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高考数学轻松搞定排列组合难题十二种方法


高考数学轻松搞定排列组合难题十二种方法
解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排 特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束 条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多 少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素, 再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节 目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 四.定序问题倍缩空位插入策略 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插入法 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 五.重排问题求幂策略 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位 置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m 种 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原 节目单中,那么不同插法的种数为 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有
n

1 m An n
例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐, 并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之间,这样的五位数有 多少个? 练习题: 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种 的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种

十.元素相同问题隔板策略 将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板,插入 n 个元素排
m?1 成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为 Cn ?1

例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数 十一.正难则反总体淘汰策略 有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘 汰. 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种? 练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例如:8 本不同的书,按照以下要求分配, 各有多少种不同的分法?⑴一堆 1 本, 一堆 2 本, 一堆 5 本; ⑵甲得 1 本,乙得 2 本,丙得 5 本;⑶甲、乙、丙三人, 一人 1 本, 一人 2 本, 一人 5 本;⑷平均分给甲、 乙、丙、丁四人;⑸平均分成四堆;⑹分成三堆,一堆 4 本,一堆 2 本,一堆 2 本;⑺给三人一人 4 本, 一 人 2 本, 一人 2 本。 …


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