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等比数列前n项和第一课时教案-数学-高一必修5第二章数列2.5人教A版


人教 A 版 第二章 2.5 第一课时

数学教案

必修 5

第二章 2.5 一.学习目标
1.知识与技能

数列

等比数列前 n 项和

(1)理解等比数列前 n 项和公式的推导方法和过程. (2)掌握等比数列前 n 项和公式及其性质的运用.(重点) (3)能够运用错位相减法对数列求和.(难点) 2.过程与方法 通过公式推导,提高数学建模意识,体会特殊到一般的思维方式. 3.情感、态度与价值观 通过经历对公式的探索,激发学生求知欲,鼓励学生大胆尝试,并从中获得成功的体验.

二.重点难点
重点:等比数列前 n 项和公式及其性质的运用 难点:运用错位相减法对数列求和

三.专家建议
通过学习等比数列前 n 项和公式,推导等比数列前 n 项和公式过程用到了错位相减的数学方法,教学 中应给学生渗透分类、错位相减求和的数学思想方法。

四.教学方法
自学训练法、小组讨论法

五.教学过程
●情景导入
国际象棋盘内麦子数“爆炸” 传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴,他决定要重赏西塔,西塔说:“我不要您的重赏,陛下, 只要您在我的棋盘上赏一些麦子就行了. 在棋盘的第 1 个格子里放 1 粒,在第 2 个格子里放 2 粒,在第 3 个格子里放 4 粒,依此类推,以后每 一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍,直到放满第 64 个格子就行了.”“区区小事,几 粒麦子,这有何难,来人!”,国王令人如数付给西塔. 计数麦粒的工作开始了,第一格内放 1 粒,第二格内放 2 粒,第三格内放 4 粒,……,还没有到第二十 格,一袋麦子已经空了.一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是,麦粒数一格接一格飞快增长着,国王 很快就看出,即便拿出全国的粮食,也兑现不了他对西塔的诺言.如何求呢?请进入本节课的学习!

●探究新知
探究点------等比数列前 n 项和公式 我们来研究新课导入中的问题: 思考 1 每个格子里的麦粒数依次组成一个什么样的数列?是等比数列吗? 提示:每个格子里的麦粒数依次组成 1, 2, 2 , 2 , 2 , 2 ,…, 2 ,因为此数列后一项与前一项的比值为 2, 所以此数列是等比数列. 思考 2 请同学们思考一下,故事中发明家要求的麦粒总数如何求解? 提示:发明家要求的麦粒总数就是上述数列的前 64 项的和,即: 1, 2, 2 , 2 , 2 , 2 ,…, 2 由 S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 262 ? 263.
2 3 4 5 63 2 3 4 5 63



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得 2S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ?? 263 ? 264. ② - ①,得 S64 ? 2 ?1
64



这种求和方法称为“错位相减法” , “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法. 思考 3 请同学们自由讨论,自己试着推导一下等比数列前 n 项和公式?

a a2 a3 ? ? ? ? n ? q, a1 a2 an?1 a ? a3 ? ? ? an S ?a 根据比例的性质, 2 ? n 1 ? q, a1 ? a2 ? ? ? an ?1 Sn ? an S ? a1 即 n ? q ? (1 ? q) Sn ? a1 ? an q. Sn ? an
证法一:由等比数列的定义,

当q ? 1时, Sn ?

a1 (1 ? q n ) . 1? q

当q ? 1时, Sn ? na1.
证法二: 设等比数列 a1 , a2 , a3 ,?, an ,? 它的前 n 项和是 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 由 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an及an ? a1qn?1得

Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ?? a1qn?2 ? a1qn?1.⑴
⑴×q,得 ⑴-⑵,得 ?1? q ? ? Sn ? a1 ? a1q ,
n

qSn ? a1q ? a1q2 ??? a1qn?2 ? a1qn?1 ? a1qn .⑵

所以当 q≠1 时, Sn ?

a1 ? ?1 ? q n ?

1? q 显然,当 q=1 时, Sn ? na1 .
等比数列的前 n 项和公式

或Sn ?

a1 ? an q 1? q

思考 4 根据前面推导的等比数列的前 n 项和公式,计算一下麦粒的总数是多少呢?

a1 (1 ? q n ) 1? (1 ? 264 ) Sn ? ? ? 264 ? 1 1? q 1? 2
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所以, 2 ? 1 超过了 1.84 ?1019 ,假定千粒麦子的质量为 40g,那么麦粒的总重量超过了 7000 亿吨,铺在 地球表面厚度可达 9 毫米厚. 所以国王是不可能满足发明者的要求的.

●典例精讲
例 1 “一尺之棰,日取其半,万世不竭”.怎样用学过的知识来说明它? 解:这句古话用现代文叙述是:一尺长的木棒,每天取它的一半,永远也取不完. 如果将每天取出的木棒长度排成一个数列,则得到一个首项 a1 ?

1 1 ,公比 q ? 的等比数列,它的前 n 2 2

1 ? 1 ? ? ?1 ? ( )n ? 1 1 2 ? 2 ? 项和为 Sn ? ? 1 ? ( )n . 不论 n 为何值, 1 ? Sn ? ( ) n 总大于 0,这说明一尺长的木棒按上述 1 2 2 1? 2
方法永远也取不完. 例 2 等比数列 ?an ? 的公比 q ? 解:因为 a8 ? a1q7 , 所以 a1 ?

1 ,a8 ? 1, 求前 8 项的和 S8 2

a8 ? 2 7. 7 q 1 ? ? 27 ?1 ? ( )8 ? 8 a (1 ? q ) 2 ? 因此 S8 ? 1 ? ? ? 28 ? 1 ? 255. 1 1? q 1? 2
小结:等比数列的前 n 项和公式及通项公式涉及到 5 个量: a1 ,q, n,a n ,Sn , 已知其中 3 个量就可以求出 另外的 2 个量. 【提升总结】 等比数列前 n 项和“知三求二”问题 a1-anq a1?1-qn? S n= ,Sn= (q≠1)均为等比数列的求和公式,一共涉及 a1,an,Sn,n,q 五个量,通常已知 1-q 1-q 其中三个,可求另外两个,而且方法就是解方程组,这也是求解等比数列问题的基本方法. 例 3.求和:9+99+999+?+ 999 …… 99 ?? ?? ?
n个9

分析:数列 9,99,999,?不是等比数列,不能用公式求和,但将它转化成 10-1,100-1,1 000-1,? 就容易解决了. 解:原式=(10-1)+(102-1)+?+(10n-1)=(10+102+?+10n)-n

10(10n ? 1) 10 ? ? n ? (10n ? 1) ? n. 9 10 ? 1
例 4 某工厂去年 1 月份的产值为 a 元,月平均增长率为 p(p>0),求这个工厂去年全年产值的总和. 解:该工厂去年 2 月份的产值为 a(1+p)元,3 月,4 月??的产值分别为 a(1+p)2,a(1+p)3,??去年 12 个 月的产值组成以 a 为首项, (1+p)为公比的等比数列,因此,该厂去年全年的总产值为

答:该工厂去年全年的总产值为

元.

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例 5.

1 3 5 7 2n ? 1 ,,, ,…, n 的前 n 项和为 2 4 8 16 2
? 1 3 5 7 2n ? 1 ? ? ? ?…? , 2 4 8 16 2n

.

【探究提示】分子是首项为 1,公差为 2 的等差数列,分母是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 2.可得到 Sn 关于 n 的表达式,从而为求 an,bn 创造了机会. 【解】(1)设 S
n

1 1 2 2 2 2 2 2n ? 1 Sn ? ? ? ? ? ? … ? n ? n ?1 2 2 4 8 16 32 2 2 两式相减得: 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 ? ? ( ? ? ? ? … ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 4 8 16 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 2n ? 1 3 2n ? 3 2 ? ?2 ? n ?1 ? ? n ?1 , 1 2 2 2 2 1? 2
所以

1 1 3 5 7 2n ? 1 Sn ? ? ? ? ? … ? n ?1 , 2 4 8 16 32 2

Sn ? 3 ?

2n ? 3 . 2n

【方法技巧】 1.错位相减法的使用范围及注意事项 (1)适用范围:主要适用于{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前 n 项和. (2)注意事项: ①利用“错位相减法”时,在写出 Sn 与 qSn 的表达式时,应注意使两式对齐,以便于作差,正确 写出(1-q)Sn 的表达式;②利用此法时要注意讨论公比 q 是否等于 1. 2.错位相减法进行求和的基本步骤 (1)在等式 Sn=a1+a2+a3+?+an 两边同乘以等比数列的公比 q. (2)两式相减:左边为(1-q)Sn,右边为 q 的同次式对齐相减. (3)右边去掉最后一项(有时需要去掉第一项)剩下的各项组成等比数列,可以采用公式求和. 例 6.(1)已知等比数列{an}中,前 10 项和 S10=10,前 20 项和 S20=30,求 S30. (2)一个等比数列的首项是 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170,求此数列的公比 和项数. 【思路探究】 (1)列出关于 a1,q 的方程组能求解吗?S10,S20-S10,S30-S20 是否成等比数列?用这 一性质能解决吗?(2)“奇数项之和”、“偶数项之和”的含义是什么?你能使用等比数列前 n 项和的性质 求解吗?

【解析】

(1)法一 设数列{an}的首项为 a1,公比为 q,显然 q≠1,则

? ? ?a ?1-q ? ? 1-q
1

a1?1-q10? =10, 1-q
20

? =30.

两式相除得 1+q10=3,∴q10=2. a1?1-q30? a1?1-q10? ∴S30= = (1+q10+q20) 1-q 1-q =10×(1+2+4)=70. 法二 ∵S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列,

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又∵S10=10,S20=30, ?30-10?2 ∴S30-30= , 10 即 S30=70. (2)法一 设原等比数列的公比为 q,项数为 2n(n∈N*). 1-q ? ? 1-q =85, 由已知 a =1,q≠1,有? q?1-q ? ? 1-q =170. ?
2 1 2n 2 2n

① ②

由②÷ ①,得 q=2, 1-4n ∴ =85,4n=256,∴n=4. 1-4 故公比为 2,项数为 8. 法二 ∵S 偶=a2+a4+?+a2n=a1q+a3q+?+a2n-1q =(a1+a3+?+a2n-1)q=S 奇· q, S偶 170 ∴q= = =2. S奇 85 又 Sn=85+170=255, a1?1-qn? 1-2n 据 Sn= ,得 =255,∴2n=256,∴n=8. 1-q 1-2 故公比 q=2,项数 n=8. 规律方法: 1.解决本例有两种思路:用等比数列的前 n 项和公式直接求解,属通性通法;用性质求解,方法灵活, 技巧性强,有时使计算简便. 2.等比数列前 n 项和的常用性质 (1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为 q. ①若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; ②若共有 2n+1 项, a1+a2n+1q 则 S 奇-S 偶= (q≠1 且 q≠-1). 1+q (2)“片断和”性质: 等比数列{an}中, 公比为 q, 前 m 项和为 Sm(Sm≠0), 则 Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, ?, m Skm-S(k-1)m,?构成公比为 q 的等比数列.

●课堂小结
1.注意等比数列的前 n 项和公式分 q ? 1 和 q ? 1 两种情况. 当 q≠1 时, Sn =

a1 ?1-qn ? 1-q

或 Sn =

a1 -a nq , 1-q

当 q=1 时, Sn ? na1 。 2.学会等比数列的前 n 项和公式的推导过程(两种方法). 3.错位相减法的使用范围及注意事项

六.板书设计
等比数列的前 n 项和

学习目标
1.理解等比数列前 n 项 和公式的推导方法和过程. 2.掌握等比数列前 n 项 和公式及其性质的运用.

探究:等比数列的前
n 项和

典例分析 例1 例2 例3 例4

小结:

思考 1 第 5 页共 5 页 思考 2. 思考 3.

作业

当堂检

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七.当堂检测
1.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)设首项为 1,公比为 A. Sn ? 2an ? 1 C. Sn ? 4 ? 3an B. Sn ? 3an ? 2 D. Sn ? 3 ? 2an

2 ,的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( 3



2. 三 个 正 数 a,b,c 成 等 比 数 列 , 且 三 个 正 数 满 足 a+b+c=62,lga+lgb+lgc=3, 则 这 三 个 正 数 为 ________________________ . 3. (2013· 江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前 一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于________. 4. ( 2013· 北京高考)若等比数列 {an} 满足 a2 + a4=20 , a3 + a5=40 ,则公比 q= Sn=__________. ;前 n 项和

答案: 1.D 2. 2,10,50 或 50,10,2

3.6 4.2

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