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山东省青岛市2017年高三统一质量检测(一模)数学理试题含答案


青岛市高三统一质量检测

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

= {x || x ? 1|? 1} , B ? {x | x ? ?1} ,则 (?R A) ? B ? 1. 已知集合 A
A. [?1, 0] B. [?1, 0) C. (?2, ?1) D. (?2, ?1]

2. 设 (1 ? i)( x ? yi) ? 2 ,其中 x, y 是实数, i 为虚数单位,则 x ? y ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 2

3. 已知 ? ? R ,向量 a ? ? 3, ? ? , b ? ? ? ? 1, 2 ? ,则“ ? ? 3 ”是“ a / / b ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

?

?

4. 中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外” ,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中 记载的算筹, 古代是用算筹来进行计算, 算筹 是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算, 算 筹的摆放形式有纵横两种形式,如图, 当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样, 把各个数位的数码从左到右排列, 但各位数码 的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示, 中国古代的算筹数码

1

2

3

4

5

6

7

8

9

纵式 横式

以此类推.例如 6613 用算筹表示就是,则 8335 用算筹可表示为 A. C. B. D.
开始 输入 x

5. 已知实数 x ?[1,10] ,执行如右图所示的程序框图, 则输出的 x 不大于 63的概率为

n ?1 n ? n ?1 x ? 2x ? 1

3 10 3 C. 5
A.

B.

1 3 2 D. 3

n ? 3?
否 输出 x 结束



?x ? y ? 2 ? 0 ? 6. 若 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? y ? 2 x 的最大值为 ?y ? 0 ?
A. 8 B. 4 C. 1 D. 2
2

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

8 A. ? 8? 3
C.

16 ? 8? B. 3
D.

2

主视图

4

侧视图

8 ? 16? 3

16 ? 16? 3

2 2

tan A 2c ? ,则 A ? 8. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 1 ? tan B b
A. 30 ? B. 45? C. 60 ? D. 120?

俯视图

9. 已知 x ? 1 , y ? 1 ,且 lg x , A.最小值 10

1 , lg y 成等比数列,则 xy 有 4
C.最大值 10 D.最大值 10

B.最小值 10

3 2 x2 y 2 2 2 10. 已知双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , 圆 C2 : x ? y ? 2ax ? a ? 0 , 若双曲线 4 a b

C1 的一条渐近线与圆 C2 有两个不同的交点,则双曲线 C1 的离心率的范围是
A. (1,

2 3 ) 3

B. (

2 3 , ??) 3

C. (1, 2)

D. (2, ??)

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已知变量 x , y 具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若 y 关于 x 的线性

? ? 1.3x ? 1 ,则 m ? 回归方程为 y



x
y

1

2

3

4

0.1

1.8

m

4

12. 设随机变量 ? ~ N (?, ? 2 ) ,且 P(? ? ?3)=P(? ??)=0.2 , 则 P(?1 ? ? ??)= ;

?2 x , x ? 2, 13. 已知函数 f ( x) ? ? 则 f (log2 7) ? ? f ( x ? 1), x ? 2,
14. 已知 m ?



?

?
2 0

9 cos xdx ,则 (

1 ? x) m 展开式中常数项为 x



15. 已知函数 f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 2 x3 ? ,g ( x) ? 1 ? x ? ? , 设函数 F ( x) ? f ( x ? 4) ? g ( x ? 3) , 2 3 2 3


且函数 F ( x) 的零点均在区间 [ a, b]( a ? b, a, b ? Z )内,则 b ? a 的最小值为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

) ? cos(2 x ? ) ? 2sin x cos x . 3 6

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 图象的对称轴方程;

? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原 12 ? 来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 y ? g ( x) 在 [ , 2? ] 上的值域. 3
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 an?1 ? 2Sn ? 1 , n ? N . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ? log3 a2 n , bn ?
?

1 ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,若对任意 n ? N? , cn ? cn ? 2

? ? Tn 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 3 的菱形,?ABC ? 60? ,PA ? 平面 ABCD , PA ? 3 , F 是棱 PA 上的一个动点, E 为 PD 的中点. (Ⅰ)若 AF ? 1 ,求证: CE / / 平面 BDF ; (Ⅱ)若 AF ? 2 ,求平面 BDF 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值.

P E F A D

B

C

19. (本小题满分 12 分) 某科技博览会展出的智能机器人有 A, B, C , D 四种型号, 每种型号至少有 4 台.要求每 位购买者只能购买 1 台某种型号的机器人,且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的. 现在有 4 个人要购买机器人. (Ⅰ)在会场展览台上,展出方已放好了 A, B, C , D 四种型号的机器人各一台,现把他们排 成一排表演节目,求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率; (Ⅱ)设这 4 个人购买的机器人的型号种数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 数的底数. (Ⅰ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 [?1,1] 上极值点的个数; (Ⅱ)令函数 p( x) ? f ?( x) ? g ( x) ,若 ?a ? [1, 3] ,函数 p ( x) 在区间 [b ? a ? ea , ??) 上均 为增函数,求证: b ? e3 ? 7 .

1 2 x ? ax , g ( x) ? ex , a ? R 且 a ? 0 , e ? 2.718? , e 为自然对 2

21. (本小题满分 14 分)

x2 2 已知椭圆 ? : 2 ? y ? 1 (a ? 1) 的左焦点为 F 右顶点为 A 上顶点为 B1 , 过F 1, 1, 1 、A 1、 a

B1 三点的圆 P 的圆心坐标为 (
(Ⅰ)求椭圆的方程;

3 ? 2 1? 6 , ). 2 2

(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m ( k , m 为常数, k ? 0 )与椭圆 ? 交于不同的两点 M 和 N . (ⅰ)当直线 l 过 E (1, 0) ,且 EM ? 2EN ? 0 时,求直线 l 的方程; (ⅱ)当坐标原点 O 到直线 l 的距离为

???? ?

??? ?

?

3 时,求 ?MON 面积的最大值. 2

青岛市高三统一质量检测

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. B D A B D B A C B A 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 3.1 ; 12. 0.3 ; 13.

7 ; 2

14. ?84 ;

15. 6 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ?

?

? sin 2 x cos

?
3

? cos 2 x sin

?

) ? cos(2 x ? ) ? 2sin x cos x 3 6

?

3

? cos 2 x cos

?

? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) , ?????????????????4 分 3 ? ? ? 1 + k? , k ? Z , 由 2 x ? ? ? k? , k ? Z 可得: x ? 3 2 12 2 ? 1 + k? , k ? Z .????????????6 分 ∴函数 f ( x ) 图象的对称轴方程为 x ? 12 2 ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ,将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位得到 3 12 ? 函数 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象, 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍, 纵坐标不 6 1 ? 变,得到函数 g ( x) ? 2sin( x ? ) 的图象,????????????????10 分 2 6 ? ? 1 ? 7 ∵ ? x ? 2? ,∴ ? x ? ? ? 3 3 2 6 6 1 ? ? 2 2 ∴当 x ? ? ,即 x ? ? 时, ymax ? g ( ? ) ? 2 2 6 2 3 3 1 ? 7 当 x ? ? ? ,即 x ? 2? 时, ymin ? g (2? ) ? ?1 2 6 6 ∴函数 y ? g ( x) 的值域为 [?1, 2] ?????????????????????12 分
命题意图:本题考查三角变换,三角函数的对称轴的性质,图象平移,最值问题。 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, an?1 ? 2Sn ? 1 , an ? 2Sn?1 ? 1 两式相减得: an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 2an

?

6

? sin 2 x sin

?

6

+sin 2 x ,

?

an ?1 ?3 an

???????????????????????????????3 分

? a1 ? 1 ,?a2 ? 2S1 ? 1 ? 2a1 ? 1 ? 3 ,即
从而 an ? 3n?1

a2 ?3 a1

?{an } 是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列
?????????????????????????????5 分 (Ⅱ)? cn ? log3 a2 n ,? cn ? 2n ? 1 ,?cn?2 ? 2n ? 3

1 1 1 ? ( ? ) ? 2n ?1?? 2n ? 3? 4 2n ?1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ) ∴ Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? 4 1 5 3 7 5 9 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ????????????10 分 = (1 ? ? ? ) = ? ( 3 4 2n ? 1 2n ? 3 4 3 2n ? 1 2n ? 3 1 由于 Tn 随着 n 的增大而增大,所以 Tn 最小值为 T1 ? 5 1 ? 所求 ? 的取值范围为: ? ? ??????????????????????12 分 5 命题意图:本题考查 an , S n 的关系,等比数列的通项公式,裂项相消求和及恒成立问题。 bn ?
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:过 E 作 EG / / FD 交 AP 于 G ,连接 CG , 连接 AC 交 BD 于 O ,连接 FO . ∵ EG / / FD , EG ? 面 BDF , FD ? 面 BDF , ∴ EG / / 面 BDF , ???????????2 分 ? 底面 ABCD 是菱形,? O 是 AC 的中点, ? E 为 PD 的中点,? G 为 PF 的中点, ? AF ? 1 , PA ? 3 ,? F 为 AG 的中点,

1

P

z
E

G
F A

D

O ? OF / / CG C y x B ? CG ? 面 BDF , OF ? 面 BDF , ∴ CG / / 面 BDF ,????????????????????????????4 分 又 EG ? CG ? G , EG, CG ? 面 CGE , ∴面 CGE / / 面 BDF , 又 CE ? 面 CGE ,∴ CE / / 面 BDF , ????????????????????5 分 (Ⅱ)? 底面 ABCD 是边长为 3 的菱形,? AC ? BD 以 O 为原点, OB 所在的直线为 x 轴,建立坐标系如图所示, ? 底面 ABCD 是边长为 3 的菱形, ?ABC ? 60? , ? AC ? 3 , BD ? 3 3 又? PA ? 3 , PA ? 面 ABCD ,

3 3 3 3 3 3 , 0, 0) , C (0, , 0) , P(0, ? ,3) , 0, 0) , D(? 2 2 2 2 3 ??????????????????????7 分 ? AF ? 2 ,? F (0, ? , 2) , 2 ?? 设平面 BDF 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ??? ? ??? ? 3 3 3 , ? , 2) BD ? (?3 3,0,0) , BF ? (? 2 2

? B(

?? ??? ? ? ? x1 ? 0 n1 ? BD ? ?3 3 x1 ? 0 ? ? 由 ? ?? ??? ? ?3 3 ? 3 3 3 3 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ?n1 ? BF ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 ?? 3 3 令 y1 ? 2 ,则 z1 ? ,取 n1 ? (0, 2, ) ????????????????????9 分 2 2 ?? ? 设平面 PCD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ??? ? ??? ? 3 3 3 , , ?3) PC ? (0,3, ?3) , PD ? (? 2 2 ?? ? ??? ? ? n2 ? PC ? 3 y2 ? 3 z2 ? 0 ? ? ? y2 ? z 2 由 ? ?? ? ? ??? ? ? 3 3 3 ? x2 ? y2 ? 3 z2 ? 0 ? n2 ? PD ? ? ?? 3x2 ? y2 ? 2 z2 ? 0 ? 2 2 ?? ? 令 x2 ? 3 ,则 y2 ? z2 ? ?3 ,取 n2 ? ( 3, ?3, ?3) ??????????????11 分 设 平 面 B D F 与 平 面 P C D 所 成 锐 二 面 角 的 平 面 角 为 ? , 则 9 ?? ?? ? ?6 ? ?? ?? ? n1 ? n2 2 ? 21 ????????????12 分 ? ? cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ? ?? ?? 5 5 | n1 | ? | n2 | ? 21 2
命题意图:本题考查线面平行的判定定理,面面平行的性质定理, 用向量求二面角。 19. (本小题满分 12 分)
4 解: (Ⅰ) 4 台机器人排成一排的情况有 A4 种,

2 2 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的情况有 A2 A2
2 2 A2 A2 1 ? ???????????????????????4 分 4 A4 6 (Ⅱ)由题意: ? ? 1, 2,3, 4

故所求的概率为 P ?

P(? ? 1) ?

1 C4 1 ? 4 4 64

1 2 1 1 3 1 1 C4 C4C3 ? C4 C4C3 21 2 P(? ? 2) ? ? 4 4 64 2 1 2 C C4 A3 9 P(? ? 3) ? 4 4 ? 4 16 4 A 3 P(? ? 4) ? 4 ? 4 4 32 所以 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

4

1 64

21 64

9 16

3 32

????????????????????????????????10 分

所以 E (? ) ? 1?

1 21 9 3 175 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? ??????????????12 分 64 64 16 32 64

命题意图:本题考查排列组合的邻与不邻、分组问题,随机变量的分布列及期望问题。 20. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ? ax)e
2

1 2

x

1 2 1 2 x [ x ? 2(a ? 1) x ? 2a]e x ?????????1 分 2 2 令 h?( x) ? 0 ,得 x2 ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 0
则 h?( x) ? ( x ? a)e ? ( x ? ax)e ?
x

因为 ? ? 4(a ? 1)2 ? 8a ? 4a2 ? 4 ? 0
2 2 所以 x1 ? ?( a ? 1) ? a ? 1, x2 ? ?( a ? 1) ? a ? 1

令 v( x) ? x2 ? 2(a ? 1) x ? 2a ,则 v(?1) ? 1 ? 2(a ? 1) ? 2a ? ?1 ? 0 所以 v( x) ? x2 ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 0 的两个根 x1 ? ?1, x2 ? ?1 ??????????3 分 因为 v(1) ? 1 ? 2(a ? 1) ? 2a ? 4a ? 3 所以当 4a ? 3 ? 0 ,即 a ? ?

h( x) 在 (?1,1) 单调递减,不存在极值点????????????????????4 分 3 当 4a ? 3 ? 0 ,即 a ? ? 时, x2 ? 1 ,在 (?1 , x2 ) 上 v( x) ? 0 ,h?( x) ? 0 ,h( x) 在 (?1, x2 ) 4 上单调递减,在 ( x2 ,1) 上 v( x) ? 0 , h?( x) ? 0 , h( x) 在 ( x2 ,1) 上单调递增,所以 h( x) 有一
个极小值点 x2 ??????????????????????????????6 分 综上可知,当 a ? ? 当a ? ?

3 时, x2 ? 1 ,? 在 (?1,1) 上 v( x) ? 0 , h?( x) ? 0 , 4

3 时, h( x) 的极值点个数为 0 ; 4

3 时, h( x) 的极值点个数为 1 ????????????????????7 分 4 x (Ⅱ)由题意 p( x) ? f ?( x) ? g ( x) ? ( x ? a)e x x x 则 p?( x) ? e ? ( x ? a)e ? ( x ? a ? 1)e
所以 ( x ? a ? 1)e ? 0 在 [b ? a ? e , ??) 上恒成立 ???????????????9 分
x a

化简得 x ? a ? 1 ? 0 即 x ? ?a ? 1 在 [b ? a ? e , ??) 上恒成立
a

所以 b ? a ? e ? ?a ? 1 即 b ? e ? 2a ? 1 ??????????????????11 分
a a

令 u(a) ? e ? 2a ?1 ,则 u?(a) ? e ? 2
a a

因为 a ? [1,3] ,所以 u?(a) ? 0 , u (a) 在 [1,3] 上单调递增 所以 u(a) ? u(3) ? e ? 7 ,所以 b ? e ? 7 ?????????????????13 分 命题意图:本题考查函数的极值,二次函数图象,恒成立,分类讨论问题。
3
3

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)? A 1 (a,0) , B1 (0,1) ,? A 1B 1 的中点为 ( , ) , A 1B 1 的斜率为 ? ∴ A1B1 的垂直平分线方程为 y ?

a 1 2 2

1 a

1 a ? a( x ? ) ?????????????????2 分 2 2 P 在 A1B1 的垂直平分线上. ∵圆 P 过点 F 1、 A 1、 B 1 三点,∴圆心

1? 6 1 3? 2 a ? ? a( ? ) ,解得 a ? 3 或 a ? ? 2 (舍) 2 2 2 2 2 x ? 椭圆的方程为: ? y 2 ? 1????????????????????????5 分 3 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ?

? x2 2 ? ? y ?1 由? 3 可得: (3k 2 ? 1) y 2 ? 2my ? m2 ? 3k 2 ? 0 ? y ? kx ? m ? 2m m 2 ? 3k 2 , y1 y2 ? ??③?????????????????6 分 ? y1 ? y2 ? 2 3k ? 1 3k 2 ? 1 (ⅰ) ? 直线 l 过 E (1, 0) ,? k ? m ? 0 ??④ ???? ? ??? ? ? ? EM ? 2EN ? 0 ,?( x1 ?1, y1 ) ? 2( x2 ?1, y2 ) ? (0,0)
从而 y1 ? 2 y2 ? 0 ??⑤ 由③④⑤可得: k ? 1, m ? ?1 ,或 k ? ?1, m ? 1

? 直线 l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 ???????????????????9 分
(ⅱ) ? 坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 , 2

?

|m| k ?1
2

?

3 3 ? m 2 ? ( k 2 ? 1) ??⑥ 4 2

结合③: | MN |? 1 ?

1 1 | y2 ? y1 |? 1 ? 2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 2 k k

? 1?

1 2m 2 m2 ? 3k 2 ??⑦ ? ( ) ? 4 ? k2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

由⑥⑦得: | MN |?

3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) (3k 2 ? 1) 2

1 3 3 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ??????????????11 分 S?MON ? ? | MN | ? ? 2 2 4 (3k 2 ? 1) 2 2 令 3k ? 1 ? t ? (1, ??)
则 S?MON ?

3 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) 3 (t ? 2)(3t ? 2) ? 2 2 4 (3k ? 1) 4 t2

3 3t 2 ? 4t ? 4 3 1 1 3 1 1 ? ?4( )2 ? 4( ) ? 3 ? ?4( ? )2 ? 4 2 4 t 4 t t 4 t 2 1 1 3 3 2 当 ? ,即 3k ? 1 ? 2 ,亦即 k ? ? 时, ?MON 面积的最大值为 ????14 分 t 2 3 2 ?
命题意图:本题考查圆与椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,三角形面积及最值问题。


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