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高中数学:2.3 等差数列的 前n项和(4)课件新课标人教A版必修5


2.3 等差数列的 项和( 前n项和(四)

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1.等差数列的定义特征 1.等差数列的定义特征 从第2项起, 从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数. 于同一个常数. 2.等差数列的递推公式 2.等差数列的递推公式
an-an-1 =d (n≥2). -

或an-1+an+1=2 an(n≥2).
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3.等差数列的通项公式 3.等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d=pn+q. - ) = - ) = + .

4.等差数列的前n 4.等差数列的前n项和公式 等差数列的前

n (a1 + a n ) n (n - 1)d Sn = = na1 + 2 2
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5.等差数列的主要性质 5.等差数列的主要性质 都是等差数列, (1)若数列{an}、{bn}都是等差数列, 若数列{a 则数列{pa +q}, 则数列{pan+q},{an+an+1},{xan+ybn}, 也是等差数列. 也是等差数列. (2) m+n=p+q am+an=ap+aq. + = +
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(3){an}是等差数列. 是等差数列.

an an 1 = d

n ≥ 2, 有 2an = an 1 + an +1
an = pn + q
S n = pn + qn
2

Sn 是等差数列. 是等差数列. n
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(5) 公差为d的等差数列 an }中依次每n项之和 { Sn,S2 n Sn , S3n S2 n ,L仍成等差数列, 公差为n d ;
2

S3n=3(S2n-Sn)

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( 6 ) 若等差数列的项数是 且 S偶 S奇

2 n ( n ∈ N * ), 则

S 2 n = n ( a n + a n + 1 )( a n , a n + 1为中间两项) S偶 a n +1 = nd , = . S奇 an

若等差数列的项数是

2 n ( n ∈ N * ), 则 1

S 2 n 1 = ( 2 n 1 ) a n ( a n 为中间项) , 且 S奇 S偶 S偶 n 1 = an , = . S奇 n
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的前n (7)设等差数列{an}、{bn}的前n项和 等差数列{a 分别为S 分别为Sn、Tn,则 an = S 2 n 1 bn T2 n 1

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(8)等差数列前 项和的最值问题有两种方法: 等差数列前n项和的最值问题有两种方法 等差数列前 项和的最值问题有两种方法: (1) 当an>0,d<0,前n项和有最大值. , < , 项和有最大值 项和有最大值 可由a , 的值; 可由 n≥0,且an+1 ≤0,求得 的值; ,求得n的值 + 项和有最小值 当an<0,d>0,前n项和有最小值 , > , 项和有最小值. 可由a , 的值. 可由 n≤0,且an+1≥0,求得 的值 ,求得n的值 +

d 2 d (2) 由 S n = n + (a1 )n 利用二次函 2 2 配方法求得最值时 的值. 求得最值时n的值 数配方法求得最值时 的值
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例题讲解

已知一个等差数列共有偶数项, 例1 已知一个等差数列共有偶数项, 其中偶数项之和为30 奇数项之和为24 30, 24, 其中偶数项之和为30,奇数项之和为24, 末项与首项之差为10.5 10.5, 末项与首项之差为10.5,求这个等差数 列的首项、公差和项数. 列的首项、公差和项数.
3 3 首项为 ,公差为 项数为8. , 项数为8. 2 2

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例题讲解

已知等差数列{a 的前n 例3 已知等差数列{an}的前n项和

S n = n - 20n ,求数列{|an|}的前n项 求数列{|a |}的前 的前n 和 Tn .

2

Tn = { 2

n + 20 n (1≤ n ≤10 )
2

n 20 n + 200 ( n ≥11)
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例题讲解

在等差数列{a 已知a 例4 在等差数列{an}中,已知a1=2, 的值. S10=0,求a11+a12+…+a20的值. 已知数列{a 满足a 例5 已知数列{an}满足a1=2, (n≥2), (an-2)2=8Sn-1(n≥2),且an>0, 求数列{a 的通项公式. 求数列{an}的通项公式. an=4n-2.
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400 9

练习1 练习1:已知在等差数列 {an } , = 23, a25 = 22, 中 a10

S n为其前n项和. 为其前n项和.
(1)问该数列从第几项开始为负? 问该数列从第几项开始为负? (2)求 S10 ; 的最小的正整数n. (3)求使 S n < 0 的最小的正整数n. 1 2 2 {a 的前n 练习2 练习2:已知数列{an }的前n项和为S n = n + n + 3
4 3

求这个数列的通项公式. 求这个数列的通项公式. {a n }的前n项和 S n = 100n n 2 (n ∈ N ) 练习3. 练习 .数列 (2)设 bn = a n , 求数列{bn } 的前n项和. (1) {a n } 是什么数列?

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课堂练习 1.已知两个等差数列 n}和 {bn}的前 项和分别 已知两个等差数列{a 和 的前n项和分别 已知两个等差数列 的前 an An 7 n + 45 为 = n + 3 ,则使得 bn 为整数 A 和B ,且Bn
n n

D

的正整数n的个数是( ) 的正整数 的个数是( 的个数是 A.2 . B.3 . C.4 . D.5 .

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2.已知等差数列{an}的前 项和为 n,若 已知等差数列{ 的前n项和为 项和为S 已知等差数列

uuu r uuur uuu r 、 、 三 OB=a1 OA+a 200 OC ,且A、B、C三
B. 101 C.200 D.201

A 点共线(该直线不过原点O) 点共线(该直线不过原点O),则S200=( ) A.100 .

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3.已知数列 n}和{bn}都是公差为 的等差 已知数列{a 和 都是公差为1的等差 已知数列 都是公差为 数列,其首项分别为 数列,其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5, , a1、b1∈N*.设cn= b n∈N*),则数列 . ( ∈ ) 则数列 n {cn}的前 项和等于( C ) 的前10项和等于 的前 项和等于( A.55 . B.70 . C.85 . D.100 .

a

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课后作业: 课后作业 补充作业

P46: A组6 组

B组1、3 组 、

1.已知等差数列 n}的前 项的和为 ,前2m项 已知等差数列{a 的前 项的和为30, 的前m项的和为 已知等差数列 项 的和为100,求数列的前 项的和。 项的和。 的和为 ,求数列的前3m项的和 2.有两个等差数列 n}{bn}且它们的前 项和为 n, 有两个等差数列{a 且它们的前n项和为 有两个等差数列 且它们的前 项和为S

S n 4n + 3 = Tn,若 T n 5n + 2

,求

a7 b7

3.若等差数列 n},an=4n-34, 若等差数列{a , 若等差数列 (1)求{|an|}的前 项和;(2)求{|an|}的前 项和Tn 求 的前10项和 求 的前n项和 的前 项和 的前 项和
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例题讲解
例4.求集合 M = {m m = 7 n , n ∈ N *且 m < 100 } 的元素个 . 并求这些元素的和. 数,并求这些元素的和 100 2 解:由7 n < 100 得 n < = 14 7 7 共有14个即 中共有14个元素 ∴正整数 n 共有 个即 M 中共有 个元素 7,14,21,…, 为首项, 即:7,14,21,…,98 是以 a1 = 7 为首项,
为末项的等差数列. 以 a14 = 98 为末项的等差数列 ∴

14 × (7 + 98) Sn = = 735 2

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