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100测评网江苏省淮安市2008—2009学年度高三第二次调研考试数学试题


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江苏省淮安市 2008—2009 学年度高三第二次调研考试数学试题
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本斌卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷 满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在试卷及 答题纸上. 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位;置作答 一律无效. 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.

一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 2 1.已知集合 A={x|x=2n—l,n∈Z},B={x|x 一 4x<0},则 A∩B= . 2.在复平面内,复数 z=
2

i (i 是虚数单位)对应的点位于第 1? i

象限· . .

3.若命题“ ? x∈R,x +ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 4.已知向量 a=(sinx,cosx),b=(1,一 2),且 a⊥b,则 tan2x=

?x ? 1 ? 5.如果实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=x+2y 最小值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
6.若函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在 ? ?

.

? 2? 2? ? 上单调递增,则 ? 的最大值为 , ? 3 3 ? ?

.

7.已知一个棱长为 6cm 的正方体塑料盒子(无上盖),上口放着一个半径为 5cm 的钢球,则球心到 盒底的距离为 cm. 8.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 T 为 . T←1 I←3 While I<50 T←T +I I←I +2 End While Print T y A D A B E D C O C B x

第8题
0

第9题

第 10 题

9.如图,在△ABC 中,∠BAC=120 ,AB=AC=2,D 为 BC 边上的点,且 AD ? BC ? 0 ,CE ? 2 EB , 则 AD ? AE ? .

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10.如图, 已知双曲线以长方形 ABCD 的顶点 A, B 为左、 右焦点, 且过 C, D 两顶点. 若 AB=4, BC=3, 则此双曲线的标准方程为 . 11.已知函数 f(x)= f ?( ) sinx+cosx,则 f ( ) =

?

?

2

4

.

12.如图,半径为 10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1 cm 的 小圆.现将半径为 1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上,使硬币整体随机 落在纸板内,则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 . 13.已知数列{an}共有 m 项,记{an}的所有项和为 s(1),第二项及以后 所有项和为 s(2),第三项及以后所有项和为 s(3),?,第 n 项及以后所有项和为 s(n),若 s(n) 是首项为 1,公差为 2 的等差数列的前 n 项和,则当 n<m 时,an = . 14.设函数 f ( x ) ? ? 围为

? 21? x , x ? 0 ? f ( x ? 1), x ? 0
.

,方程 f(x)=x+a 有且只有两相不等实数根,则实 a 的取值范

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分 14 分) 已知 z,y 之间的一组数据如下表: x y 1 1 3 2 6 3 7 4 8 5

(1)从 x ,y 中各取一个数,求 x+y≥10 的概率; (2)对于表中数据,甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y ?

1 1 1 x ?1与 y ? x ? , 3 2 2

试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好.

16.(本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形,BC 上平面 ABE,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 的中点. 求证:MN∥平面 DAE. D N A E M F B C

第 16 题

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17.(本小题满分 14 分) 在直角坐标系 xoy 中,若角 ? 的始边为 x 轴的非负半轴,终边为射线 l:y= 2 2 x (x≥0). (1)求 sin(? ?

?
6

) 的值;

(2)若点 P,Q 分别是角 ? 始边、终边上的动点,且 PQ=4,求△POQ 面积最大时,点 P,Q 的坐标.

18.(本小题满分 16 分) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 且与 AF 垂直的光线经椭圆的右 a 2 b2

准线反射,反射光线与直线 AF 平行. (1)求椭圆的离心率; (2)设入射光线与右准线的交点为 B,过 A,B,F 三点的圆恰好与直线 3x 一 y+3=0 相切,求椭圆 的方程.

19.(本题满分 16 分) 2 已知函数 f(x)=alnx+x (a 为实常数). (1)若 a=-2,求证:函数 f(x)在(1,+.∞)上是增函数; (2)求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分) 已知以 a 为首项的数列 ?an ? 满足: an ?1 ? ? (1)若 0< an ≤6,求证:0< an ?1 ≤6; (2)若 a,k∈N﹡,求使 an? k ? an 对任意正整数 n 都成立的 k 与 a; (3)若 a ?

?an ? 3, an ? 3, ?2an , an ? 3.

3 (m∈N﹡),试求数列 ?an ? 的前 4m+2 项的和 s4 m? 2 . 2 ?1
m

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淮安市 2008—2009 学年度高三第二次调研考试

数学附加题
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本斌卷共 2 页,包含选做题(第 21 题中 A、B、C、D 四小题)、必做题(第 22 题、第 23 题) 两部分.本试卷满分 40 分,考试时间为 30 分钟.考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在试卷及 答题纸上. 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位;置作答 一律无效. 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚. 21.【选做题】在 A、B、c、D 四道题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指 定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4 一 l:几何证明选讲 在△ABC 中,已知 CM 是∠ACB 的平分线,△AMC 的外接圆交 BC 于点 N.若 AC= 求证:BN=2AM. M O B B.选修 4—2:矩阵与变换 设 a,b∈R,若矩阵 A= ? 求 a,b 的值.

1 AB, 2
A

N 第 21-A 题

C

? a 0? ? 把直线 l:2x+y 一 7=0 变换为另一直线 l ? :9x+y 一 91=0,试 ? 1 b ? ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 x0y 内,直线 l 的参数方程为 ? 标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ?

? x ? 2 ? 2t , (t 为参数).以 Ox 为极轴建立极坐 ? y ? 1 ? 4t ,

?
4

).

(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系. D.选修 4—5:不等式选讲 3 3 3 2 2 2 设 x,y,z 为正数,证明:2(x +y +z )≥x (y+z)+ y (x+z)+ z (x+y).

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,F 是 BC 的中点,点 E 在 D1C1 上,且 D1E= 试求直线 EF 与平面 D1AC 所成角的正弦值. D1 A1 E C1

1 D1C1, 4

B1

D F A B

C

23.(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃,要求同一区域上用同一种 颜色鲜花,相邻区域用不同颜色鲜花,问共有多少种不同的摆放方案? (2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃,要求同一区域上用同一种 颜色鲜花,相邻区域使用不同颜色鲜花. ①求恰有两个区域用红色鲜花的概率; ②记花圃中红色鲜花区域的块数为 S,求拿的分布列及其数学期望 E(S).

图一

图二

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淮安市 2008~2009 学年度高三年级第二次调研考试

数学试题参考答案及评分标准
必做题部分
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分。 1. ?1,3? 8.625 2.一 9.1 3. (?? , ? 2) ∪ (2, ? ?) 10. x 2 ?

y2 ?1 11.0 13. ? 2n ? 1 14. ?3, 4 ? 3 二、 解答题:本大题共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤。
15. (1)从 x,y 各取一个数组成数对(x ,y),共有 25 对,????????????2 分 其中满足 x ? y ? 10 的有 (6,4), (6,5), (7,3), (7,4), (7,5), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5) ,共 9 对?5 分 故所求概率为 P ? (2)用 y ?

4 3 77 12. 81
4. ?

5.5

6.

3 4

7.10

9 9 ,所以使 x ? y ? 10 的概率为 .???? 7 分 25 25

1 x ? 1 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 3 4 10 11 7 S1 ? ( ? 1) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 3) 2 ? ( ? 4) 2 ? ( ? 5) 2 ? .?????10 分 3 3 3 3 1 1 用 y ? x ? 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 2 2 7 9 1 S 2 ? (1 ? 1) 2 ? (2 ? 2) 2 ? ( ? 3) 2 ? (4 ? 4) 2 ? ( ? 5) 2 ? .????????12 分 2 2 2 1 1 ? S 2 ? S1 ,故用直线 y ? x ? 拟合程度更好.?????14 分 2 2
D N A E M 第 16 题图 F M B C

16. (1)证明:因为 BC ? 平面ABE , AE ? 平面ABE , 所以 AE ? BC ,?????????????2 分 又 BF ? 平面ACE , AE ? 平面ACE , 所以 AE ? BF , ???????????4 分 又 BF

BC ? B ,所以 AE ? 平面BCE ?????6 分
?????????8 分

又 BE ? 平面BCE ,所以 AE ? BE .

(2)取 DE 的中点 P ,连接 PA, PN ,因为点 N 为线段 CE 的中点. 所以 PN || DC ,且 PN ?

1 DC , 2

????????????10 分

又四边形 ABCD 是矩形,点 M 为线段 AB 的中点,所以 AM || DC ,且 AM ?

1 DC , 2

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所以 PN ||

AM

,且 PN ? AM ,故四边形 AMNP 是平行四边形,所以 MN || AP 12 分
????14 分

而 AP ? 平面 DAE , MN ? 平面 DAE ,所以 MN ∥ 平面 DAE . 17.(1)由射线 l 的方程为 y ? 2 2x ,可得 sin ? ? 故 sin(? ?

2 2 1 , cos? ? , 3 3

??2 分

?
6

)=

2 2 3 1 1 1? 2 6 ? ? ? ? . 3 2 3 2 6

??????????4 分

(2)设 P?a,0?, Q b,2 2b ?a ? 0, b ? 0? . 在 ?POQ 中因为 PQ2 ? ?a ? b? ? 8b 2 ? 16 , ?????????6 分
2

?

?

即 16 ? a ? 9b ? 2ab ? 6ab ? 2ab ? 4ab ,所以 ab ≤4
2 2

?????8 分

?S?POQ ? 2ab ? 4 2 .当且仅当 a ? 3b ,即 a ? 2 3, b ?

2 3 取得等号. 3

????10 分

所以 ?POQ 面积最大时,点 P, Q 的坐标分别为 P 2 3 ,0 , Q?

?

?

?2 3 4 6? ? ? 3 , 3 ? .????14 分 ? ?
??2 分

18.⑴因为入射光线与反射光线垂直,所以入射光线与准线所成的角为 45 ? , 即 ?FAO ? 45? ,所以 b ? c ,所以椭圆的离心率为
2 . ???????6 分 2

⑵由⑴知 b ? c, a ? 2c ,可得 A ? 0, c ? , B ? 2c, ?c ? ,又 AF ? AB ,所以过 A, B, F 三点的圆的圆心坐
1 10 ?c c? c, 标为 ? , ? ? ,半径 r ? FB ? 2 2 2 2 ? ?

??????????????8 分

因为过 A, B, F 三点的圆恰好与直线 3x ? y ? 3 ? 0 相切,?????????10 分

3 1 c? c?3 10 2 2 所以圆心到直线 3x ? y ? 3 ? 0 的距离等于半径 r ,即 ? c ,得 c ? 1 , 14 分 2 10
所以 b ? 1, a ? 2 ,所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . ????????16 分 2

19. (1)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 ln x ,当 x ? (1,??) , f ?( x) ? 故函数 f ( x) 在 (1,?? ) 上是增函数.??????????4 分 (2) f ?( x) ?

2( x 2 ? 1) ? 0, x

2x 2 ? a ( x ? 0) ,当 x ?[1, e] , 2x 2 ? a ?[a ? 2, a ? 2e 2 ] . x

若 a ? ?2 , f ?( x ) 在 [1, e] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=1 时, f ?( x) ? 0 ) ,故函数 f ( x) 在 [1, e] 上

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是增函数,此时 [ f ( x)] min ? f (1) ? 1 . ?????6 分 若 ? 2e 2 ? a ? ?2 ,当 x ?

?a 时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2

?a 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 2

是减函数; 当

?a ?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是增函数.故 [ f ( x)] min ? f ( ) 2 2

?

a a a ln(? ) ? . 2 2 2
若 a ? ?2e 2 , f ?( x ) 在 [1, e] 上非正(仅当 a ? ?2e 2 ,x=e 时, f ?( x) ? 0 ) ,故函数 f ( x) 在 [1, e]

上是减函数,此时 [ f ( x)] min ? f (e) ? a ? e 2 .?????????8 分 综上可知,当 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值为 1,相应的 x 值为 1;当 ? 2e 2 ? a ? ?2 时, f ( x)

的最小值为

?a a a a ;当 a ? ?2e 2 时, f ( x) 的最小值为 a ? e 2 , ln(? ) ? ,相应的 x 值为 2 2 2 2

相应的 x 值为 e .????????????????10 分 (3)不等式 f ( x) ? (a ? 2) x , 可化为 a( x ? ln x) ? x 2 ? 2 x . ∵ x ?[1, e] , ∴ ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 , 因而 a ?

x 2 ? 2x ( x ?[1, e] )?????????????????12 分 x ? ln x
x 2 ? 2x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) ( x ?[1, e] ) ,又 g ?( x) ? ,???14 分 x ? ln x ( x ? ln x) 2

令 g ( x) ?

当 x ?[1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 , 从而 g ?( x) ? 0 (仅当 x=1 时取等号) ,所以 g ( x) 在 [1, e] 上为增函数, 故 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以 a 的取值范围是 [?1,??) . ?????16 分 20. (1)当 a n ? (0,3] 时,则 an?1 ? 2an ? (0,6] ,当 a n ? (3,6] 时,则 an?1 ? an ? 3 ? (0,3] , 故 an?1 ? (0,6] ,所以当 0 ? an ? 6 时,总有 0 ? an?1 ? 6 . ??????4 分

(2)①当 a ? 1 时, a 2 ? 2, a3 ? 4, a 4 ? 1 ,故满足题意的 k ? 3t , t ? N*. 同理可得,当 a ? 2 或 4 时,满足题意的 k ? 3t , t ? N*.

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当 a ? 3 或 6 时,满足题意的 k ? 2t , t ? N*. ②当 a ? 5 时, a 2 ? 2, a3 ? 4, a 4 ? 1 ,故满足题意的 k 不存在. ③当 a ? 7 时,由(1)知,满足题意的 k 不存在.
2, 4 时,满足题意的 k ? 3t , t ? N*; 综上得:当 a ? 1, 6 时,满足题意的 k ? 2t , t ? N*. 当 a ? 3,

???????????????10

分 (3)由 m ? N*,可得 2 m ? 1 ? 1 ,故 a ? 当 1 ? k ? m 时, 2 k ?1 a ?

3 ?3, 2 ?1
m

3 ? 2 m?1 3 ? 2 m?1 3 ? 2 m?1 ? ? ? 3. 2 m ? 1 2 m?1 ? (2 m?1 ? 1) 2 m?1
3 ? 2m ? 3, 2m ? 1

故 ak ? 2 k ?1 a 且 a m?1 ? 2 m a .又 a m ?1 ?

所以 a m ? 2 ? a m ?1 ? 3 ? 2 m a ? 3 ? 2 m ? 故 S 4m?2 ? S 4( m?1) ? a4m?3 ? a4m?4

3 ?3?a. 2 ?1
m

=4 (a1 ? a2 ? ?? ? am?1 ) ? (2 m?1 ? 2 m )a =4 (1 ? 2 ? ? ? 2 m )a ? 3 ? 2 m?1 a ? 4(2 m?1 ? 1)a ? 3 ? 2 m?1 a = (2 m?3 ? 4 ? 3 ? 2 m?1 )a ?

39 ? 2 m?1 ? 12 . 2m ? 1

?????16 分

附加试题 21.A 证明:如图,在△ ABC 中,因为 CM 是∠ ACM 的 平分线,

A M O

AC AM 1 ? .又已知 AC ? AB , BC BM 2 AB 2 AM ? 所以 …①???????? 4 分 BC BM
所以 又因为 BA 与 BC 是圆 O 过同一点 B 的弦, 所以 BM ? BA ? BN ? BC ,即 由①、②可知, B

B

N

C

BA BN ? ……② BC BM

????????????8 分 ??????10 分

2 AM BN ? ,所以 BN=2AM. BM BM

取 l 上两点(0,7)和(3.5,0) ,

?????????????2 分

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? a 0? ?0? ? 0 ? ? a 0? ?3.5? ? 3.5a ? 则? ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ?, ?? 1 b? ?7? ?7b? ?? 1 b? ? 0 ? ?? 3.5?

??????6 分

由题意知 (0,7b), (3.5a,?3.5) 在直线 l ' :9x+y-91=0 上, ∴? 解得 C
?7b ? 91 ? 0 ?31.5a ? 3.5 ? 91 ? 0
a ? 3, b ? 13

?????????????????8 分 ????????????????10 分 ?????4 分

(1)消去参数 t ,得直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 x ? 3 ;

? ? ? 2 2 (sin ? ? ) ,即 ? ? 2(sin? ? cos? ) , 两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) ,
4
消去参数 ? ,得⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 因为 x2 ? y 2 ? 2xy ? 0 ???8 分

| 2 ?1 ? 3 | 22 ? 12

?

2 5 ? 2 ,所以直线 l 和⊙ C 相交.?10 分 5
??????????2 分

D

所以 x3 ? y3 ? ? x ? y ? x2 ? xy ? y2 ? xy ? x ? y ? 同理 y3 ? z3 ? yz ? y ? z ? , z3 ? x3 ? zx ? z ? x ?

?

?

???????????4 分 ???????????8 分

三式相加即可得 2 x3 ? y3 ? z3 ? xy ? x ? y ? ? yz ? y ? z ? ? zx ? z ? x ? 又因为 xy ? x ? y ? ? yz ? y ? z ? ? zx ? z ? x ? ? x2 ? y ? z ? ? y 2 ? x ? z ? ? z 2 ? x ? y ? 所以 2 x3 ? y3 ? z3 ? x2 ? y ? z ? ? y2 ? x ? z ? ? z 2 ? x ? y ?

?

?

?

?

??????????10 分

22.设正方体棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交基底,建立如图所示坐标系 D ? xyz ,则各 点的坐标分别为 B1 ?1,1,1? , E ? 0, ,1? , F ? ,1,0 ? ,????????????2 分 所以 DB1 ? (1,1,1) , EF ? ( , ,?1) ,

? ?

1 ? 4 ?

?1 ?2

? ?

1 3 2 4

????4 分
A1

z D1 E C1

DB1 为平面 D1 AC 的法向量,
cos ? DB1 , E F ?? DB1 ? EF | DB1 | | EF | ? 1? 1 3 ? 1? ? 1?1 87 2 4 .??8 分 ? 87 1 9 3? ? ?1 4 16

B1

D F A x B

C y

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87 .??????????10 分 87

所以直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值为

23. (1)根据分步计数原理,摆放鲜花的不同方案有: 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 48 种.???2 分 (2)① 设 M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”, 如图二,当区域 A、D 同色时,共有 5 ? 4 ? 3 ? 1? 3 ? 180 种; 当区域 A、D 不同色时,共有 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 240 种; 因此,所有基本事件总数为:180+240=420 种.??????????4 分 (由于只有 A、D,B、E 可能同色,故可按选用 3 色、4 色、
3 5 ? 2 A54 ? A5 ? 420 种) 5 色分类计算,求出基本事件总数为 A5

A B

它们是等可能的。又因为 A、D 为红色时,共有 4 ? 3 ? 3 ? 36 种; B、E 为红色时,共有 4 ? 3 ? 3 ? 36 种; 因此,事件 M 包含的基本事件有:36+36=72 种. 所以, P( M ) =

D
图二

E

72 6 ? . 420 35

???????????????6 分

②随机变量 ? 的分布列为:

?
0 1 2

P

6 35

23 35

6 35

所以, E (? ) = 0 ?

6 23 6 ? 1? ? 2 ? ? 1 .?????????????10 分 35 35 35

=========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版, 外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小 五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字:

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