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高二数学(人教A版)《3.3.2函数的极值与导数》导学案


3.3.2 函数的极值与导数
[自学目标]: 1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义; 2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用. [重点]: 极大、极小值的概念和判别方法。 [难点]: 严格套用求极值的步骤 [教材助读] 一般地,设函 数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有________ 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y
极 大值

=f(x0);如果对 x0 附近的所有的点,都

有________,我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0). 利用导数判别函数的极大(小)值: 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时,判别 f(x0)是极大(小)值的 方法是: ⑴如果在 x0 附近的左侧 f '(x)>0,右侧 f '(x )<0,那么,f(x0)是________ ⑵如果在 x0 附近的左侧 f '(x)<0,右侧 f '(x)>0,那么,f (x0)是________ 注意:导数为 0 的点不一定是极值点. [预习自测] 1.函数 y=f(x)的导数 y/与函数值和极值之 间的关系为( A、导数 y/由负变正 ,则函数 y 由减变为增,且有极大值 B、导数 y/由负变正,则函数 y 由 增变为减,且有极大值 C、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极小值 D、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极大值 2.求函数 y ? x e
2 ?x

)

的极值。

请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,待课堂 上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评] 探究一:极值点两侧导数正负符号有何规律?

1

1.求 f ? x ? ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值 3
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

填写下表并求极值

x
f '( x )

(–∞, –2)

–2

(–2, 2)

2

( 2, +∞)

f (x)

探究二:极值点处导数值(即切线斜率)有何特点? 2.求 y=(x2-1)3+1 的极值
王新敞
奎屯 新疆

[当堂检测] 1.求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6 x2 ? x ? 2 (2) f ( x) ? x3 ? 27 x

(3) f ( x) ? 6 ? 12x ? x3
2

(4) f ( x) ? 3x ? x3

2.已知

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 在 x=±1 时取得极值,且 f(1)=-1,

(1)试求常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x=±1 时函数取得极小值还是极大值,并说明理由.

[拓展提升]
1.函数

f ( x) ? a ln x ? bx2 ? 3x

3 2

的 极 值 点 为 x1 ? 1 , x2 ? 2 , 则 a ?



b?

★2. 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 2bx 在 x ? 1 处有极小值 ?1 , 试求 a , b 的值, 并求出 f ( x) 的单调区间.

★★3.已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C ? 25000 ? 200 x ?

1 2 x (元) ,问: (1)要 40

使平均成本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件 500 元售出, 要使利润最大,应 生产多少件产品?

3


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