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高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练:大题综合突破练:概率与统计

比知识你 海纳百 川,比 能力你 无人能 及,比 心理你 处变不 惊,比 信心你 自信满 满,比 体力你 精力充 沛,综 上所述 ,高考 这场比 赛你想 不赢都 难,祝 高考好 运,考 试顺利 。

规范练?三? 概率与统计

1.一个盒子中装有形状大小相同的 5 张卡片,上面分别标有数字 1,2,3,4,5,甲乙 两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张. (1)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率; (2)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角 形的概率. 解 (1)甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张,基本事件有(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1), (4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共 20 个. 设事件 A=“甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数”, 则事件 A 包含的基本事件有(1,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(5,1),(5,3) 共 8 个. 所以 P(A)=280=25. (2)剩下的三边长包含的基本事件为: (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5) 共 10 个; 设事件 B=“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形” 则事件 B 包含的基本事件有:(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)共 3 个,所以 P(B)=130.
2.某个团购网站为了更好地满足消费者,对在其网站发布的团购产品展开了用户 调查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是 10 分.上 个月该网站共卖出了 100 份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参 考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三 组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到的频率分布直方图如图所示.

(1)分别求第三、四、五组的频率; (2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取 6 个产品作为 下个月团购的特惠产品,某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买,求他抽 到的 2 个产品均来自第三组的概率. 解 (1)第三组的频率是 0.150×2=0.3;第四组的频率是 0.100×2=0.2;第五 组的频率是 0.050×2=0.1. (2)设“抽到的 2 个产品均来自第三组”为事件 A,由题意可知,分别抽取 3 个、 2 个、1 个. 不妨设第三组抽到的是 A1、A2、A3;第四组抽到的是 B1、B2;第五组抽到的是 C1,所含基本事件为:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2}, {A1,C1},{A2,B1},{A2,B2},{A2,C1},{A3,B1},{A3,B2},{A3,C1}, {B1,B2},{B1,C1},{B2,C1},共 15 个,事件 A 包含的基本事件有 3 个,所 以 P(A)=135=15. 3.已知某山区小学有 100 名四年级学生,将全体四年级学生随机按 00~99 编号, 并且按编号顺序平均分成 10 组,现要从中抽取 10 名学生,各组内抽取的编号 按依次增加 10 进行系统抽样.
(1)若抽出的一个号码为 22,则此号码所在的组数是多少?据此写出所有被抽 出学生的号码; (2)分别统计这 10 名学生的数学成绩,获得成绩数据的茎叶图如图所示,求该 样本的方差; (3)在(2)的条件下,从这 10 名学生中随机抽取两名成绩不低于 73 分的学生,求

被抽取到的两名学生的成绩之和不小于 154 分的概率.

解 (1)由题意,得抽出号码为 22 的组数为 3.因为 2+10×(3-1)=22,所以第

1 组 抽 出 的 号 码 应 该 为 02 , 抽 出 的 10 名 学 生 的 号 码 依 次 分 别 为 :

02,12,22,32,42,52,62,72,82,92. (2)这 10 名学生的平均成绩为:

x =110×(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71,故样本方差为:

s2=110×(102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)=52.

(3)从这 10 名学生中随机抽取两名成绩不低于 73 分的学生,共有如下 10 种不

同的取法:

(73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81),

(79,81).

其中成绩之和不小于 154 分的有如下 7 种:(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),

(78,79),(78,81),(79,81).

故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于 154 分的概率为:P=170.

4.随着工业化以及城市车辆的增加,城市的空气污染越来越严重,空气质量指数

API 一直居高不下,对人体的呼吸系统造成了严重的影响,现调查了某市 500 名居

民的工作场所和呼吸系统健康,得到 2×2 列联表如下:

室外工作 室内工作 合计

有呼吸系统疾病

150

无呼吸系统疾病

100

合计

200

(1)补全 2×2 列联表;

(2)你是否有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关;

(3)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看

成一个总体,从中随机的抽取两人,求两人都有呼吸系统疾病的概率.

参考公式与临界值表:K2=?a+b??cn+?add-??ab+c?c2??b+d?

P(K2≥k0) k0
解 (1)列联表如下

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

室外工作

室内工作

合计

有呼吸系统疾病

150

200

350

无呼吸系统疾病

50

100

150

合计

200

300

500

(2)计算得,K2=500×35?01×501×501×002-002×003×0050?2≈3.968>3.841,所以有 95%的把握

认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.

(3)采用分层抽样从室内工作的居民中抽取 6 名进行座谈,有呼吸系统疾病的抽

4 人,记为 A、B、C、D,无呼吸系统疾病的抽 2 人,记为 E、F,从中抽两人,

共有 15 种抽法,A=“从中随机的抽取两人,两人都有呼吸系统疾病”有 6 种,

∴P(A)=25.