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高中数学第三章空间向量与立体几何3-1空间向量及其运算3-1-3空间向量的数量积运算优化练习新人教A版选修2_1

高中数学第三章空间向量与立体几何 3-1 空间向量及其运算 3-1-3 空间向量的数量积运算优化练习新人教 A 版选修 2_1

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于

a,

E,F,G 分别是 AB,AD,DC 的中点,则下列向量的



量积等于 a2 的是( )

A.2·→AC

B.2·→DB

C.2·→AC

D.2·→CB

解析:2·=-a2,故 A 错;2·=-a2,故 B 错;2·=-a2,故 D 错,

只有 C 正确.

答案:C

2.设平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知(+-2 )·(-)=0,

则△ABC 是( )

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

解析:(+-2 )·(-)

=(-+-)·(-)

=(+)·(-)

1/9

=-=0

∴||=||,∴△ABC 是等腰三角形.

答案:B

3.已知向量 a,b,c 两两交角为 60°,其模都为 1,则|a-b+2c|等

于( )

A.

B.5

C.6 D. 6

解析:因为|a|=|b|=|c|=1,

〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,

所以 a·b=b·c=a·c=,

a2=b2=c2=1,

所以|a-b+2c|= -b+

= a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c

= 1+1+4-2×12+4×12-4×12

==.

答案:A

4.已知平行四边形 ABCD 中,AD=4,CD=3,∠D

=60°,

PA⊥平面 ABCD,且 PA=6,则 PC=( )

A.3

B.7

C.4

D.6

解析:||2=·=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42

+32+2||||cos 120°=49.

答案:B

2/9

5.已知空间向量 a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若 2a-b 与 b 垂直,

则|a|等于( )

A.

B.

37 2

C.

D.3 2 5

解 析 : ∵a = (1 , n,2) , b = ( - 2,1,2) . ∴2a - b = (2,2n,4) - ( -

2,1,2)

=(4,2n-1,2),∵2a-b 与 b 垂直,∴(2a-b)·b=0,即

-2×4+1×(2n-1)+4=0,∴n=,故|a|==.

答案:D

6.在四面体 OABC 中,棱 OA、OB、OC 两两垂直,且 OA=1,OB=2,OC

=3,G 为△ABC 的重心,则·(++)=________.

解析:由已知·=·=·=0,且=,

故·(++)

=(++)2

=(||2+||2+||2)

=(1+4+9)=.

答案:134

7.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λ b,〈a,b〉=135°,

m⊥n,则 λ =________.

解析:因为 m⊥n,所以 m·n=0,

即(a+b)·(a+λ b)=0,

所以 a2+(λ +1)a·b+λ b2=0,

3/9

所以(3)2+(λ +1)×3×4×cos 135°+λ ·42=0, 所以 18-12(λ +1)+16λ =0, 所以 4λ +6=0, λ =-. 答案:-32
8.已知空间向量 a,b 满足|a|=|b|=|a-b|=2,则|3a-2b|= ________. 解析:∵|a|=|b|=|a-b|=2, ∴|a-b|2=4,即 a2-2a·b+b2=4, ∴a·b=2, ∴|3a-2b|2=(3a-2b)2=9a2-12a·b+4b2=28, 故|3a-2b|=2. 答案:2 7 9.如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边 形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD.求证: PA⊥BD. 证明:∵=-,=+. ∴·=(-)·(+) =2+·-·-·→DC =DA2+DA·2DA·cos 120° =0. ∴⊥,即 PA⊥BD.
4/9

10.如图,已知线段 AB⊥平面 α ,BC? α ,CD⊥BC,

DF⊥平面 α ,且∠DCF=30°,D 与 A 在 α 的同侧,

若 AB=BC=CD=2,求 A,D 两点间的距离.

解析:∵=++,

∴||2=·→AD

=(++)·(++)=||2+||2+||2+2·+2·+2·①

∵AB=BC=CD=2,∴||=||=||=2



又∵AB⊥α ,BC? α ,∴AB⊥BC.

∴·=0.



∵CD⊥BC,∴·=0.



把②③④代入①可得||2=4+4+4+2·C→D

=12+2||·||cos〈,〉

=12+8cos〈,〉.



∵∠D CF=30°,从而∠CDF=60°.

又∵AB⊥α ,DF⊥α ,∴AB∥DF.

∴〈,〉=〈,〉=60°.

∴〈,〉=120°.代入⑤式得到

||2=12+8cos 120°=8,∴||=2.

∴A,D 两点间距离为 2.

[B 组 能力提升]

1.若(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),则 cos〈a,b〉为( )

5/9

A.

B.-

C.-

D.

3 3

解析:由(a+b)·(2a-b)=0,(a-2b)·(2a+b)=0 得

2a2+a·b-b2=0,



2a2-3a·b-2b2=0,



所以 8a2-5b2=0,a·b=-b2,

所以 cos〈a,b〉===-.

答案:B

2 . 三 棱 柱 ABC?A1B1C1 中 , 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 , ∠BAA1 =

∠CAA1=60°,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )

A.

B.-

C.

D.

3 3

解析:设底面边长为 a,

因为=+,

||2=(+)2

=2+2·+2

=a2+2×a×acos 60°+a2

=3a2,

∴||=a,

B→C1=+=+(-)=+-,

∴||2=(+-)2

=2+2+2+2·-2·-2·A→A1

=a2+a2+a2+a2-a2-a2

=2a2,

6/9

∴||=a,

A→B1·=(+)·(+-)

=(+)·+(+)·(-)

=·+·+2-2

=a×acos 60°+a×acos 60°+a2-a2

=a2.

∴cos〈,〉===.

答案:A

3.在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,AB=,AA1=1,AD=1,给出下列命

题:

①异面直线 AD 与 CB1 所成的角等于向量与的夹角;

②与的夹角为;

③⊥;

④cos

.

其中正确的命题是________.

解析:①异面直线 AD 与 CB1 所成的角为,而向量与的夹角为;②与的

夹角为钝角,与直线 AB1 与 BB1 所成的角互补,其值为,所以正确;

③⊥显然正确;

, =- , =-.

答案:②③

4.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,把△ADC

沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60°角,则 BD 的长为________.

解析:取基底{,,C}

则=++C→D

7/9

∴||2=2=2+2+2+2·+2·+2·C→D

=12+12+12+2×1×1×cos〈,〉

=3+2cos〈,〉,

当〈,〉=60°时,

||2=3+2×=4,||=2.

当〈,〉=120°时,

||2=3+2×(-)=2,||=.

答案:2 或 2

5.如图,BB1⊥平面 ABC,且△ABC 是∠B=90°的等



直角三角形,?ABB1A1、?BB1C1C 的对角线都分别相



垂直且相等,若 AB=a,求异面直线 BA1 与 AC 所成



角.

解析:·=(+)·(-)

=·-+·-·B→A

=0-a2+0-0=-a2,

又||=a,||=a,

于是 cos〈,〉===-.

所以向量与的夹角是 120°,

故异面直线 BA1 与 AC 所成的角等于 60°.

6.如图,正三棱柱 ABC?A1B1C1 中,底面边长为.

(1)设侧棱长为 1,求证:AB1⊥BC1;

(2)设 AB1 与 BC1 的夹角为,求侧棱的长.

解析:(1)证明:=+,=+.

8/9

∵BB1⊥平面 ABC, ∴·=0,·=0. 又△ABC 为正三角形, ∴〈,〉=π -〈,〉=π -=. ∵·=(+)·(+) =·+·+2+·→BC =||·||·cos〈,〉+2=-1+1=0, ∴AB1⊥BC1. (2)由(1)知·=||·||·cos〈,〉+2=2-1. 又||= = =||, ∴cos〈,〉==, ∴||=2,即侧棱长为 2.
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