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中山市高二级2010—2011学年度第一学期期末统一考试(数学文)


中山市高二级 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题
注意事项:

共 50 分)

1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.不等式 x 2 ? 5 x ≥ 0 的解集是 A. [0,5] B. [5, +∞ ) C. (?∞,0] D. (?∞,0] ∪ [5, +∞)
1 3 5 7 , ? 2 , 2 , ? 2 ,则它的一个通项公式为 2 2 4 8 16

2.已知一个数列的前四项为
A. (?1)n 3.椭圆

2n ? 1 (2n) 2

B. (?1)n ?1

2n ? 1 (2n) 2

C. (?1)n

2n ? 1 22 n

D. (?1)n ?1

2n ? 1 22 n

x2 y2 + = 1 的离心率为 25 16 B. 4 5
B. a = 0 且 b = 0
2

A.

3 5

C.

3 4

D.

16 25

4. 圆 ( x ? a )2 + ( y ? b) 2 = r 2 经过原点的一个充要条件是

A. ab = 0
C. a + b = r
2 2

y

D. r = 0

y = f '( x)
-2 -4 O 3 4 x

5.函数 f(x)的导函数 f '( x) 的图象如

右图所示,则下列说法正确的是
A.函数 f ( x) 在 (?2,3) 内单调递增 B.函数 f ( x) 在 (?4, 0) 内单调递减 C.函数 f ( x) 在 x = 3 处取极大值 D.函数 f ( x) 在 x = 4 处取极小值
高二数学(文科)

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6. 长为 3.5m 的木棒斜靠在石堤旁, 木棒的 一端在离堤脚 1.4m 的地面上, 另一端在 沿堤上 2.8m 的地方, 堤对地面的倾斜角 为 α ,则坡度值 tan α 等于
A.
C.

231 5
231 16

B.
D.

5 16 11 5
C.242 D.273
2

7.等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn = a1 + a2 + ... + an ,若 S10 = 31 , S20 = 122 ,则 S30 =
A.153 B.182 8.正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线 y = 4 x 上,则这个正三角形的

边长为
A. 4 3 B. 8 3 C .8 D.16

9.已知 a > 0, b > 0 ,且 a + b = 1 ,则 A.2 B. 2 2

1 1 + 的最小值是 a b
C .4 D. 8

10.已知 p:函数 f ( x) = x 2 + mx + 1 有两个零点, q:?x ∈ R , 4 x 2 + 4(m ? 2) x + 1 > 0 .若

若 p ∧ ? q 为真,则实数 m 的取值范围为
A. (2,3) B. (?∞,1] ∪ (2, +∞ ) C. (?∞, ?2) ∪ [3, +∞) D. (?∞, ?2) ∪ (1, 2]

第 II 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上)
11.等差数列 8,5,2,…的第 20 项是 . .

12.经过点 A(3, ?1) ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为

? y≤x ? 13.当 x、y 满足不等式组 ? y ≥ ?1 时,目标函数 t = 2 x + y 的最小值是 ?x + y ≤ 1 ?

.

14.物体沿直线运动过程中,位移 s 与时间 t 的关系式是 s (t ) = 3t 2 + t . 我们计算在 t = 2 的

附近区间 [2, 2 + ?t ] 内的平均速度 v =

s (2 + ?t ) ? s (2) = ?t

, ?t 趋近于 0 时, 当

平均速度 v 趋近于确定的值,即瞬时速度,由此可得到 t = 2 时的瞬时速度大小 为
.
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三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
1 15. (13 分)已知函数 f ( x) = ( x + 2) x 2 . 3

(1)求 f ( x) 的导数 f '( x) ; (2)求 f ( x) 在闭区间 [ ?1,1] 上的最大值与最小值.

16. 13 分)已知双曲线 C 的方程为 x 2 ? 15 y 2 = 15 . (

(1)求其渐近线方程; (2)求与双曲线 C 焦点相同,且过点 (0,3) 的椭圆的标准方程.

17. 13 分)已知某精密仪器生产总成本 C(单位:万元)与月产量 x(单位:台)的函数 (

关系为 C = 100 + 4 x ,月最高产量为 150 台,出厂单价 p(单位:万元)与月产量 x 的函数 关系为 p = 25 +
1 1 2 x? x . 80 1800

(1)求月利润 L 与产量 x 的函数关系式 L( x) ; (2)求月产量 x 为何值时,月利润 L( x) 最大?

高二数学(文科)

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18. (13 分)等比数列 {an } 的公比为 q,第 8 项是第 2 项与第 5 项的等差中项. (1)求公比 q; (2)若 {an } 的前 n 项和为 Sn ,判断 S3 , S9 , S6 是否成等差数列,并说明理由.

19. (14 分)第四届中国国际航空航天博览会

一次飞行表演中, 于 2010 年 11 月在珠海举行, 一架直升飞机在海拔 800m 的高度飞行,从空 中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、Q 处的俯 角分别是 45°和 30°(如右图所示). (1)试计算这个海岛的宽度 PQ . (2)若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸 P、Q 处同时测得飞机的仰角为 45°和
30°,他们估计 P、Q 两处距离大约为 600m,由此试估算出观测者甲(在 P 处)到飞机

的直线距离.

( 过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 的焦点 F 作一条倾斜角为 20. 14 分) 的直线与抛物线相交于 A、B 两点. (1)求直线 AB 的方程; (2)试用 p 表示 A、B 之间的距离; (3)当 p = 2 时,求 ∠AOB 的余弦值. 参考公式: ( xA 2 + y A2 )( xB 2 + yB 2 ) = x A xB ? x A xB + 2 p ( x A + xB ) + 4 p 2 ? . ? ?

π
4

高二数学(文科)

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中山市高二级 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)答案
一、选择题:DDACB 二、填空题:11. -49; 三、解答题:
1 1 15. 解: 1) f ( x) = ( x + 2) x 2 = x3 + 2 x 2 . ……(1 分) ( 3 3

ADBCC 12.
x2 y2 ? = 1; 8 8 13. -3; 14. 13 + 3?t , 13 .

求导得 f ′( x) = x 2 + 4 x . ……(4 分) (2)令 f ′( x) = x 2 + 4 x = x( x + 4) = 0 ,解得: x = ?4 或 x = 0 . ……(6 分) 列表如下: x f ′( x)
f ( x)

-1
5 3

(-1, ) 0 - ↘

0

(0,1)
+

1

0 0



7 3

……(10 分) 所以, f ( x) 在闭区间 [ ?1,1] 上的最大值是
7 ,最小值是 0. ……(13 分) 3

16. 解: 1)双曲线方程化为 (

x2 ? y2 = 1 , 15

……(1 分)

由此得 a = 15, b = 1,

……(3 分)
1 15 x ,即 y = ± 15 x . ……(5 分) 15

所以渐近线方程为 y = ±

(2)双曲线中, c = a 2 + b 2 = 15 + 1 = 4 ,焦点为 (?4, 0), (4, 0) .

……(7 分)

椭圆中, 2a = (?4 ? 0) 2 + (0 ? 3) 2 + (4 ? 0) 2 + (0 ? 3) 2 = 10 , ……(9 分) 则 a = 5 , b 2 = a 2 ? c 2 = 52 ? 4 2 = 9 .
2 2

……(11 分) ……(13 分)

所以,所求椭圆的标准方程为

x y + =1. 25 9

17.解: 1) L( x) = px ? C = (25 + (

1 1 2 1 3 1 2 x? x ) x ? (100 + 4 x) = ? x + x + 21x ? 100 , 80 1800 1800 80

其中 0 < x ≤ 150 .

……(5 分)
高二数学(文科) 第 5 页 (共 4 页)

1 2 1 1 1 x + x + 21 = ? ( x 2 ? 15 x ? 12600) = ? ( x ? 120)( x + 105) .… 8 分) ( 600 40 600 600 令 L '( x) = 0 ,解得 x = 120 ( x = ?105 舍). ……(9 分)

(2)L '( x) = ?

当 x ∈ (0,120) 时, L '( x) > 0 ;当 x ∈ (120,150] 时, L '( x) < 0 . 因此,当 x = 120 时, L( x) 取最大值. 所以,月产量为 120 台时,月利润 L( x) 最大.
18. 解: 1)由题可知, 2a8 = a2 + a5 , (

……(11 分)

……(13 分)

……(1 分)

即 2a1q 7 = a1q + a1q 4 , ……(3 分) 由于 a1q ≠ 0 ,化简得 2q 6 = 1 + q3 ,即 2q 6 ? q3 ? 1 = 0 , ……(4 分)
3 1 4 解得 q 3 = 1 或 q 3 = ? . 所以 q = 1 或 q = ? . 2 2 (2)当 q = 1 时, S3 = 3a1 , S9 = 9a1 , S6 = 6a1 .

……(6 分)

易知 S3 , S9 , S6 不能构成等差数列. 当q = ?
S9 = S6 =
3 3

……(8 分)

a (1 ? q ) a 4 1 1 3 a 即 q 3 = ? 时, S3 = 1 = 1 (1 + ) = i 1 , 2 2 1? q 1? q 2 2 1? q

a1 (1 ? q 9 ) a 1 9 a = 1 [1 ? (? )3 ] = i 1 , 1? q 1? q 2 8 1? q a1 (1 ? q 6 ) a 1 3 a = 1 [1 ? (? ) 2 ] = i 1 . 1? q 1? q 2 4 1? q

……(11 分)

易知 S3 + S6 = 2S9 ,所以 S3 , S9 , S6 能构成等差数列. ……(13 分)
PC = tan ∠CAP , AC 则 PC = 800 × tan 45° = 800 . ……(3 分) QC 在 Rt ?ACQ 中, = tan ∠CAQ ,则 QC = 800 × tan 60° = 800 3 . ……(5 分) AC

( 19. 解: 1)在 Rt ?ACP 中,

所以, PQ = QC ? PC = 800 3 ? 800 (m). ……(7 分) (2)在 ?APQ 中, PQ = 600 , ∠AQP = 30° , ∠PAQ = 45° ? 30° = 15° . ……(8 分) 根据正弦定理,得 则 PA = PA 600 = , ……(10 分) sin 30° sin15°
300 6? 2 4 = 300( 6 + 2) .

600isin 30° 600isin 30° = = sin(45° ? 30°) sin 45° cos 30° ? cos 45° sin 30°

……(14 分)
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p π p 20. 解: (1) 焦点 F ( , 0) , 过抛物线焦点且倾斜角为 的直线方程是 y = x ? . … 3 分) ( 2 4 2

? y 2 = 2 px p2 p2 ? 2 (2 ) ? 由 = 0 ? x A + xB = 3 p , x A x B = ? AB = x A + xB + p = 4 p . p ? x ? 3 px + 4 4 ?y = x ? ? 2

……(8 分)
? y = 4x (3)由 ? ? x 2 ? 6 x + 1 = 0 ? xA + xB = 6, x A xB = 1 . ? y = x ?1
2

cos ∠AOB =

AO + BO ? AB
2 2

2

2 AO BO

=

x A 2 + y A 2 + xB 2 + y B 2 ? ( x A ? xB ) ? ( y A ? y B )
2

2

2

(x

2 A

+ y A 2 )( xB 2 + yB 2 )

=

(x

x A xB + y A y B
2 A

+ y A 2 )( xB 2 + yB 2 )

=

p p2 ( x A + xB ) + 3 41 2 4 . =? 41 x A xB ? x A x B + 2 p ( x A + xB ) + 4 p 2 ? ? ? 2 x A xB ?

……(13 分)

∴ ∠AOB 的大小是与 p 无关的定值. ……(14 分)

1 题:教材《必修⑤》 P76 预备题 改编,考查一元二次不等式求解. 2 题:教材《必修⑤》 P67 2(2)改编,考查写数列通项公式. 3 题:教材《选修 1-1》 P40 例 4 改编,考查椭圆几何性质. 4 题:教材《选修 1-1》 P12 第 4 题改编,考查充要条件. 5 题:教材《选修 1-1》 P98 第 4 题改编,考查利用导数研究函数性质. 6 题:教材《必修⑤》 P16 习题改编,考查利用余弦定理解三角形 7 题:教材《必修⑤》 P44 例 2 改编,考查等差数列性质及前 n 项和 8 题:教材《选修 1-1》 P64 B 组第 2 题改编,考查抛物线方程及性质 11 题:教材《必修⑤》 P38 例 1(1)改编,考查等差数列通项公式 12 题:教材《选修 1-1》 P54 A 组第 6 题改编,考查双曲线方程与性质 13 题:教材《必修⑤》 P91 第 1(1)题改编,考查线性规划问题 14 题:教材《选修 1-1》 P74 导数概念的预备题 改编,考查导数概念 16 题:教材《选修 1-1》 P48 第 2 题 改编,考查双曲线、椭圆的标准方程与几何性质. 17 题:教材《选修 1-1》 P104 第 6 题 改编,考查导数的应用. 18 题:教材《必修⑤》 P61 第 6 题 改编,考查等差数列、等比数列的通项与前 n 项和. 19 题:教材《必修⑤》 P19 第 4 题 改编,考查解三角形.

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