kl800.com省心范文网

江苏省南京市建邺高级中学高三第一轮复习数学《第5课时 函数的单调性》学案


第 5 课时

函数的单调性

【考点概述】 ①理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义; ②理解函数单调性的定义,掌握函数单调性的判定与证明,能利用函数的单调性解决一 些问题. 【重点难点】 : 领会函数单调性的实质,明确单调性是一个局部概念,并能利用函数单调性的定义证明 具体函数的单调性,领会函数最值的实质,明确它是一个整体概念,学会利用函数的单调 性求最值. 【知识扫描】 1.增函数和减函数 一般地,设函数 f ( x ) 的定义域为 I : 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有

f ( x1 ) ? ( x2 ) ,那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是___________.
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有

f ( x1 ) ? ( x2 ) ,那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是___________.
2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间 M 上是_____________或是____________, 就说这个函数在这个区间 M 上具有_____________(区间 M 称为____________) 。 3.最大(小)值 (前面已复习过) 4.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断。 ( 2 )导数法
' ①若 f ( x ) 在某个区间内可导,当 f ( x) ? 0 时, f ( x ) 为 ______ 函数;当

f ' ( x ) ? 0时, f ( x) 为______函数。
' ②若 f ( x ) 在某个区间内可导, 当 f ( x ) 在该区间上递增时, 则 f ( x) ______0, ' 当 f ( x ) 在该区间上递减时,则 f ( x) ______0。

(3)利用函数的运算性质:如若 f ( x), g ( x) 为增函数,则① f ( x) ? g ( x) 为增函数;



1 为减函数 ( f ( x) ? 0 ) ; ③ f ( x)

; ④ f ( x) g ( x) 为增 函 f ( x) 为增函数( f ( x) ? 0 )

数( f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 ) ;⑤ ? f ( x) 为减函数。 (4)利用复合函数关系判断单调性 法则是 “___________”即两个简单函数的单调性相同, 则这两个函数的复合函数为_______, 若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为_______,

1

(5)图像法 (6)奇函数在两个对称区间上具有_____的单调性;偶函数在两个对称区间上具有_________ 的单调性; 【热身练习】

1.设函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围为

.

2.已知函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是单调减函数,且 f (a ? 1) ? f (2a) ,则 a 的取值范围
是 。

3 . 函数 f ( x) ? 4 x2 ? mx ? 5在区间 [?2, ?? ) 上是增函数,在区间 (??,?2] 上是减函数,则
f (1) =


4.已知函数 f ? x ? ? x2 ? 4 ?1 ? a ? x ? 1在 ?1, ?? ? 上是增函数,则 a 的取值范围是_____ 5.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的单调递减区间是________________.
【范例透析】 【例 1】已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2, x ? ?? 5,5? , (1)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 最大值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。

【例 2】已知函数 f ( x ) ?

1 1 ? ( a ? 0) , a x

(1)用函数单调性的定义证明 f ( x)在(0,??) 上是单调递增函数; (2)若 f ( x) 的定义域、值域都是 [ , 2 ] ,求实数 a 的值.

1 2

2

【例 3】已知函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图像关于原点对称,且 f ( x) ? x2 ? 2x 。 (1)求函数 g ( x) 的解析式; (2)若 h( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ?1 在 [?1,1] 上是增函数,求实数 ? 的取值范围。

﹡ 【例 4】 函数 f ( x) 对任意的 a,b∈R, 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1 , 并且当 x>0 时, f ( x) >1. (1).求证: f ( x) 是 R 上的增函数。 (2).若 f (4) ? 5 ,解不等式 f (3m 2 ? m ? 2) ? 3

【方法规律总结】 1. 高考中主要考察求函数的单调区间及单调性的应用(如:利用函数单调性求值域、比较大 小、解不等式等) ,多以小题的形式出现。但近几年常以导数为工具研究函数单调性问题 在大题中是必考内容。 2. 用定义证明(判断)函数在某一区间上的单调性,其步骤是: (1) 设 x1 , x2 是该区间上的任意两个值,且 x1 ? x2 ; (2) 作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,然后变形;( 注意变形结果) (3) 判定 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号 (4) 根据定义作出结论。 注意:1。单调性定义中的 x1 , x2 要有任意性,不能由两个特殊值的大小决定单调性。 2.不同的单调区间不能用并集表示

3

【巩固练习】 1.如果函数 f(x)= x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范 围是___________________.

2.已知函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是减函数,则 f (a2 ? a ? 1) 与 f ( 3. y ? (log1 a) x 在 R 上为减函数,则 a ?
2

3 4

)

的大小关系是



.

?3 7? 4.若函数 f ( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? a ? 1是区间 ? , ? 上的单调函数,则实数 a 的取值范围 ?2 2?
是 .

5.求函数 f ( x) ? loga (2x2 ? 5x ? 3) 的单调区间。

﹡6. 如果函数 f ( x) 的定义域为 x x ? 0?,且 f ( x) 增函数, f ( x. y) ? f ( x) ? f ( y) ,

?

x (1).求证: f ( ) ? f ( x) ? f ( y) ; y
(2).已知 f (3) ? 1 ,且 f (a) ? f (a ? 1) ? 2 ,求 a 的取值范围。

7. 设 函 数 f( x )对 于 任 意 x ,y∈ R,都 有 f( x+y ) =f( x ) +f( y ) ,且 x > 0 时 f( x )< 0 , f ( 1 ) =-2 . ( 1) 求 f( 0) ; ( 2) 证 明 f( x) 是 奇 函 数 ; ( 3 ) 试 问 在 x∈ [ -3 , 3] 时 f ( x ) 是 否 有 最 大 、 最 小 值 ? 如 果 有 , 请 求 出 来 , 如 果 没 有 , 说明理由; ( 4) 解 不 等 式

1 1 f ( x 2 ) ? f ( x)> f (3x) . 2 2

4

第 5 课时
【热身练习】
1 1. (??, ) 2
2. a ? 1 3. 25

函数的单调性参考答案
3 2

4. a ?

5. [-1, 1]

4. 解析:对称轴方程为 x ? 2(a ? 1) , f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数,所以 2(a ? 1) ? 1 ,解得

a?

3 。 2
2

5.解析:由 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 得,函数定义域为 {x | ?3 ? x ? 1} 。 令 t ? ? x ? 2 x ? 3 ,则它的单调递减区间为 [?1,1] ,而 y ? t 为增函数,所以所求单调递减
2

区间是 [?1,1] 。

【范例透析】 例 1.解: (1) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? 1, x ? ?? 5,5?? f ( x) max ? f (?5) ? 37 。
(2)由题意知函数 f ( x) 的对称轴必须在区间 ?? 5,5? 的右侧或左侧 右函数 f ( x) 的对称轴为 x ? ?a . ? ?a ? ?5或 ? a ? 5 ,即 a ? 5或a ? ?5 .

例 2. 解: (1)设 0 ? x1 ? x2,则x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,

1 1 1 1 1 1 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ?0 , a x1 a x2 x2 x1 x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 )即f ( x)在(0,??) 上是单调递增函数。

5

(2)∵ f ( x) 的定义域、值都是 [ ,2],又 f ( x)在[ ,2] 上是单调增函数,

1 2

1 2

1 ?1 1 ?2? , ? 1 ? ?a ?f( ) ? 2 ∴? 2 2 即? ? 1 ? 1 ? 2. ? ? f (2) ? 2 ? ?a 2

?a ?

2 。 5

例 3.解: (1)设 P ( x, y ) 为 g ( x) 图像上任一点,则 P 关于原点的对称点 Q( x0 , y0 ) 在 f ( x )
? x0 ? x ?0 ? ?x ? ?x ? 2 ,即? 0 的图像上,且 ? . ? y0 ? ? y ? y0 ? y ? 0 ? ? 2
点 Q( x0 , y0 ) 在函数 y ? f ( x) 图像上,? y0 ? x02 ? 2x0 ,

?? y ? x2 ? 2x ,即 y ? ? x2 ? 2x, 故 g ( x) ? ? x2 ? 2x. 。
(2) h( x) ? ?(1 ? ? ) x2 ? 2(1 ? ? ) x ? 1. ①当 ? ? ?1 时, h( x) ? 4 x ? 1在 [?1,1] 上是增函数,? ? ? ?1 满足要求; ②当 ? ? ?1 时,对称轴的方程为 x ? (i)当 ? ? ?1 时,

1? ? ? ?1, 解得 ? ? ?1 ; 1? ? 1? ? ? 1 ,解得 ?1 ? ? ? 0, (ii)当 ? ? ?1 时, 1? ?

1? ? , 1? ?

综上, ? ? 0.

【巩固练习】 1.答案:a≤-3

解析 :对称轴 x=1-a,由 1-a≥4,得 a≤-3. 3 1 3 3 2.答案: f ( a 2 ? a ? 1) ? f ( ) 解析: ∵a2-a+1=(a- )2+ ≥ , 2 4 4 4

3 f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, f ( a 2 ? a ? 1) ? f ( ) . 4 1 3.答案: ( ,1) 2

4.答案: a ? 2 或 a ? 4
解析:对称轴 x ?

2a ? 1 2a ? 1 3 2a ? 1 7 ? 或 ? ,解得 a ? 2 或 a ? 4 。 , 2 2 2 2 2

6

7.
证明: ( 1 ) 由 f ( x+y ) =f ( x ) +f ( y ) , 得 f[x+ ( -x ) ]=f ( x ) +f ( -x ) , ∴ f( x ) +f ( -x ) =f ( 0 ) . 又 f ( 0+0 ) =f ( 0 ) +f ( 0 ) , ∴ f( 0 ) =0 . ( 2 ) 从 而 有 f ( x ) +f ( -x ) =0 . ∴ f( -x ) =-f ( x ) . ∴ f( x ) 是 奇 函 数 . ( 3 ) 任 取 x 1 、 x 2 ∈ R, 且 x 1 < x 2 , 则 f ( x 1 ) -f ( x 2 ) =f ( x 1 ) -f[x 1 + ( x 2 -x 1 ) ]=f ( x 1 ) -[f ( x 1 ) +f ( x 2 -x 1 ) ]=-f ( x 2 -x 1 ) . 由 x 1 < x 2 , ∴ x 2 -x 1 > 0 . ∴ f( x 2 -x 1 ) < 0 . ∴ -f ( x 2 -x 1 ) > 0 , 即 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) , 从 而 f( x) 在 R 上 是 减 函 数 . 由 于 f( x) 在 R 上 是 减 函 数 , 故 f ( x ) 在 [-3 , 3] 上 的 最 大 值 是 f ( -3 ) , 最 小 值 为 f( 3) . 由 f ( 1 ) =-2 , 得 f ( 3 ) =f ( 1+2 ) =f ( 1 ) +f ( 2 ) =f ( 1 ) +f ( 1+1 ) =f ( 1 ) +f ( 1 ) +f ( 1 ) =3f ( 1 ) =3×( -2 ) =-6 , f ( -3 ) =-f ( 3 ) =6 . ∴ 最 大 值 为 6 , 最 小 值 为 -6 . ( 4) 由 1

2 f(x2)? f(x)> 1 2 f (3 x ) , f
( x 2 ) -f ( 3x ) > 2f ( x ) , 由 已 知 得 : f[2 ( x ) ]=2f ( x ) ∴ f( x 2 -3x ) > f ( 2x ) , 由 ( 2 ) 中 的 单 调 性 转 化 为 x 2 -3x < 2x . 即 x 2 -5x < 0 , ∴ x∈ ( 0 , 5 ) .

7


赞助商链接

相关文档