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必考解答题——模板成形练4

必考解答题——模板成形练(四)
实际应用题

(建议用时:60 分钟)

1.在边长为 a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿 虚线折起(如图),做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时, 箱子容积最大?最大容积是多少?

3 a-x 解 (1)设箱底边长为 x,则箱高为 h= 3 × 2 (0<x<a), 1 1 1 箱子的容积为 V(x)= x2×sin 60° ×h= ax2- x3(0<x<a). 2 8 8 1 3 2 由 V′(x)=4ax-8x2=0 解得 x1=0(舍),x2=3a, 2 ? ? 且当 x∈?0,3a?时,V′(x)>0; ? ? ?2 ? 当 x∈?3a,a?时,V′(x)<0, ? ? 2 所以函数 V(x)在 x=3a 处取得极大值. 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 这个极大值就是函数 V(x)的最大值:V?3a?= a×?3a?2- ×?3a?3= a3. ? ? 8 ? ? 8 ? ? 54 2 1 所以当箱子底边长为3a 时,箱子容积最大,最大值为54a3. 2.如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是 一个游泳地,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l(宽度不计), 切点为 M,并把该地块分为两部分,现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直 线为 x 轴,建立平面直角坐标系,若池边 AE 满足函数 y=-x2+2(0≤x≤ 2)

4? ?2 的图象,且点 M 到边 OA 距离为 t?3≤t≤3?. ? ?

2 (1)当 t=3时,求直路 l 所在的直线方程; (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值 是多少? ?2 14? 解 (1)M?3, 9 ?,l:12x+9y-22=0 ? ? (2)M(t,-t2+2),过切点 M 的切线 l:y-(-t2+2)=-2t(x-t) t ?t ? 即 y=-2tx+t2+2,令 y=2 得 x=2,故切线 l 与 AB 交于点?2,2?; ? ? t 1 t 1 ?2 4? t 1 ?17 11? 令 y=0,得 x=2+ t ,又 x=2+ t 在?3,3?递减,所以 x=2+ t ∈?12, 6 ?故切 ? ? ? ? ?t 1 ? 线 l 与 OC 交于点?2+ t ,0?. ? ? ∴地块 OABC 在切线 l 右上部分区域为直角梯形, t 1 t? 1? 1 ? 1? 面积 S=2?2-2- t +2-2?· 2=4-t- t =4-?t+ t ?≤2,t=1 时取到等号,Smax ? ? ? ? =2. 3.济南市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的 环境状况进行了实地调研.据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正 比,与到污染源的距离成反比,比例常数为 k(k>0).现已知相距 36 km 的 A, B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数 a,b,它们连线上任意一点 C 处 的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设 AC=x(km). (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)若 a=1 时,y 在 x=6 处取得最小值,试求 b 的值. ka kb 解 (1)设点 C 受 A 污染源污染指数为 x ,点 C 受 B 污染源污染指数为 , 36-x

其中 k 为比例系数,且 k>0. ka kb 从而点 C 处污染指数 y= x + (0<x<36). 36-x k kb (2)因为 a=1,所以,y=x+ , 36-x b ? 36 ? 1 y′=k?-x2+?36-x?2?,令 y′=0,得 x= , ? ? 1+ b 36 ? 当 x∈?0, 1+ ? ? ?时,函数单调递减; b?

? 36 ? ,+∞?时,函数单调递增; 当 x∈? 1 + b ? ? ∴当 x= 36 时,函数取得最小值. 1+ b

又此时 x=6,解得 b=25,经验证符合题意. 所以,污染源 B 的污染强度 b 的值为 25. 4.某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,∠C=90° ,AB=200 米,BC=100 米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F, 如图(1),使得 EF∥AB,EF⊥ED,在△DEF 喂食,求△DEF 面积 S△DEF 的最 大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2), 建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,求△DEF 边长的最小值.

解 (1)Rt△ABC 中,∠C=90° ,AB=200 米,BC=100 米.

BC 1 ∴cos B= AB =2,可得 B=60° ∵EF∥AB,∴∠CEF=∠B=60° CE 设CB=λ(0<λ<1),则 CE=λCB=100λ 米, Rt△CEF 中,EF=2CE=200λ 米, 3 C 到 FE 的距离 d= 2 CE=50 3λ 米, 3 ∵C 到 AB 的距离为 2 BC=50 3米, ∴点 D 到 EF 的距离为 h=50 3-50 3λ=50 3(1-λ)米 1 可得 S△DEF=2EF· h=5 000 3λ(1-λ)米 2 1 1 1 ∵λ(1-λ)≤4[λ+(1-λ)]2=4,当且仅当 λ=2时等号成立, 1 ∴当 λ=2时,即 E 为 AB 中点时,S△DEF 的最大值为 1 250 3米 2 (2)设正△DEF 的边长为 a,∠CEF=α, 则 CF=a· sin α,AF= 3-a· sin α. 设∠EDB=∠1,可得 ∠1=180° -∠B-∠DEB=120° -∠DEB,α=180° -60° -∠DEB=120° -∠ DEB ∴∠ADF=180° -60° -∠1=120° -α 3-asin α a 在△ADF 中,sin 30° = sin∠ADF 3-asin α a 即1= , sin?120° -α? 2 化简得 a[2sin(120° -α)+sin α]= 3 3 3 3 21 3 ∴a= = ≥ = 7 (其中 φ 是满足 tan φ= 2 的锐 2sin α- 3cos α 7sin?α-φ? 7 角).

21 ∴△DEF 边长最小值为 7 米.


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