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2011届高考数学第一轮复习测试题21


·高 三 数 学 ·单 元 测 试 卷 ( 十 七 ) 第十七单元 分类与整合思想
(时量:120 分钟 150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数 f(x)=loga x 在[2,π]上的最大值比最小值大 1,则 a 等于 2 A. π 2.已知椭圆 π B. 2 2 π C. 或 π 2 D.不同于 A、B、C 答案

x2 y2 10 ? ? 1 的离心率 e=- , 则 m 的值为 5 m 5
25 B. 或 3 3 C. 5 D.

A.3

5 15 或 15 3

3.设 P=loga(a2+1), Q=loga(a3+1),a>0 且 a≠1,则 P、Q 的大小关系是 A.P>Q B.P<Q 3 B.- 8 C.P=Q D.与 a 有关 3 D.-3 或 8 4.已知二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 在区间[-3,2]上的最大值为4,则 a 的值为 A.-3 C.3

2 5.如果 loga <1,那么 a 的取值范围是 3 2 A.(0, )∪(1,+∞) 3 2 C.( ,1) 3 1 A. <a<2,且 a≠1 2 C. 1<a<2 2 B.( , +∞) 3 2 2 D.(0, )∪( ,+∞) 3 3 1 B.0<a< 或 1<a<2 2 1 D. a>2 或 0<a< 2

6.函数 y=logax 在 x∈[2,+∞)上恒有|y|>1,则 a 的取值范围为

7.若对任意 x∈R,(m-2)x2+4(2―m)x―4 的值恒为负值,则 m 的取值范围为 A.(1, 2) B.(-∞,2) C.(1,2] D.(∞,2]

8.设 0< x <1,0<a≠1,则 A.|loga(1-x)|<| loga(1+x)| C.|loga(1-x)|>| loga(1+x)| 大小与 a 值有关 9.已知线段 AB 在平面 α 外,A、B 两点到平面 α 的距离分别为 1 和 3,则线段 AB 的中 点到平面 α 的距离为 B.|loga(1-x)|=| loga(1+x)| D.|loga(1-x)|与| loga(1+x)|的

A.1

B.2

C.1 或 2

D.0 或 1

1 1 2 1 1 3 10.若函数 f ( x) ? (a ? 1) x ? ax ? x ? 在其定义域内有极值点,则a的取值为 3 2 4 5
A.

?2? 5 ?2? 5 ?a? 2 2 ?2? 5 ?2? 5 或 a=1 ?a? 2 2

B.a=1

C.

D. 答题卡

?2 ? 5 ?2 ? 5 或 a=1 ?a? 2 2

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.设一双曲线的两条渐近线方程为 2x-y+1=0, 2x+y-5=0,此双曲线的离心率为 12.在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物,每种作物种植一垄, 为有利于作物生长,要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄,则不同的选垄方法共 有 种.

13.已知 0 ? x ? ? ,1 ? sin x ? 1 ? sin x ? sin 14.若不等式组 ? 范围

x ,则 tanx= 2



2 ? ? x ? x ? 2 ? 0     ① 的解集中的整数有且只有—2,则 a 的取值 2 2 x ? (5 ? 2 a ) x ? 5 a ? 0   ② ? ?



15.从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,组成没有重 复数字的四位数,其中能被 5 整除的四位数共有 个(用数字作答).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5.有最大值 2,求实数 a 的值.

17.(本小题满分 12 分) 解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R).

18.(本小题满分 14 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值.
2

19.(本小题满分 14 分) 已知方程 kx +y =4,其中 k 为实数,对于不同范围的 k 值,分别指出方程所代表 图形的类型,并画出曲线简图.
2 2

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx(a ? 0) 满足 f(2) = 0 且方程 f(x) = x 有两个相等的实根。 (1)求 f(x)的解析式: (2 ) 是否存在 m、 n∈R(m < n), 使 f(x)的定义域为 [m, n] 且值域为 [2m, 2n] ? 若存在,找出所有 m , n;若不存在,请说明理由。

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 、 {bn }满足 : a1 ? 1, a2 ? a(a为常数),且bn ? an ? an?1 , 其中n ? 1,2,3? (Ⅰ)若{an}是等比数列,试求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的公式; (Ⅱ)当{bn}是等比数列时,甲同学说:{an}一定是等比数列;乙同学说:{an}一定 不是等比数列,你认为他们的说法是否正确?为什么?

分类与整合思想参考答案 一、选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B D A A C C C C 1.分析:研究函数的最值需考察函数的单调性,而题中对数函数的增减性与底数 a 的取值 有关,故应对 a 进行分类讨论。 解:⑴当 a>1 时,f(x)在[2,π]上是增函数,最大值是 f(π),最小值是 f(2),据题意, π f(π)-f(2)=1,即 logaπ-loga2=1,∴a= , 2 ⑵当 0<a<1 时,f(x)在[2,π]上是减函数,最大值是 f(2),最小值是 f(π),故 f(2) 2 -f(π)=1,即 loga2-logaπ=1,∴a= 。 π 由⑴⑵知,选 C。 说明:题中字母 a 的取值范围的不同,直接影响了函数的性质,从而导致了两种不同的情 形,所以必须对字母 a 进行分类讨论。 c 2.分析:椭圆的离心率 e= ,题中不能确定 5 与 m 中哪个是 a,哪个是 b,故应将 5 a 与 m 比,分类讨论。 解:据题意 m>0 且 m≠5 ⑴当 m>5 时,a2=m, b2=5,∴c2=a2-b2=m-5,∴c2/a2=(m-5)/m, 又 e=

10 5

25 ∴m= 3 ⑵当<m<5 时,a2=5, b2=m, ∴c2=5-m, ∴(5-m)/5=2/5 ∴m= 3 由⑴⑵知 m=25/3 或 m=3 故选B 在运用分类讨论思想解决含参数字母的问题时,要克服动辄加以分类讨论的思维定势, 应充分挖掘问题的特征,多角度审视参数,变更或变换命题,简化分类讨论,甚至避免 分类讨论。 8.析与解:常规思路是分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论,过程冗长。深挖隐含条件 ① log a (1 ? x) ? log a (1 ? x 2 ) ? log a (1 ? x); ②由 0<x<1, 有 0 ? x ? 1, 0 ? 1 ? x ? 1, 1+x>1, 则l o g
2 2 a

(1 ? x 2 ) 与 l o g a (1 ? x)

异号。 于是|loga(1-x)|=|loga(1-x2)-loga(1+x)| =|loga(1-x2)|+|loga(1+x)|> |loga(1+x)|。 9.解析:分线段 AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案:1 或 2 10.解析:即 f(x)=(a–1)x2+ax–

1 =0 有解. 4

当 a-1=0 时,满足.当 a-1≠0 时,只需Δ =a2–(a–1)>0. 答案:

?2? 5 ?2? 5 或 a=1 ?a? 2 2 5 2
12.12 13.0 14.[—3,2) 15.300

二、填空题 11. 5或

11.分析:由双曲线的渐近线方程,不能确定其焦点位置,所以应分两种情况求解. 解: (1) 当双曲线的焦点在直线 y=3 时, 双曲线的方程可改为 一条渐近线的斜率为

( x ? 1) 2 ( y ? 3) 2 ? ? 1, a b2

b c b2 ? a2 5a 2 ? 2 , ∴ b=2.∴ e ? ? ? ? 5. a a a 5 a ?2, b

(2)当双曲线的焦点在直线 x=1 时,仿(1)知双曲线的一条渐近线的斜率为 此时 e ?

5 . 2 5 . 2

综上(1)(2)可知,双曲线的离心率等于 5或

12.解:分类讨论:(1)先考虑作物 A 种植在第一垄时,作物 B 有 3 种种植方法;(2) 再考虑作物 A 种植在第二垄时,作物 B 有 2 种种植方法;(3)又当作物 A 种植在第三垄 时,作物 B 有 1 种种植方法。而作物 B 种植的情况与作物 A 相同,故满足条件的不同选垄 方法共有(3+2+1)×2=12 种. 评注:由以上可以得知:分类讨论的方法步骤:明确讨论对象,确定对象的全体 → 确定分 类标准,正确进行分类 →逐步进行讨论,获取阶段性结果 → 归纳小结,综合得出结论. 13.解:常规思路是对左边化简,去根号,讨论 cos 值,势必运算量大。若抓住隐含条件 sin

x x 与 sin 的大小,从而得到 tanx 的 2 2

x ? 0 ,则十分简捷。 2

1 ? si n x?

1 ? si x n ? 0 ?

1 ? si xn ?
tanx=0。

? 1 x si n? xsi n 。 ?

0

又 0 ? x ? ?, 则 sin x ? 0 ,故 14.分析:常规思路是将②变形为

5 2( x ? a )( x ? ) ? 0。 2
对 a 进行分类讨论,过程复杂。若挖掘隐含条件,则可得如下简捷解法。 解:不等式①的解集为(—∞,—1)∪(2,+∞)。 又原不等式组的解集中的整数只有—2,则原不等式组的解集为(-3,-1)∪(2,3) 的子集。 不等式②变形为 2 (x ? a )( x ?

5 ) ? 0。 2



又—2 属于不等式③的解集,知不等式③的解集为 ( ? 因此—a 的取值范围只能是(—2,3]。 从而 a 的取值范围为[—3,2)。

5 , ? a) , 2

15.300 三、解答题 16.解:f(x)=1-sin2x+asinx-a2+2a+5 ? ?(sin x ? 令 sinx=t, t∈[-1,1]. 则 f (t ) ? ?(t ? (1)当

a 2 3 2 ) ? a ? 2a ? 6. 2 4

a 2 3 2 ) ? a ? 2a ? 6 (t∈[-1,1]). 2 4

a ? 1 即 a>2 时,t=1, ymax ? ?a 3 ? 3a ? 5 ? 2 2 3 ? 21 3 ? 21 解方程得: a ? (舍). 或a ? 2 2 a a 3 2 (2)当 ? 1 ? ? 1 时,即-2≤a≤2 时, t ? , y max ? ? a ? 2a ? 6 ? 2 , 2 2 4 4 解方程为: a ? ? 或 a=4(舍). 3 a (3)当 ? ?1 即 a<-2 时, t=-1 时,ymax=-a2+a+5=2 2 1 ? 13 ? 1 ? 13 即 a2-a-3=0 ∴ a ? , ∵ a<-2, ∴ a ? 全都舍去. 2 2
综上,当 a ?

3 ? 21 4 或a ? ? 时,能使函数 f(x)的最大值为 2. 2 3

17.分析: 含参的一元不等式的解集问题,先讨论二次项系数,再对开口方向讨论,再对 其两根大小进行分类讨论. 解:原不等式可化为? ax2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0 时,x≤-1,即 x∈(-∞,-1]. (2)a?0 时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0 时, 不等式化为 ( x ?

2 )( x ? 1) ? 0 , a

?a ? 0 ?a ? 0 2 ? ? 当 ?2 ,即 a>0 时,不等式解为 (?? ,?1] ? [ ,?? ) . 当 ? 2 ,此时 a 不存在. a ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?a ?a 2 ② a<0 时,不等式化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 , a ?a ? 0 2 ? 当 ?2 ,即-2<a<0 时,不等式解为 [ ,?1] a ? ? ?1 ?a ?a ? 0 2 ? 当 ?2 ,即 a<-2 时,不等式解为 [ ?1, ] . a ? ? ?1 ?a ?a ? 0 ? 当 ?2 ,即 a=-2 时,不等式解为 x=-1. ? ? 1 ? ?a

综上: a=0 时,x∈(-∞,-1); a>0 时,x∈ (?? ,?1] ? [ ,?? ) ; -2<a<0 时,x∈ [ ,?1] ;

2 a

2 a

a<-2 时,x∈ [ ?1, ] ;

2 a

a=-2 时,x∈{x|x=-

1}. 评述:本题分类讨论后采用分列式归纳结论,即针对变量分类讨论的,且在不同条件下问题 有不同的结论,归纳结论时应采用分列式. 18.解:(1)当 a=0 时,函数 f(–x)=(–x)2+|–x|+1=f(x),此时 f(x)为偶函数. 当 a≠0 时,f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2|a|+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a) 此时函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)①当 x≤a 时,函数 f(x)=x2–x+a+1=(x– 若 a≤

1 2 3 ) +a + 2 4

1 ,则函数 f(x)在(–∞,a]上单调递减. 2

从而函数 f(x)在(–∞,a ] 上的最小值为 f(a)=a2+1

1 1 3 1 ,则函数 f(x)在(–∞,a ] 上的最小值为 f( )= +a,且 f( )≤f(a). 2 2 4 2 1 3 ②当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x–a+1=(x+ )2–a+ 2 4 1 1 3 1 若 a≤– , 则函数 f(x)在 [a,+∞] 上的最小值为 f(– )= –a, 且 f(– )≤f(a); 2 2 4 2 1 若 a>– ,则函数 f(x)在[a,+∞)单调递增. 2
若 a> 从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 f(a)=a2+1. 综上,当 a≤– 当–

1 3 时,函数 f(x)的最小值为 –a; 2 4

1 1 <a≤ 时,函数 f(x)的最小值是 a2+1; 2 2 1 3 当 a> 时,函数 f(x)的最小值是 a+ . 2 4
19.分析:由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式,结合方程 kx +y =4 的特点,对参 数 k 分 k>1、k=1、0<k<1、k=0、k<0 五种情况进行讨论. 解:由方程 kx +y =4,分 k>1、k=1、0<k<1、k=0、k<0 五种情况讨论如下: ① 当 k>1 时,表示椭圆,其中心在原点,焦点在 y 轴上,a=2,b= ② 当 k=1 时,表示圆,圆心在原点,r=2; ③ 当 0<k<1 时,表示椭圆,其中心在原点,焦点在 x 轴上,a= ④ 当 k=0 时,表示两条平行直线 y=±2; ⑤ 当 k<0 时,表示双曲线,中心在原点,焦点在 y 轴上.
2 2 2 2

2 ; k

2 ,b=2; k

所有五种情况的简图依次如下所示: y x y x y x y x y x

评述: 以上都是由图形的不确定性所引起的分类讨论型问题, 应把所有情况分类讨论后, 找出满足条件的条件或结论. 20.分析:此题属于“轴定区间动”型,常规思路是根据对称轴与区间的位置关系,分三 种情况讨论。挖掘隐含条件:函数 f(x)在[m, n]上的值域[2m, 2n]是函数 f(x)在 R 上的值域的子集,可以避免分类讨论,迅速获解。 略解:(1) f ( x ) ? ?

1 1 ( x ? 1) 2 ? 。 2 2 1 ],知 2 2n ? 1 1 ,n? 。 2 4

(2)由函数 f(x)在 R 上的值域为(—∞, 可见函数 f(x)在[m, n]上为增函数。

1 ? f (m) ? ? m 2 ? m ? 2m, ? ? 2 由? ? f ( n) ? ? 1 n 2 ? n ? 2n, ? 2 ?
解得 m = —2,n = 0。 故当 m = —2,n = 0 时满足要求. 21.(I)解:因为{an}是等比数列 a1=1,a2=a. - ∴a≠0,an=an 1. 又 b ? a ? a 则b ? a ? a ? a, bn ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? an ? 2 ? a ? a2 n n n ?1 1 1 2 n ?1
bn an ? an ?1 an a
n ?1

即 {bn } 是以 a 为首项, a 为公比的等比数列.
? ?n, ? ? ? Sn ? ?? n, ? a(1 ? a 2 n ) ? . ? ? 1 ? a2 (a ? 1) (a ? ?1) (a ? ?1)

2

(II)甲、乙两个同学的说法都不正确,理由如下: 解法一:设{bn}的公比为 q,则

bn?1 an?1an? 2 an? 2 ? ? ? q且a ? 0 bn an an?2 an

又 a1=1,a2=a, a1, a3, a5,?,a2n-1,?是以 1 为首项,q 为公比的等比数列, a2, a4, a6, ?, a2n , ?是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, 即{an}为:1,a, q, aq , q2, aq2, 当 q=a2 时,{an}是等比数列; 当 q≠a2 时,{an}不是等比数列. 解法二:{an}可能是等比数列,也可能不是等比数列,举例说明如下: 设{bn}的公比为 q (1)取 a=q=1 时,an=1(n∈N),此时 bn=anan+1=1, {an}、{bn}都是等比数列.
1 (2)取 a=2, q=1 时, a ? ? ? n (n为奇数) ?2 bn ? 2.(n ? N ). (n为偶数)

所以{bn}是等比数列,而{an}不是等比数列.


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