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重庆南开中学高2014级高二(下)期末考试数学试题(文)


南开中学高 2014 级高二(下)期末测试卷 数 学(文史类)

数学(文史类)测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选涂其它答案标号。 3. 答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5. 考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)函数 y ? sin x 在点 (

?
3

,

3 ) 处的切线的斜率为 2
1 2

(A) 1

(B)

(C)

2 2

(D)

3 2

?2 x ? 1, x ≤ 0 1 ? (2)已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f ( )) ? 4 ?log2 x ? 1, x ? 0 ?
(A) ?

1 2

(B)

1 2 1 2

(C) 1

(D) 7

(3)已知幂函数 y ? f (x) 的图象经过点 (8, ) ,则 f ( (A) 3 (B)

1 ) 的值为 64
(C) 4 (D)

1 3

1 4

高二期末测试卷数学(文史类)第 1 页

共4页

(4)将函数 y ? f ( x ?

?
4

) 的图象先向右平移

? 个单位,再向下平移 2 个单位得到函数 g ( x) 的 4

图象,则函数 g ( x) 的解析式为 (A) g ( x) ? f ( x) ? 2 (C) g ( x) ? f ( x ? (B) g ( x) ? ? f ( x)+2 (D) g ( x) ? ? f ( x ?

?
2

)?2

?
2

)?2

(5)已知 a, b ? R ,“ a ? b ? 1 ”是“ a ? b ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (6)一个几何体的三视图如题(6)图所示, 则该几何体的侧面积为 (A) 2 3 (B) 4 3 (C) 4 (D) 8 (7)对给出的下列命题:
2 2

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2 2

2

2 2

2

正视图

侧视图

题(6)图
俯视图
2

① ?x ? R, ? x ? 0 ;② ?x ? Q, x ? 5 ;③ ?x ? R, x ? x ?1 ? 0 ; ④若 p : ?x ? N , x 2 ≥1,则 ?p : ?x ? N , x2 ? 1 .其中是真命题的是 (A)①③ (C)②③
x

(B)②④ (D)③④

(8)若函数 y ? ax ? e 有小于零的极值点,则实数 a 的取值范围是 (A) (0, ??) (B) (0,1) (C) (??,1) (D) (?1,1)

(9)在某县客车临时停靠站,每天均有上、中、下等级的客车各一辆开往城区.某天李先生准 备从该站点前往城区办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车的顺序,为了尽可能乘 到上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上 第三辆,那么李先生乘到上等车的概率为

高二期末测试卷数学(文史类)第 2 页

共4页

(A)

1 3

(B)

1 4

(C)

1 2

(D)

2 5

(10)若 ?k ? [?

2 2 , ] 使 a(1 ? k 2 ) ? | k | 1 ? k 2 成立,则实数 a 的取值范围是 2 2
1 4

(A) (??,0]

(B) (?? , ]

(C) (??,

2 ] 4

(D) (??,

2 ] 8

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. (11)已知集合U ? {1,2,3,4,5} , A ? {1, 2,3} , B ? {( x, y) | x ? A, y ?? A} ,则 B 中元素的个 U 数为 . .

(12) “函数 f ( x) ? x 2 +2ax ? 3a 在 (0, ??) 上是增函数”的一个充分不必要条件是
2 (13) 已知映射 f:A ? B ,其中 A ? B ? R ,对应法则 f:x ? y ? x ? 2 x ? 2, 若对实数 k ? B ,

在集合 A 中不存在原象,则 k 的取值范围是

.

(14)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x 2 ,若 a ? 0, b ? 0 且 f (a) ? f (1 ? b) ,则 为 .
2

1 4 ? 的最小值 a b

(15)已知函数 f ( x) ? ax ? (1 ? 5a) x ? 3 满足 f (2) ? f (1) ? f (3) ? f (0) ,则实数 a 的取值范 围为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解关于 x 的不等式 x( x ? 2) ≥1 ? 2 x ; (Ⅱ)记(Ⅰ)中不等式的解集为 A ,函数 g ( x) ? lg[ x ? (2 ? x)] 的定义域为 B ,求 A ? B .

高二期末测试卷数学(文史类)第 3 页

共4页

(17) (本小题满分 13 分) 已知定义在 R 上函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a ? b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的值域.

x?b 为奇函数. x ? ax ? 1
2

(18) (本小题满分 13 分) 甲袋中装有 3 个编号分别为 1, 2,3 的红球,乙袋中装有 3 个编号分别为 2,3, 4 的白球, 6 个 球的大小形状完全相同. (Ⅰ)若从甲、乙两袋中各随机地摸出 1 个球,写出所有可能结果,并求摸出的 2 个球编号 相同的概率; (Ⅱ)若把甲袋中的球全部倒入乙袋,再从乙袋中随机地摸出 2 个球,求摸出的 2 个球编号 之和为奇数的概率.

(19)(本小题满分 12 分) 如题 (19) 图, 正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 a . 1

D1
(Ⅰ)求证: DC1 // 平面 AB1C ; (Ⅱ)求四面体 B1 ? ACD1 的体积.

C1 B1

A1

D A 题(19)图 B

C

高二期末测试卷数学(文史类)第 4 页

共4页

(20) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? (ax2 ? ax ? 1)e x ,其中 a ? R . (Ⅰ)若 f ( x ) 在其定义域内是单调函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (?1,0) 内存在极值,求 a 的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 x2 y 2 已知 a ? 2b ? 0 ,设椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 的离心率为 e1 ,双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1 的离心率 a b a b
为 e2 .

(Ⅰ)求

e1 的范围; e2

(Ⅱ)设椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共点分别为 A 、 B , P 、Q 分别是椭圆 C1 和双曲线 C2 上 不同于 A 、 B 的两个动点,且满足: AQ ? BQ ? ? ( AP ? BP) ,其中 | ? |? 1 .记直线 AQ 、BQ 、

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

AP 、 BP 的斜率分别为 k1、k2、k3、k4 ,若 k1 +k2 =5 ,求 k3 +k4 .

高二期末测试卷数学(文史类)第 5 页

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高 2014 级高二下期末考试参考答案(文科)
一、选择题 BACCB DDBCC 二、填空题 11. 6 12. a ? 1 (注:填 [0, ??) 的任一真子集即可) 14. 9 15. ( ?1, ? )

13. (??,1) 三、解答题

1 2

16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题 A ? (?? , 1] ? [1, ?) ??????6 分 ? ? (Ⅱ)由 x ? (2 ? x) ? 0 解得 0 ? x ? 2 ,即 B ? (0, 2) ,所以 A ? B ? [1, 2) .???13 分 17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x ) 为 R 上的奇函数,知 f (0) ? 0, f (?1) ? ? f (1) ,由此解得 a ? 0, b ? 0 ,故

a ? b ? 0.
(Ⅱ)设 y ?

x 2 的值域为 C ,则 y ? C 当且仅当关于 x 的方程 yx ? x ? y ? 0 有根,当 x ?1
2

y ? 0 时,根为 x ? 0 符合;
当 y ? 0 时, ? ? 1 ? 4 y ? 0 ,于是 ?
2

1 1 ? y ? 且 y ? 0; 2 2

综上,值域为 [? , ] .

1 1 2 2

18.(本小题满分 13 分) 解:记甲袋中的 3 个球为 A1 , A2 , A3 ,乙袋中的 3 个球为 B2 , B3 , B4 (Ⅰ)所有可能结果为: A1B2 , A1B3 , A1B4 , A2 B2 , A2 B3 , A2 B4 , A3 B2 , A3 B3 , A3 B4 ,共 9 种 其中编号相同的有 2 种,所以所求概率为

2 ; ????6 分 9
共4页

高二期末测试卷数学(文史类)第 6 页

(Ⅱ)所有可能结果除了上述的 9 种,还要加上 A1 A2 , A1 A3 , A2 A3 , B2 B3 , B2 B4 , B3 B4 ,共 15 种 其中编号之和为奇数的有 9 种,所以所求概率为

9 3 ? .????13 分 15 5

19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 AD / / BC / /B1C1 ? AD/ /B1C1 ? 平行四边形 ADC1B1 ,? DC1 / / AB1 , 又 AB1 ? 平面 AB1C , DC1 ? 平面 AB1C ,所以 DC1 / / 平面 AB1C ……6 分 (Ⅱ) VA?CB1D1 ? V正方体 ? 4 ? ?

1 1 2 1 a ? a ? a ? a 3 ? a 3 ? a 3 ……………12 分 3 2 3 3

D1 A1
D

B1

C1

C
B

A
20. (本小题满分 12 分)
2 x 解: (Ⅰ) f ?( x) ? (ax ? 3ax ? a ? 1)e

f (x) 在 R 上单调,则

x 2 当 a ? 0 时, f ?( x) ? e ? 0 , 符合; a ? 0 时,Δ ? 9a ? 4a(a ? 1) ? 0 即 0 ? a ? 当

4 ; 5

?0 ? a ?

4 ; 5 4 ,另外还需要方程 5

(Ⅱ)要使 f ( x ) 在 (?1,0) 内存在极值,由(Ⅰ)知首先有 a ? 0 或 a ?

高二期末测试卷数学(文史类)第 7 页

共4页

g ( x) ? ax2 ? 3ax ? a ? 1 ? 0 的 根 在 (?1,0) 内
g (?1) g (0) ? 0
解得 a ? 1 或 a ? ?1

对称轴 x??

3 ? ?1 2

?只需

? a ? 1 或 a ? ?1 .

21. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)易知

e1 ? e2

a 2 ? b2 a 2 ? b2 2 a ,又因为 a ? 2b ? 0 , ? ? 1? 2 2 2 2 2 a a ?b a ?b ?1 b2 a

e a2 2 3 ??????5 分 ? 2 ? 1 ? 1? ? 2 b e2 2 ?1 3
(Ⅱ)易知公共点 A、B 坐标为 A(?a, 0) 、 B (a, 0) ,令 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 则 AQ ? ( x2 ? a, y2 ) 、 BQ ? ( x2 ? a, y2 )

????

??? ?

??? ? ??? ? AP ? ( x1 ? a, y1 ) 、 BP ? ( x1 ? a, y1 )

???? ??? ? ??? ??? ? ? ? AQ ? BQ ? ? ( AP ? BP), 得 ( x2 , y2 ) ? ? ( x1, y1 )
因为 P、Q 分别在椭圆、双曲线上

x12 y12 ? ?1 a 2 b2 ? ? x2 2 y2 2 ? ?1 a 2 b2

{

{

x12 y12 ? ?1 1 2 x12 a 2 b2 ? 2 ? 2 ?1 ? a ? 2 x12 ? 2 y12 ? 2 ?1 2 a b

由于 k1 ? k2 ? 5.?

y2 y ? 2 ? 5, x2 ? a x2 ? a

即有

2? 2 x1 y1 2 x1 y1 ? 5 ,可化为 ? 5. 2 2 2 a2 ? x1 ? a 2 x1 ? 2 ?

高二期末测试卷数学(文史类)第 8 页

共4页



1

?2

?

2x1 y1 2 x12 =5. ? 1 带入.得 2 a ? x12 ? a 2 y1 y 2x y ? 1 ? 2 1 12 x1 ? a x1 ? a x1 ? a

又因为 k3 ? k4 ?

? k3 ? k4 ? ?5 ??????12 分

高二期末测试卷数学(文史类)第 9 页

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