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安徽省江淮十校2015届高三8月联考试题 (数学理)


2015 届江淮十校 8 月联考理科数学试题及答案

数学(理科)试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,时间 120 分钟. 2.答题前,请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚.请考生按规定用笔将所有试题的答案 涂、写在答题卷上,在试题卷上作答无效. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 设集合 A ? ?x | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3? ,集合 B ? x y ? lg ? x ? 1? ,则 A A.(1,2) B.[1,2] C.[ 1,2)
2

?

?

B =( )

D.(1,2 ] )

2. 已知 i 是虚数单位, a ? R ,则“ a ? 1 ”是“ (a ? i) ? 2i ”的( A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知双曲线 A. 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则实数 a ? ( ) a2 3 6 5 B. C. D. 1 2 2
D.6 第 4 题图

4. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 A.3 B.4 C.5

5. 已知直线 l1 : ?1 ? a ? x ? ay ? 2 ? 0, l2 : ax ? ? 2a ? 1? y ? 3 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 a 的值为 6. 设对任意实数 x ? ? ?1,1? ,不等式 x ? ax ? 3a ? 0 总成立.则实数 a 的取值范围是(
2

A. 0

B. ? 2

C. ? 2 或 0

D. 0 或 2

)

1 1 C. a ? D. a ? 0或a ? ?12 2 4 7. 设 a ? log 3 6, b ? log 5 10, c ? log 7 14 ,则 ( ) A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. c ? b ? a 2 2 8. 已 知 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 ( A ? B ? 0 不 全 为 0 ) ,两点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , 若
A. a ? 0 B. a ?

(A x ) ( A2x? 1 ? By 1 ? C
A.与直线 PP 1 2 不相交

B ? )C ? ,且 0 Ax1 ? By1 ? C ? Ax2 ? By2 ? C ,则直线 l ( 2y
B.与线段 P 2P 1 的延长线相交 D.与线段 PP 1 2 相交 )

)

C.与线段 PP 1 2 的延长线相交

9. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( A.108cm3 B.100 cm3 C.92cm D.84cm3

1

10. 在面积为 6 的 Rt△ABC 中, ?C ? 90 , AB 在 AC 上的投影为 3,

?

uur uur uur CA CB P 为线段 AB 上的动点,且满足 CP ? x ? uur ? y ? uur , 则 xy 的最大值为( | CA | | CB |
A.1 B .2 C.3 D.4

) 第 9 题图

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在答题卡的相应位置. 11. 若将函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的图象向右平移 ? 个单位,所得图象关于原点对称,则 ? 的最小正 值是

? 4? ) 12. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x

f (x ) 且 在 ?0,2? 上 的 解 析 式 为 ,

? x(1 ? x),0 ? x ? 1 ? 29 ? ? 41? ,则 f ? f ?x ? ? ? ? ? f ? ? ? _______ ? 4? ?6? ?sin ?x, 1 ? x ? 2
13.已知数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,若 a5 , a10 , a20 三项成等比数列,则此等比数列的公 比为 .

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 14. 已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0) ? y ?1 ? 0 ?
处取得最大值,则 a 的取值范围为_____.

1 E , F 分别为棱 DD1 , AB 上的点.下列说法正确的 15. 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 ,
是__________.(填上所有正确命题的序号) ① AC ? 平面 B1 EF ; 1 ②在平面 A1 B1C1 D1 内总存在与平面 B1 EF 平行的直线; ③ △B1EF 在侧面 BCC1B1 上的正投影是面积为定值的三角形; ④当 E , F 为中点时,平面 B1EF 截该正方体所得的截面图形是五边形; 第 15 题图 三、解答题:本大题共 6 小题,计 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.把答案填 在答题卡的相应位置. 16. 如图,点 A,B 是单位圆 O 上的两点,点 C 是圆 O 与 x 轴的正半轴的交点,将锐角 ? 的终边 OA 按 y ? 逆时针方向旋转 到 OB . B 3 A (Ⅰ)若点 A 的坐标为 ? , ? ,求点 B 的横坐标; ⑤当 E , F 为中点时,平面 B1EF 与棱 AD 交于点 P ,则 AP ?

2 . 3

?3 4? ?5 5?

C O

x

2

(Ⅱ)求 BC 的取值范围.

17.(本小题 12 分)某校高三年级在高校自主招生期间,把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序,选 出前 300 名学生, 并对这 300 名学生按成绩分组, 第 一 组 [75,80) , 第 二 组 [80,85) , 第 三 组

[85,90) ,第四组 [90,95) ,第五组 [95,100],
如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、 第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成 等差数列. (Ⅰ)请在图中补全频率分布直方图; (Ⅱ)若 B 大学决定在成绩高的第 4 , 5 组中用 分层抽样的方法抽取 6 名学生,并且分成 2 组, 每组 3 人 进行面试,求 95 分(包括 95 分)以上的同学被分在同一个小组的概率.

18.(本小题 12 分)如图,E 是以 AB 为直径的半圆上异于点 A、B 的一点,矩形 ABCD 所在平面垂直 于该半圆所在的平面,且 AB=2AD=2. (Ⅰ)求证: EA ? EC (Ⅱ)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F,EF=1, 求三棱锥 E-ADF 的体积.

19.(本小题 12 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 2 , a2 ? 3 , 2an?1 ? 3an ? an?1 (n ? 2) , (Ⅰ)求证:数列 ?an?1 ? an ? 为等比数列; (Ⅱ)求使不等式

an ? m 2 ? 成立的所有正整数 m、n 的值. an ?1 ? m 3

3

20. (本小题 13 分)如图,已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 与 x 轴交于 A、B 两点、与 y 轴交于点 C,M 是圆 O 上任意一点(除去圆 O 与坐标轴的交点).直线 AM 与 BC 交于点 P,CM 交 x 轴于点 N,设直线 PM、 PN 的斜率分别为 m、n, (Ⅰ)试求点 M、N 坐标(可用 m、n 表示) (Ⅱ)求证: m ? 2 n 为定值.

2 21. (本小题 14 分)设关于 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个实根 ? , ? (? ? ? ) ,函数 f ( x ) ?

(Ⅰ)求证:不论 m 取何值,总有 ? f (? ) ? 1 ; (Ⅱ)判断 f ( x ) 在区间 (? , ? ) 的单调性,并加以证明; (Ⅲ)若 ? , ? 均为正实数,证明: | f (

2x ? m . x2 ? 1

?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| ? ? ? | . ??? ???

4

安徽省江淮十校教育研究会 2014 年高二联考

数学(理科)答案
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. D 2.A 3. D 4. B 5. C 6. B 7. A 8. B 第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. 9. B 10. C.

? 4

12.

5 16

13. 2

14. ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

15. ②③④⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,计 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 16. (I)由三角函数定义知, cos ? ?

3 4 ,sin ? ? . 5 5

………………………(2 分)

, ? cos(? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin 3 3 3 3 3? 4 3 所以点 B 的横坐标 . 10 ? 2 (II) BC ? 2 ? 2 cos(? ? ) , 3 ? ? ? 5? ? Q 0 ? ? ? ,? ? ? ? ? , ? cos(? ? ) ? (? 2 3 3 6 3 ? 6? 2? ? BC ? ? 1, ?. 2 ? ?
17.(本小题 12 分) (Ⅰ)由图象可知第五组为: 0.02 ? 5 ? 300 ? 30 人, 第 五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是 一个以 30 分为首项,总和为 300 的等差数列,所以第五 组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是 30 人,45 人,60 人,75 人,90 人. 则绘制的频率分布直方图如右图所示.………….6 分 (Ⅱ)第四组中抽取人数: 取人数:

?COB ? ? ?

?

?

?

?

?

3? 4 3 . 10

………(5 分)

………………………(6 分) ………………………(9 分)

3 1 2 , ) ,? BC ? (1, 2 ? 3) , 2 2
…………………(12 分)

6 ? 60 ? 4 人,第五组中抽 90

6 ? 30 ? 2 人,所以两组共 6 人.设第四组抽 90 取的四人为 A1, A2 , A3 , A4 , 第五组抽取的 2 人为 B1, B2 , 这六人分成两组有两种情况, 情况一: B1, B2
在同一小组: ( A 1, A 2, A 3 ),( A 4, B 1, B2 ) ; ( A 1, A 2, A 4 ),( A 3, B 1, B2 ) ; ( A 1, A 3, A 4 ),( A 2, B 1, B2 ) ;

( A2 , A3 , A4 ),( A1, B1, B2 ) ,共有 4 种可能结果,情况二: B1, B2 不在同一小组: ( B1, A1, A2 ),( B2 , A3 , A4 ) ; ( B1, A1, A3 ),( B2 , A2 , A4 ) ; ( B1, A1, A4 ),( B2 , A2 , A3 ) ; ( B1, A2 , A3 ),( B2 , A1, A4 ) ; ( B1, A2 , A4 ),( B2 , A1, A3 ) ; ( B1, A3 , A4 ),( B2 , A1, A2 ) ,共有 6 种可能结果, 4 2 ? . ….12 分 两种情况总共 10 种可能结果,所以两人被分在一组的概率为 10 5

5

另解:两人被分在一组的概率为 P ?

1 C4 2 ? .(此法亦可相应给分) 3 3 C6 C3 5 2 A2

18.(本小题 12 分) (Ⅰ)证明: Q 矩形 ABCD ? 面 ABE, CB ? 面 ABCD 且 CB ? AB ? CB ? 面 ABE,从而 AE ? BC ①………3.分 又 Q 在半圆 ABE 中,AB 为直径,? ?AEB ? 90 即 AE ? BE ② 由①②知:AE ? 面 BCE,故有: EA ? EC , ……………………….…6 分
o

(Ⅱ) Q AB//CD, ? AB//面 DCE. 又 Q 面 DCE I 面 ABE=EF,? AB//EF 在等腰梯形 ABEF 中,EF=1,AF=1, ?AFE ? 120 ,………………….…9 分
o

?S ?

1 3 , ? EF ? AF ? sin120o ? 2 4

1 1 3 3 . …………………12 分 ? V D? AEF ? ? S ?AEF ? AD ? ? ?1 ? 3 3 4 12 19.(本小题 12 分) 解: (Ⅰ)由 2an?1 ? 3an ? an?1 (n ? 2) 得 2(an?1 ? an ) ? an ? an?1 (n ? 2) ,

V

E ? ADF

1 为公比的等比数列 .... ……… .........4 分 2 1 n?2 1 n?2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: an ? an ?1 ? ( ) ,累加可得 an ? 4 ? ( ) .........................8 分 2 2 1 4 ? ( )n?2 ? m an ? m 2 2 2 则 ? 即为: ? , 1 an ?1 ? m 3 4 ? ( )n ?1 ? m 3 2
则 {an?1 ? an } 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,以 显然 m ? 4 时无解,则易求得 ? 注:若由 果?

?m ? 1 ?m ? 2 ?m ? 3 ..................................................12 分 ,? ,? ?n ? 1 ?n ? 1 ?n ? 2.
n ?3

an ? m 2 ?1? ? 得到 3? an ? m? ? 2 ? an?1 ? m? 即 m ? an?1 亦即 ? ? an ?1 ? m 3 ?2?

? 4 ? m ,从而得出结

?m ? 4 ?m ? 1 ?m ? 2 ?m ? 3 可酌情给分. ,? ,? , ? * ?n ? 1 ?n ? 1 ?n ? 1或2 ?n ? N

20. (本小题 13 分) 解: (I) 直线 AM 的方程为: y ? m( x ? 1)(m ? 0, ?1) 与 联立得 M (

O : x2 ? y 2 ? 1

1 ? m 2 2m , ) ………………………………………………………………….3 分 1 ? m2 1 ? m2 1? m 1 ? m 2 2m , 0) ……………......…6 分 , ), N ( x, 0) 三点共线,得出 N ( 由 C (0,1), M ( 2 2 1? m 1? m 1? m (Ⅱ).将直线 BC 的直线方程 x ? y ? 1 与 y ? m( x ? 1)(m ? 0, ?1)
6

1 ? m 2m , ) …………………………………………………………………...8 分 1? m 1? m 2m ?0 2m(1 ? m) m ?1 1 ? m 故有 n ? k PN ? ………………………….11 分 ? ? 2 2 1 ? m 1 ? m (1 ? m) ? (1 ? m) 2 ? 1? m 1? m 即: m ? 2n ? 1 ………………………………………………………………………….13 分
联立得 P ( 21. (本小题 14 分) 解: (Ⅰ)∵ ? , ? 是方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 的两个根, ∴ f (? ) ? ∴ ? ? ? ? m, ?? ? ?1 ,

2? ? m 2? ? (? ? ? ) ? ?? 1 , ? ? ? 2 2 ? ?1 ? ? ?? ? (? ? ? ) ? ∴ ? f (? ) ? 1 ……………………………………………………… (4 分)

(Ⅱ)∵ f ?( x) ? ?

2( x 2 ? mx ? 1) 2( x ? ? )( x ? ? ) , ?? 2 2 ( x ? 1) ( x 2 ? 1)2 当 x ? (? , ? ) 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (? , ? ) 上单调递增. (此处用定义证明亦可)…(8 分)

(Ⅲ)∵

?? ? ?? ? (? ? ? ) ?? ? ?? ?? ? ? 0 ,同理可证: ? ? ?? ??? ??? ??? ?? ? ?? ?? ? ?? ) ? f ( ? ) , f (? ) ? f ( ) ? f (? ) , ∴由(Ⅱ)可知: f (? ) ? f ( ??? ??? ?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| f (? ) ? f ( ? ) | , ……………………………(12 分) ∴| f ( ??? ???
由(Ⅰ)可知, f (? ) ? , ?? ? ?1 , ? ? 1 1 ? ?? |?| ? ? ? | , ∴ | f (? ) ? f ( ? ) |?| ? |?| ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| ? ? ? | .……………………………………(14 分) ∴| f ( ??? ???

1

, f (? ) ?

1

7


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