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中山市高三级2010—2011学年度第一学期期末统一考试(数学文)


中山市高三级 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 P = {1, 2,3, 4}, Q = {x | x ≤ 2, x ∈ R} ,则 P ∩ Q 等于 A.{1,2} B.{3,4}
2

C.{1}

D.{-2,-1,0,1,2}

z 2.已知复数 z =1-i,则 = z-1 A.-2 3.函数 f ( x) = A. (9,+∞ ) B.2 C.2-2i D.2+2i

2 ? log 3 x 的定义域是
B. [9,+∞ ) C. (0,9) D. (0,9]

4.已知向量 a = (1, n); b = ( ?1, n) ,若 2a + b 与 b 垂直,则 a =
人数

A. 1

B. 2

2 3 C. 3

D.4

20 15 10

5.某校为了了解学生课外阅读情况,随机抽查了 50 名 学生,得到他们某一天各自的课外阅读的时间数据 如右图所示,根据条形图可得到这 50 名学生该天每 人的平均课外阅读时间为 A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.15 h
高三数学(文科)

5
0 0.5 1 1.5 2 时间(h)

第 5 题图

第 1 页(共 4 页)

6. 等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn .若 a2和a10 是方程 x + 12 x ? 8 = 0 的两个根, 那么 S11 的
2

值为 A.44 7.下列结论正确的是 A.当 x > 0且x ≠ 1 时, lg x + 1 ≥ 2 lg x B. 当x ≥ 2时, x + B.-44 C.66 D.-66

1 的最小值为 2 x

1 C. 当x > 0 时, x + 1 ≥ 2 D.当 0 < x ≤ 2 时, x ? 无最大值. x x 8.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 2 的正方形,

主视图与左视图是边长为 2 的正三角形,则其全面积是
A.8 B.12 C. 4(1 + 3) D. 4 3

2

9.已知函数 y = f ( x ) sin x 的一部分图象如右图所示,则函数 f ( x ) 的表达式可以是 A. 2 sin x B. 2 cos x C. ? 2 sin x D. ? 2 cos x 10 . 已 知 奇 函 数 f (x ) 的 导 函 数 为 f ' ( x ) = 5 + cos x , x ∈ (? 1 , 1) , 且 f (0) = 0 , 如 果
f (1 ? x) + f (1 ? x 2 ) < 0 ,则实数 x 的取值范围为

A. 0 , ) ( 1

B. 1 , 2

(

)

C . ( ?2 , ? 2 )

D. (1, 2) ∪ (- 2 , 1) -

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上.)

? x + y ≥ 0, ? 11.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y + 3 ≥ 0, z = 2 x ? y 的最大值为 则 ?0 ≤ x ≤ 3, ? 12.已知一颗粒子等可能地落入如右图所示的四边形 ABCD 内 的任意位置,如果通过大量的实验发现粒子落入△ BCD 内 B 2 的频率稳定在 附近,那么点 A 和点 C 到时直线 BD 的距 5
离之比约为
C


A

D

(第 12 题图) 高三数学(文科) 第 2 页(共 4 页)

13.下图所示的算法流程图中,
否 开始 是 T=1,n=1 T=T×n n=n+1 n≥a? 输出 T 结束

若输出的 T=720,则正整数 a 的值为__________________. 14.有下列四个命题: ①命题“若 xy = 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题; ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③命题“若 m ≤ 1 ,则 x ? 2 x + m = 0 有实根”的逆否命题;
2

④命题“若 A ∩ B = B ,则 A ? B ”的逆否命题。 其中是真命题的是 (填上你认为正确的命题的序号) 。

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = 2 sin x cos x + cos 2 x . (Ⅰ) 求 f ( ) 的值;

π

4

(Ⅱ) 设 α ∈(0, π ), f ( ) =

α

2

2 ,求 sin α 的值. 2

16.(本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点.
(1)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (2)求证: EF ⊥ B1C

高三数学(文科)

第 3 页(共 4 页)

17.(本小题满分 14 分) 设关于 x 的一元二次方程 x + 2 ax + b = 0 .
2 2

1 3 , 1 , (1)若 a 是从 0,2,四个数中任取的一个数, b 是从 0,2 三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.
(2)若 a 是从区间 [0, 任取的一个数, b 是从区间 [0, 任取的一个数,求上述方程 3] 2] 有实根的概率.

18.(本小题满分 14 分) 已知 {a n } 是各项为正数的等比数列, 且 a1 a 3 + 2a 2 a 4 + a 3 a 5 = 100 , 4 是 a 2 和 a 4 的一个等比中项. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 {a n } 的公比 q ∈ (0, 1) ,设 bn = a n ? log 2 a n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

19.(本小题满分 14 分) 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙 方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润 x(元) 与年产量 t(吨)满足函数关系, x = 2000 t 。若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元 (以下称 s 为赔付价格) 。 (1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利 润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2(元) ,在乙方按照获得最大 利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价 格 S 是多少?

20、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ax 2 + bx + 1 ( a, b 为实数), x ∈ R , F ( x ) = ?

( x > 0) ? f ( x) . ? ? f ( x) ( x < 0)

(1)若 f (?1) = 0, 且函数 f ( x ) 的值域为 [0, + ∞) ,求 F ( x) 的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x ∈ [ ?2, 2] 时, g ( x ) = f ( x ) ? kx 是单调函数,求实数 k 的 取值范围; (3)设 m ? n < 0 , m + n > 0, a > 0 且 f ( x ) 为偶函数,判断 F ( m) + F ( n) 能否大于 零.
高三数学(文科) 第 4 页(共 4 页)

中山市高三级 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)答案
一、选择题: ABDCD DCBDB 二、填空题 11、9; 三、解答题 15 解: (1)1 (2)∵ f ( 2 ) = sin α + cos α = 2 , 又 sin α + cos α = 1
2 2
]

12、

3 ; 2

13、7 ;

14、①②③

α

2

sin 2 α + (

2 ? sin α ) 2 = 1 2 1 =0 2

2 sin 2 α ? 2 sin α ?
∴ sin α =

2± 6 4 2+ 6 4

由 α ∈(0, π ),∴ sin α = 16 证明: (1)连接 BD1

E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点,则 EF // BD1 ,
又 BD1 ? 平面 ABC1 D1 , EF ? 平面 ABC1 D1 , ∴ EF //平面 ABC1 D1 (2)正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ⊥ 平面 BCC1 B1 ,则 AB ⊥ B1C 正方形 BCC1 B1 中, B1C ⊥ BC1 ,又 AB ∩ BC1 =B,AB、 BC 1 ? 平面 ABC1 D1 ,

高三数学(文科)

第 5 页(共 4 页)

则 B1C ⊥ 平面 ABC1 D1 ,

BD1 ? 平面 ABC1 D1 ,所以 B1C ⊥ BD1
又 EF // BD1 ,所以 B1C ⊥ EF.

17 解:设事件 A 为“方程 a + 2 ax + b = 0 有实根” .
2 2

当 a > 0 , b > 0 时,方程 x + 2 ax + b = 0 有实根的充要条件为 a ≥ b .
2 2

(1)基本事件共 12 个:

(0,,,,, ,,,,,, , ,, ,, , ,,,,,, . 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (3 1) (3 2)
其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P ( A) =

9 3 = . 12 4

(2)试验的全部结束所构成的区域为 ( a,b ) | 0 ≤ a ≤ 3,≤ b ≤ 2 . 0 构成事件 A 的区域为 ( a,b ) | 0 ≤ a ≤ 3,≤ b ≤ 2,a ≥ b . 0

{

}

{

}

1 3 × 2 ? × 22 2 2 所以所求的概率为 = = . 3× 2 3
18 解: (1) {a n } 是各项为正数的等比数列,且 a1 a 3 + 2a 2 a 4 + a 3 a 5 = 100

∴ a 2 + 2a 2 a 4 + a 4 = 100 ,
2 2

(a 2 + a 4 ) 2 = 100


即: a 2 + a 4 = 10

? a 2 + a 4 = 10 ?a = 2 ? a 2 = 8 ?? 2 或? ? 2 ?a 2 a 4 = 4 = 16 ? a 4 = 8 ?a 4 = 2 ?a 2 = 2 a 2 n?2 ①当 ? 时, q = 4 = 4 ? q = 2( q = ?2 舍去) a n = a 2 q , = 2 n ?1 a2 ?a 4 = 8
②当 ?

?a 2 = 8 a 1 1 1 2 n?2 时, q = 4 = ? q = ( q = ? 舍去) a n = a 2 q , = 2 5? n a4 = 2 a2 4 2 2 ?
n?2

(2)若 0 < q < 1 ,则: a n = a 2 q

= 2 5? n

log 2 a n = 5 ? n bn = a n log 2 a n = (5 ? n) ? 2 5? n
高三数学(文科) 第 6 页(共 4 页)


?1

S n = 4 ? 2 4 + 3 ? 2 3 + 2 ? 2 2 + ? + (5 ? n) ? 2 5?n

2 ?1 S n =
4

4 ? 2 3 + 3 ? 2 2 + 2 ? 21 + ? + (5 ? n) ? 2 4? n
3 2 1 5? n

两式相减得: 2 S n = 4 ? 2 ? ( 2 + 2 + 2 + ? + 2

) ? (5 ? n) ? 2 4? n

= 64 ? S n = 96 + (n ? 3) ? 2 5? n

2 3 (1 ? 21? n ) ? (5 ? n) ? 2 4? n ?1 1? 2

19 解: (I)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为:

w = 2000 t ? st (t ≥ 0)
因为 w = 2000 t ? st = ? s ( t ? 所以当 t = (

1000 2 1000 2 , ) + s s

1000 2 ) 时,w 取得最大值。 s 1000 2 所以乙方取得最大利润的年产量 t = ( ) 吨 s
(II)设甲方净收入为 v 元,则 v = st ? 0.002t ,
2

将t = (

1000 2 ) 代入上式,得到甲方纯收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式: s

v=

1000 2 2 × 10003 ? , s s4 10002 8 × 10003 10002 (8000 ? s 5 ) + = , s2 s5 s5

又v' = ?

令 v ' = 0 得 s = 20 。 当 s < 20 时, v ' > 0 ; 当 s > 20 时, v ' < 0 。 所以 s = 20 时, v 取得最大值。 因此甲方向乙方要求赔付价格 s=20(元/吨)时,获最大纯收入。

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20 解:(1)∵ f ( ?1) = 0 ,∴ a ? b + 1 = 0 ,又 x ∈ R , f ( x ) ≥ 0 恒成立, ∴?

?a > 0
2 ?? = b ? 4 a = 0

,∴ b 2 ? 4( b ? 1) ≤ 0 ,∴ b = 2, a = 1 .

∴ f ( x) = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1) 2 . ∴ F ( x ) = ?
2

?( x + 1)2 ( x > 0) ? 2 ??( x + 1) ( x < 0) ?
2

(2) g ( x ) = f ( x ) ? kx = x + 2 x + 1 ? kx = x + (2 ? k ) x + 1

2?k 2 (2 ? k ) 2 k?2 k?2 = (x + ) +1? ≥ 2或 ≤ ?2 时, ,当 2 4 2 2
即 k ≥ 6 或 k ≤ ?2 时, g ( x ) 是单调函数.
2 (3) ∵ f ( x) 是偶函数,∴ f ( x ) = ax + 1,

? 2 ?ax + 1 ( x > 0) F ( x) = ? ?? ax 2 ? 1 ( x < 0) ?
∵ m ? n < 0, 设 m > n , 则 n < 0 .又 m + n > 0, m > ? n > 0, ∴ | m | > | ? n | , F ( m) + F ( n) = f ( m) ? f ( n) = ( am 2 + 1) ? an 2 ? 1 = a ( m 2 ? n 2 ) > 0 , ∴ F ( m) + F ( n) 能大于零.

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