 sin( x ? ) ? 4 2sin( ? x) 2

1 ? cos 2 x

?

?

2 cos2 x ? ? ? sin x ? a 2 sin(x ? ) ? sin x ? cos x ? a 2 sin(x ? ) 2 cos x 4 4
?
4 ) ? a 2 sin( x ?

? 2 sin( x ?
(1)由 x +

?
4

) ? ( 2 ? a 2 ) sin( x ?

?
4

)

? ? ? ∈[ 2k? - , 2k? + ] (k∈Z)得 4 2 2 3? ? x∈[ 2k? - , 2 k? + ] (k∈Z) 4 4 ? ? (k ? z ) ∵ sin( ? x) ? cos x ? 0 ∴ x ? k? ? 2 2
∴ 函数 y = f(x)的单调递增区间是 [ 2 k? -

? ? 3? ? , 2k? - )∪ ( 2k? - , 2k? + ] (k∈Z) .…9 分 4 4 2 2 5? ? ? 2? (2)当 x∈[0, ]时,x + ∈[ , ] 12 3 4 4
∴当 x +

? ? 2 2 2 2 ? 1? a = 时,函数 y = f(x)取得最小值为 ( 2 ? a ) ? 4 4 2 2
2 2 2 a =1 ? , 2 2
∴a=± 1 .

Z [] K -X

∴由已知得 1 ?

5

A?C 23 ? cos 2 B ? 及 A ? B ? C ? ? ,得 2 9 23 2[1 ? cos( A ? C )] ? 2 cos 2 B ? 1 ? , 9(1 ? cos B) ? 9cos2 B ? 2 ? 0 9 1 2 B? ∴ cos B ? 或 cos 3 3 1 ? (2)在△ABC 中,设 BC=a,∵ ?B ? 60 ,∴ cos B ? 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? BA ? BC ??? ?2 BA ? BC 2 BA ? BC ? 2BA ? BC ∵ BD ? ,∴ BD ? ( ) ? 2 2 4
19. (1)由 4sin
2



17 4 ? a 2 ? 4a cos ?ABC 2 ? ,∴ 3a ? 4a ? 39 ? 0 ,? a ? 3 即 BC=3, 4 4

由(1)得△ABC 的面积 S ?

1 2 2 2 2 ? 2 ? 3? ? 2 2 ,∴ S?DBC ? 2 3 3

20 解(Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 O 点,则 O 为 AC 的中点,连接 OG,点 G 为 FC 的中点, ∴OG//AF,∵AF ? 平面 BDG,OG ? 平面 BDC,∴AF//平面 BDG。 (Ⅱ)取 AD 的中点 M,BC 的中点 Q,连接 MQ,则 MQ//AB//EF,∴M,Q,F,E 共面。 作 FP⊥MQ 于 P,EN⊥MQ 于 N,则 EN//FP 且 EN=FP,连接 EM,FQ ∵AE=DE=BF=CF,AD=BC,∴△ADE≌△BCF,∴EM=FQ ∴△ENM≌△FPQ, ∴MN=PQ=1,∵BF=CF,Q 为 BC 的中点,∴BC⊥FQ 又 BC⊥MQ,FQ ? MQ=Q,∴BC⊥平面 MQEF, ∴PF⊥BC,∴PF⊥平面 ABCD 以 P 原点,PM 为 x 轴,PF 为 z 轴建立空间直角坐标系 则 A(3,1,0),B(-1,1,0),C(-1,-1,0),设 F (0,0, b) ,则 AF ? (?3, ?1, h) ,

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? CF ? (1,1, h) ,∵AF⊥CF,∴ AF ? CF ? 0 ,解得 h=2,
设平面 ABF 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , AF ? (?3, ?1, 2), BF ? (1, ?1, 2)

??

??? ?

??? ?

?? ??? ? ?? ? ?n1 ? AF ? 0 ??3x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ?? 由 ? ?? ??? 令 x1 ? 1 ,则 n1 ? (0,2,1) ? ? ?n1 ? BF ? 0 ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ?? ? 同理平面 BCF 的一个法向量为 n2 ? (?2,0,1)

z E F G

D M N O P B y Q

C

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 1 ? ? ∴ cos n1 , n2 ? ?? ?? ? . | n1 | ? | n2 | 5? 5 5
∴平面 ABF 与平面 BCF 夹角的余弦值为

x

1 。 5

A

6

21.解(Ⅰ)∵ b1 ?

3 bn bn 1 1 ; bn ?1 ? , an ? bn ? 1 ,∴ bn ?1 ? ? ? 2 2 4 1 ? an 1 ? an 1 ? an 2 ? bn

∴ bn ?1 ? 1 ?

b ?1 2 ? bn 1 1 1 ,∴ ?1 ? n ? ? ?1 2 ? bn 2 ? bn bn ?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1



1 1 1 ? ?1 ,∴ ? ? (?1) ? (n ? 1) ? ?4 ? n ? 1 ? ?n ? 3 bn ? 1 b1 ? 1 bn?1 ? 1 bn ? 1 1 ?
1 n?2 ? bn ? n?3 n?3
2 n

∴ bn ? 1 ? ?

1 ?1 an 1 an ? a ? (Ⅱ)∵ an ? 1 ? bn ? ,∴ cn ? n n?3 2 (1 ? 2an )(1 ? 3an ) 2n ( 1 ? 2)( 1 ? 3) an an

?

n?2 1 1 ? = n n ?1 (n ? 1) ? 2n n(n ? 1) ? 2 n ? 2
1 1 1 1 1 ? ? ? ? +…… 1 1 2 2 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 3 ? 2 4 ? 23

∴ Sn ? c1 ? c2 ? ??? ? cn ? 1 ?

?

1 1 1 1 3 ? ? 1? ? . =1 ? n ?1 n n n?2 (n ? 1) ? 2 (n ? 1) ? 2 2? 2 4

2 1? x 22. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x e ? ( x ? 1) ,

则 f ?( x) ?

2 x ? x 2 ? e x?1 ,令 h( x) ? 2x ? x 2 ? e x?1 ,则 h?( x) ? 2 ? 2x ? e x?1 . e x?1
3 4

易知 h?( x) 在 ( ,2) 上单调递减,又 h?( ) ?

3 4

1 1 ? ? 0, ? h?( x) ? 0. 2 4e

所以 h( x) 在 ( ,2) 上单调递减,又因为 h(1) ? 0 , 所以当 x ? ( ,1) 时, h( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x) 单调递增, 当 x ? (1,2) 时, h( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x) 单调递减.

3 4

3 4

1), ( 1,2) 所以 f ( x) 在 ( ,2) 上的增区间是( , 减区间是
(Ⅱ)由题可知 g ( x) ? ( x ? a)e
2
2

3 4

3 4

…… 4 分
1? x

1? x

,则 g ?( x) ? (? x ? 2 x ? a)e
2

.

根据题意方程 ? x ? 2 x ? a ? 0 有两个不等实数根 x1、x2 且 x1 ? x2 ,

7

令 ? ? 0 得 a ? ?1 ,且 x1 ? x2 ? 2 ,所以 x1 ? 1. 由 x2 g ( x1 ) ? ?f ?( x1 ) ,其中 f ?( x) ? (2 x ? x 2 )e1? x ? a ,
2 得 x2 ( x1 ? a)e 1? x1

? ?[(2x1 ? x12 )e1?x1 ? a].将 x2 ? 2 ? x1 , a ? x12 ? 2x1 代入左式得:

2x1 (2 ? x1 )e1?x1 ? ?[(2x1 ? x12 )e1?x1 ? (2x1 ? x12 )],整理得 x1[2e1?x1 ? ? (e1?x1 ? 1)] ? 0 .
即不等式 x1[2e
1? x1

? ? (e1?x1 ? 1)] ? 0 对任意 x1 ? (??,1) 恒成立.
②当 x1 ? (0,1) 时,即 ? ?

……7 分

①当 x1 ? 0 时,得 ? ? R.

2e1? x1 e1? x1 ? 1

2e1? x1 1 ? 2(1 ? 1? x1 ) ,易知 H ( x1 ) 是 (0,1) 上的减函数, 令 H ( x1 ) ? 1? x 1 e ?1 e ?1
所以 H ( x1 ) ? H (0) ?

2e 2e . ,所以 ? ? e ?1 e ?1

③当 x1 ? (??,0) 时,即 ? ?

2e1? x1 . e1? x1 ? 1

Z [] K -X

H ( x1 ) 在 (??,0) 上也是减函数, H ( x1 ) ? H (0) ?
综上所述 ? ?

2e 2e . ,所以 ? ? e ?1 e ?1
…… 12 分

2e . e ?1

8


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