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高一数学下期末考试题附答案


高一下数学期末试题
一、选择题 (1) 1 ? sin 2 4400 化简为 ( ) (A)cos 220
0
0 0 0

(B)cos80

(C)sin 220

(D)sin 80

(2)化简 sin( x ? y)sin x ? cos( x ? y) cos x 等于( ) (A) cos(2 x ? y) (B) cos y (C) sin(2 x ? y) ) (D) sin y

(3)下列函数中是周期为 ? 的奇函数的为( (A) y ? 1 ? 2 sin 2 x (B) y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) (C) y ? tan

x (D) y ? 2 sin(2 x ? ? ) 2

(4)为了得到函数 y ? 3sin ?

?? ?? ?1 ?1 x ? ? , x ? R 的图象,只需把函数 y ? 3sin ? x ? ? 的图象 5? 5? ?2 ?2
(B)向右平行移动

上所有点( )(A)向左平行移动

2? 个单位长度 5 4? (C)向左平行移动 个单位长度 5

2? 个单位长度 5 4? (D)向右平行移动 个单位长度 5

(5)已知 tan ? ? 2 , tan ? ? 3 ,且 ? 、 ? 都是锐角,则 ? + ? 等于( ) (A)

? 4

(B)

3? 4

(C)

? 3? 或 4 4

(D)

3? 5? 或 4 4

(6) 某程序框图如图所示, 现输入如下四个函数:f ( x) ? x2 ,f ( x) ?

1 , x

f ( x) ? ex , f ( x) ? sin x ,则可以输出的函数是
A. f ( x) ? x C. f ( x) ? e
2

B. f ( x) ?

1 x

x

D. f ( x) ? sin x

(7)已知 a=(2,3),b=(x,-6),若 a∥b,则 x 等于( ) (A)9 (B)4 (C)-4 (D) -9 (8)已知 a、b 是两个单位向量,下列四个命题中正确的是( ) (A)a 与 b 相等 (B)如果 a 与 b 平行,那么 a 与 b 相等 (C)a·b=1 (D)a2=b2 (9)在△ABC 中,已知 AB =(3,0), AC =(3,4),则 cos B 的值为( ) (A)0 (B)

3 5

(C)

4 5

(D)1

(10)已知|a|=3,|b|=4(且 a 与 b 不共线),若(ak+b)⊥(ak-b),则 k 的值为( ) (A)-

3 4

(B)

3 4

(C)±

3 4

(D)±

4 3

(11)已知|a|=3,b=(1,2),且 a∥b,则 a 的坐标为( ) (A)(

3 5 6 5 3 5 6 5 3 5 6 5 , )(B)(- ,- )(C)( ,- ) 5 5 5 5 5 5 3 5 6 5 3 5 6 5 , )或(- ,- ) 5 5 5 5 ? 1? ? ,若 a·b≥0,则实数 x 的取值范围为( ) ? x?
2 3 2 3

(D)(

(12)已知向量 a=(1,-2),b= ? 3, (A) (0, ) 二、填空题

2 3

(B) (0, ]

2 3

(C) (??, 0) ∪ [ , ??) (D) (??, 0] ∪ [ , ??)

(13)在三角形 ABC 中,已知 a、b、c 是角 A、B、C 的对边,且 a=6,b=3 2 ,A= 角 B 的大小为 (14)已知 cos ? x ? .

? ,则 4

? ?

??

3 ? ? ,则 sin 2 x 的值为 4? 5

.

(15)若将向量 a ? (2,1) 绕原点按逆时针方向旋转 (16)已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 三、解答题 (17)已知 cos ? ? ?

? ,则向量 2a-3b 与 a+5b 的夹角大小为 3

? ,得到向量 b ,则向量 b 的坐标是 4
.

12 ? 3? ,? ? ? ? , 13 2 ?

?? ? ? ? ,求 tan ? ? ? ? 的值. 4? ? ?

(18)已知函数 y ? Asin ??x ? ? ? , x ? R (其中 A>0, ? >0, | ? | <

? ) 的部分图象 2
2 2

y

如图所示,求这个函数的解析式.

O

2

6

x

(19)(本小题满分 12 分) 某市为增强市民的环境保护意 识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随 机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 ? 20,25? ,第 2 组 ? 25,30? , 率分布直方图如图所示. (Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率. (Ⅱ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿 者参广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (III)在(Ⅱ)的条件下,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传 经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率. 第 3 组 ?30,35? ,第 4 组 ?35,40? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频

(20)已知|a|=3,|b|=2,且 3a+5b 与 4a-3b 垂直,求 a 与 b 的夹角.

(21)已知向量 a=( cos

3x 3x x x ? , sin ),b=( cos ,- sin ),且 x ? [0, ] . 2 2 2 2 2

(Ⅰ)用 cosx 表示 a·b 及|a+b|; (Ⅱ)求函数 f(x)=a·b+2|a+b|的最小值.

(22)函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0,? ?

?
2

),一段图像如下图所示:

(Ⅰ)分别求出A、 ? 、 ? 的值并确定函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调递减区间,并指出 f ( x) 取最大值时 x 的集合; (Ⅲ) 把 f ( x) 的图像向左至少平移多少个单位, 才能使得到的图像所对应的函数 g ( x) 为偶 函数?

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 (13) 1 B 2 B 3 D 4 D 5 B 6 D 7 C 8 D 9 A 10 D 11 D 12 C

? 6

(14)

7 25

(15) (

2 3 2 , ) 2 2

(16)

? 2

三、解答题 (17)解:∵ cos ? ? ?

12 ? 3? ,且 ? ? ? ? , 13 2 ?

5 ? ? ,∴ sin ? ? ? 13 , ?

5 ?1 5 7 ? ? tan ? ? 1 ? 12 则 tan ? ? , ∴ tan ? ? ? ? = = =- . 5 12 17 4 ? 1 ? tan ? ? ?1 12 T (18)解:(Ⅰ)根据题意,可知 A= 2 2 , 且 =6-2=4,所以 T=16, 4

于是

?=

2? ? ?? ? ? 将点(2, 2 2 )代入 y ? 2 2 sin ? x ? ? ? ,得 T 8 ?8 ?

? ? ?? ? ?? ? 2 2 ? 2 2 sin ? ? 2 ? ? ? , 即 sin ? ? ? ? =1, 又 | ? | < ,所以 ? = . 2 4 ?8 ? ?4 ?
从而所求的函数解析式为: y ? 2 2 sin ?

?? ?? x ? ?, x ? R 4? ?8

(19)解: (Ⅰ )由题设可知,第 3 组的频率为 0.06×5=0.3, 第 4 组的频率为 0.04×5=0.2, 第 5 组的频率为 0.02×5=0.1. …………………2 分 (Ⅱ)第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1×100=10. 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组 抽取的人数分别为: 30 20 10 第 3 组: ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60 所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. …………………6 分 (III) 记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C 1. 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. …………………9 分 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有 9 种, 9 3 = . …………………12 分 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 15 5 (20)解:∵ 3a+5b 与 4a-3b 垂直, ∴ (3a+5b)·(4a-3b)=0, 即 12|a|2+11a·b-15|b|2=0, 由于|a|=3,|b|=2,∴ a·b=- 则 cos ? a, b ??

48 , 11

8 a ?b ? 8? =- , 故 a 与 b 的夹角为 arccos ? ? ? . 11 | a |?| b | ? 11 ? 3x x 3x x cos - sin sin = cos 2 x =2cos2x-1, 2 2 2 2

(21)解:(Ⅰ)a·b= cos

3x x? ? 3x x? ? ? cos ? ? ? sin ? sin ? = 2 ? 2cos 2 x =2| cos x |, |a+b|= ? cos 2 2? ? 2 2? ?
∵ x ? [0,

2

2

?
2

] ,∴ cos x ≥0,∴ |a+b|=2 cos x .

(Ⅱ)f(x)=a·b+2|a+b|=2cos2x-1+4 cos x =2( cos x +1)2-3, ∵ x ? [0,

?

2

] ,∴ 0≤ cos x ≤1, ∴ 当 cos x =0 时,f(x)取得最小值-1.

(22)(Ⅰ )由图像可知A=3,

3 ? 15 T ? 4? ? ? ? ,∴ T ? 5? 4 4 4 2? 2? 2 ? ? ∴? ? …………………… 2分 T 5? 5 ? 2 ? ? ∵图像过点( ,0),则 3 sin( ? ? ? ) ? 3 sin( ? ? ) ? 0 5 4 10 4
∵ ∴ ? ? k? ? 又? ?

?

? ? ,∴ ? ? ? 2 10 2 ? ∴ f ( x) ? 3 sin( x ? ) 5 10
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? 3 sin( 故

10

(k ? Z )
…………………… 4分 …………………… 5分

?
2

? 2k? ?

3? ? 5k? ? x ? 4? ? 5k? (k ? Z ) 2 3? ? 5k?, 4? ? 5k? ] (k ? Z ) … 7分 所以 f ( x) 的单调递减区间为 [ 2 2 ? 当 sin( x ? ) ? 1 时, f ( x) 取最大值3 5 10 2 ? ? 3? ? ? 2k? (k ? Z ) ,所以 x ? ? 5k? (k ? Z ) 此时 x ? 5 10 2 2 3? ? 5k? (k ? Z )} ……… 9分 则 f ( x) 取最大值时, x 的取值集合是 {x | x ? 2 2 ? ? 2 ? (Ⅲ)因为 f ( x) ? 3 sin( x ? ) ? 3 cos[ ? ( x ? )] 5 10 2 5 10 3? 2 2 3? ? 3 c o s ( ? x) ? 3 c o s ( x ? ) 5 5 5 5
解得

2 ? 3? x? ? ? 2k? (k ? Z ) 5 10 2

2 ? x? ) 5 10

2 3? ? 3 cos[ ( x ? )] 5 2
所以把函数 f ( x) 的图像至少向左平移 为偶函数。…………………… 12分

…………………… 11分

3 2 ? 个单位,使得到的图像所对应的函数 g ( x) ? 3 cos x 5 2


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