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河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学(文)试题


2011—2012 学年度高三年级八模考试 文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

注意事项: 1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题 卡上) 1. 对于非零向量 a , b ,“ a ? 2b ? 0 ”是“ a // b ”的( B.必要不充分条件 ) C. ?i D. i ) ) D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 2. 复数

C.充要条件

2?i 的共轭复数是( 1 ? 2i

3 A. ? i 5

3 B. i 5

3. 对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数比较,正确的是(
开始

S=0

相关系数为 r1

相关系数为 r2
T=0

S=T-S

T=T+2

相关系数为 r3 A. r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r1 C. r4 ? r2 ? 0 ? r3 ? r1 4.下列大小关系正确的是 ( A. 0.43 ? 30.4 ? log 4 3 C. 0.4 ? log 4 3 ? 3
3 0.4

相关系数为 r4 B. r4 ? r2 ? 0 ? r ? r3 1 D. r2 ? r4 ? 0 ? r1 ? r3 ) B. log 4 3 ? 0.43 ? 30.4 D. log 4 3 ? 3
0.4

S≥6




W=S+T

输出 W

结束
3

? 0.4

5.左图是一个算法的流程图,最后输出的 W=( A.18 B. 16 C.14

) D.12

第 1 页 共 8 页

6.将函数 f ?x? ? 2 sin?2 x ? ? ? ? 3 的图象 F 向右平移 轴方程是 x ? A. ?

?
4

? ,再向上平移 3 个单位,得到图象 F′,若 F′的一条对称 6 ? 3
?ACB ? 90? . 若其直观图、正视图、俯

,则 ? 的一个可能取值是( B. ?

) D.

?
6

?
3

C.

? 2

7.在三棱锥 D ? ABC 中,已知 AC ? BC ? CD ? 2 , CD ? 平面 ABC , 视图如图所示,则其侧视图的面积为 ( A. ) D.
2

6

B. 2

C.

3

第7题

8.已知 f ? x ? ? 为

1 2 ?? ? x ? sin ? ? x ? , f ? ? x ? 4 ?2 ?


( f ? x ? 的导函数则 f ? ? x ? 的图像是

9. 点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是 ( A.1 B. 2 C.2 D.2 2
x2 ? y 2 ? 1 的公共点个数为( 3



10.若直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 3 ,则 l 与曲线 A.1 个
2



B.2 个 ) B. 2

C.1 个或 2 个

D.1 个或 0 个

11.函数 y ? 9 ? ? x ? 5? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该数列的公 比的数是( 3 A. 4 C. 3 D. 5

12.把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面 与 8 根铁丝都相切,则皮球的半径为 ( A.l0 3 cm B.10 cm ) D.30cm 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。

C.10 2 cm

第 2 页 共 8 页

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 已知函数 f (x ) ? a ? log2 x 的图象经过点 A(1,1) ,则不等式 f ( x) ? 1 的解为_________;
?x ? 2 y ? 0 ? 14 设 z ? x ? y , 其中 x , y 满足 ?x ? y ? 0 当 z 的最大值为 6 时, k 的值为____ ?0 ? x ? k ?

15 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,且一个焦点与抛物线 x2 ? 8 y 的焦点相同,则此双曲线的方程为 m n

.

16.已知数列{ an )满足 a1 ? 三、解答题(共 70 分) 。

aa 1 , an?1 ? an ? n n?1 (n ? 2) ,则该数列的通项公式 an = 2 n(n ? 1)

1 17.(本题 10 分)在 ?ABC 中, cos 2 A ? cos 2 A ? cos A . 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC .

18. (本题 12 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 6, ?BAD ? 60? , AC ? BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折 起,得到三棱锥 ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 .
面 面 (1)求证: 平 ABC ? 平 MDO ;
B M A O D C

(2)求三棱锥 M ? ABD 的体积.

19. (本题 12 分)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收 费 6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、乙二人在该商区临时 停车,两人停车都不超过 4 小时.
1 5 (1)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求甲停车付费恰为 3 12
6 元的概率;

(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率.

第 3 页 共 8 页

20. (本题 12 分) F 为抛物线 E: x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点, B、 为该抛物线上三点, 设 A、 C 已知 FA ? FB ? FC ? 0 且 | FA | ? | FB | ? | FC |? 6 (1) 求抛物线方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y ? ?1 相交于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。

21.(本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax , g ( x) ? ln x (1)若 f ( x) ? g ( x) 对于定义域内的 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2) 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有两个极值点 x1 , x 2 且 x1 ? ( 0 , 求证: h( x1 ) ? h( x 2 ) ?
3 ? ln 2 ; 4
1 ), 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 已知圆 C1 的参数方程为 ?
? x = cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? y = sin ?

圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 2cos(? ? ) .
3

?

(1)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)圆 C1 、 C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? m | ?4 x. (1)当 m=2 时,解不等式: f ( x) ≤1; (2)若不等式 f ( x) ? 2 的解集为 {x | x ? ?2} ,求 m 的值。

第 4 页 共 8 页

2011—2012 学年度高三年级八模考试文科数学答案 一、选择题:ACACB 二、填空题: (0,1) 三、解答题: 17.解: (I)由已知得: (2 cos 2 A ? 1) ? cos 2 A ? cos A ,……2 分
? cos A ? 1 . 2
1 2

BDABC 3
y2?

DD
x2 ?1 3
n 3n ? 1

……4 分? 0 ? A ? ? , 可得:

?A?

?
3

.

…6 分

(II)由

b c ? sin B sin C

sin B b ? ?2 sin C c

………7 分

? b ? 2c
cos A ?

……8 分
b 2 ? c 2 ? a 2 4c 2 ? c 2 ? 9 1 ? ? 2bc 2 4c 2

………10 分 ………11 分 ……12 分

解得: c ? 3 , b ? 2 3

S?

1 1 3 3 3 . bc sin A ? ? 2 3 ? 3 ? ? 2 2 2 2

18. (1) 证明:由题意, OM ? OD ? 3 , 因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90? , OD ? OM .…3 分 又因为菱形 ABCD ,所以 OD ? AC . 因为 OM ? AC ? O ,所以 OD ? 平面 ABC , 因为 OD ? 平面 MDO ,所以平面 ABC ? 平面 MDO . (2)解:三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积. 由(1)知, OD ? 平面 ABC , 所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高.
?ABM 的面积为

……………6 分

1 1 3 9 3 , BA ? BM ? sin120? ? ? 6 ? 3 ? ? 2 2 2 2

1 9 3 ? S?ABM ? OD ? 2 . 所求体积等于 3

……………12 分

19. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A ,
第 5 页 共 8 页

………………1 分

1 5 1 1 则 P ( A) ? 1 ? ( ? ) ? .所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是 . 3 12 4 4

………4 分 ………6 分

(Ⅱ)解:设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a, b ? 6,14, 22,30 . 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:
(6,6),(6,14),(6, 22),(6,30),(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30),(22,6),(22,14),(22, 22), ………10 分 (22,30),(30,6),(30,14),(30, 22),(30,30) ,共 16 种情形.

其中, (6,30),(14, 22),(22,14),(30,6) 这 4 种情形符合题意.………………12 分
4 1 ? . …………13 分 16 4 3 20. 解;(1)由 FA ? FB ? FC ? 0 知 y 1 ? y 2 ? y 3 ? p 又 2 3 | FA | ? | FB | ? | FC |? y 1 ? y 2 ? y 3 ? p ? 3 p ? 6 所以 p ? 2 所以所求抛物线方程为 x 2 ? 4 y 2 1 1 (2)设点 P( X 0 , Y0 ), X 0 ≠0. ∵Y= X 2 , Y ' ? x , 4 2 1 1 1 2 切线方程:y- y0 = x0 ( x ? x0 ) ,即 y= x0 x ? x0 2 2 4 2 x 0 -4 ? y ? 1 x0 x ? 1 x02 ? ? x= 2x0 ? x 20 ? 4 ? ? 2 4 由? ∴Q( 2x 0 ,-1) ? 得? ? ? Y ??1 ? ? Y= ?1 ? ? ?

故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P ?

???? ???? ???? ???? ? ? x 20 ? 4 设 M(0, y1 )∴ MP ? (x 0,y0 ? y1), =( ,∵ MP · =0 MQ , 1 ? y1) ? MQ 2x 0
1 2 x 20 ? 4 - y0 - y0 y1 + y1 + y12 =0,又 y 0 = x 0(x 0 ? 0) ,∴联立解得 y1 =1 4 2x 0

故以 PQ 为直径的圆过 y 轴上的定点 M(0,1) .

21、解: (1) f ( x ) ? g( x ) ,? a ? x ?

ln x ln x x 2 ? ln x ? 1 ?( x) ? ? ( x) ? x ? ( x ? 0) ,设 ,? x x x2

当 x ? (0,1) 时, ? ?(x ) ? 0 ,当 x ? (1,??) 时, ? ?(x ) ? 0
?? ( x) ? ? (1) ? 1 ,?a ? ?? ?, 1 ?

(2) h( x) ? x 2 ? ax ? ln x ? h?( x) ? 解法(一)? x1 x 2 ?

2 x 2 ? ax ? 1 x

( x ? 0)

1 1 ,? x1 ? ( 0 , ) ? x2 ? (1,??) ,且 axi ? 2xi2 ? 1 ( i ? 1,2 )-- 10 ? 2 2
第 6 页 共 8 页

2 ? h( x1 ) ? h( x2 ) ? ( x12 ? ax1 ? ln x1 ) ? ( x2 ? ax2 ? ln x2 )

2 2 ? (? x12 ? 1 ? ln x1 ) ? (? x2 ? 1 ? ln x2 ) ? x2 ? x12 ? ln

x1 1 2 2 ? x 2 ? 2 ? ln 2 x 2 x2 4 x2

( x2 ? 1 )

设 ? ( x) ? x 2 ?

1 ? ln 2 x 2 2 4x

( x ? 1) , ? ?( x) ?

(2 x 2 ? 1) 2 ?0 2x 3

3 3 ? ln 2 即 h( x1 ) ? h( x 2 ) ? ? ln 2 4 4 1 1 解法(二)? x1 x 2 ? ,? x1 ? ( 0 , ) ? x2 ? (1,??) ,且 axi ? 2xi2 ? 1 ( i ? 1,2 ) 2 2 ? ? ( x) ? ? (1) ?

? a ? 2 x2 ?

1 ?3 x2

由 h( x) ? x 2 ? ax ? ln x 的极值点可得

1 a 3 3 h( x1 ) ? h( x 2 ) ? h( ) ? h(1) ? ? ? ln 2 ? ? ln 2 2 2 4 4

第 7 页 共 8 页

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)由 ?
? x = cos ? 得 x2+y2=1, ? y = sin ?

又∵ρ =2cos(θ +

π )=cosθ - 3sinθ , 3

∴ρ 2=ρ cosθ - 3ρ sinθ . ∴x2+y2-x+ 3y=0,即 ( x ? ) 2 ? ( y ? (Ⅱ)圆心距 d ? (0 ? )2 ? (0 ? ?x +y =1 由? 2 2 ?x +y -x+ 3y=0 ∴ | AB |? (1+ )2 +(0+
1 2
2 2

1 2

3 2 ) ?1 2

………………5 分

1 2

3 2 ) ? 1 ? 2 ,得两圆相交 2

得,A(1,0),B (? , ?

1 2

3 ), 2

3 2 ) = 3 2

………………10 分

第 8 页 共 8 页


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