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高考均值不等式全复式


a?b ? ab (一正二定三等号) 2 均值不等式考试形式基本有二: (1)双子母求最值范围题目必然均值
1 4 例:已知 x ? y ? 1 求 ? 最小值,其中 x, y ? R ? x y

求和范围成绩为定值
1 4 1 4 1 4 y 4x 解答: ? ? ( ? ) ? 1 ? ( ? ) ? ( x ? y ) ? 5 ? ? ? 9 (此题配乘一个 1 的形 x y x y x y x y

式可以说考查了无数回啊,大家请熟记)
a b 练习:已知 a, b, x, y 均为 R ? ,且 ? ? 1 ,求 x ? y 最小值 x y

练习: x, y ? R ? ,求 ( x ?

1 2 1 ) ? ( y ? ) 2 的最小值 2y 2x

练习:函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A,若 A 在直线
mx ? ny ? 1 ? 0 上,又 mn ? 0 ,求

1 2 ? 的最小值 m n

已知和或乘积,用均值放缩等式求范围
a b 例:已知 a, b, x, y 均为 R ? ,且 ? ? 1 ,求 x ? y x y
a b ab ab ?1? 4 ? xy ? 4ab 解答: ? ? 1 ? 2 x y xy xy
例:设 ?ABC 中的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ? 求 ?ABC 面积的最大值. 解答:因为 ?ABC 的面积 S ?

4 ,b ? 2. 5

1 3 ac sin B ? ac , 2 10 所以当 ac 最大时, ?ABC 的面积最大.
因为 b ? a ? c ? 2ac cos B ,所以 4 ? a ? c ?
2 2 2

2

2

8 ac . 5

8 8 2 a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ? 2ac ? ac ? 4 ? ac ? ac ? 10 5 5 5
所以 ?ABC 面积的最大值为 3

例:已知 a ? 2b ? ab ? 30(a ? 0, b ? 0) 求 a ? b 最大值

例:已知 b ? ab ? a ? 3(a, b ? R ? ) 求 a+b 最小值
(2)分式函数上下次幂比为 2:1 的必然均值

例: y ?

3x , x ? [0,??) x ?4
2

解答: y ?

3x 3 3 3 3 ? 2 ? ? ?0? y? x ?4 x ?4 x? 4 x? 4 ?4 4 x x x
2

? ? 例:若 <X< ,则函数 y ? tan 2 x tan 3 x 的最大值为 4 2
我们解析几何会对(2)型进行详细讲解


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