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高清版2016年新课标Ⅲ理数高考试题文档版(含答案)(精校版)


2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(新课标Ⅲ)
第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
(1)设集合 S ? ?x|(x? 2)(x? 3) ? 0? ,T ? ?x|x ? 0? ,则 S I T= (A) [2,3] (C) [3,+ ? ) (2)若 z=1+2i,则 (A)1 (B)(- ? ,2] U [3,+ ? ) (D)(0,2] U [3,+ ? )

4i ? z z ?1
(B) -1 (C) i (D)-i

(3)已知向量 BA ? ( ,

uuv

v 1 3 uuu 3 1 ) , BC ? ( , ), 则 ? ABC= 2 2 2 2
(D)1200

(A)300 (B) 450 (C) 600 (4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了 一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C, B 点表示四月的平 0 均最低气温约为 5 C。下面叙述不正确的是 (A) 各月的平均最低气温 都在 00C 以上 (B) 七月的平均温差比一 月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均 最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的 月份有 5 个

n? ( 5 ) 若 t a?
c o 2s ??
(A)

3 4

, 则

2 s? i? n 2
(B)
4 3 2 5

64 25

48 25
1 3

(C) 1

(D)

16 25

(6)已知 a ? 2 , b ? 4 , c ? 25 ,则 (A) b ? a ? c (B) a ? b ? c (C) b ? c ? a (D) c ? a ? b (7)执行下图的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n= (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

(8)在 △ABC 中, B =

π 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 cos A = 4 3
第 1 页 共 1 页

(A)

3 10 10

(B)

10 10

(C) -

10 10

(D) -

3 10 10

(9)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 (A) 18 ? 36 5 (C)90 (B) 54 ? 18 5 (D)81

(10) 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球,若 AB ? BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是 (A)4π (C)6π

9? 2 32? (D) 3
(B)

(11)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点.P a 2 b2

为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点,则 C 的离心率为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(12) 定义“规范 01 数列”{an}如下: {an}共有 2m 项, 其中 m 项为 0, m 项为 1, 且对任意 k ? 2 m , a1 , a2 ,?, ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有 (A)18 个 (B)16 个 (C)14 个 (D)12 个

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24) 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分

?x ? y ?1 ? 0 ? (13) 若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

错误! 未找到引用源。 则 z=x+y 的最大值为_____________.

(14) 函数错误! 未找到引用源。 的图像可由函数错误! 未找到引用源。 的图像至少向右平移_____________ 个单位长度得到。 (15)已知 f(x)为偶函数,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,则曲线 y=f(x),在点(1, -3)处的切线方程是_______________。 (16)已知直线错误!未找到引用源。与圆错误!未找到引用源。交于 A,B 两点,过 A,B 分别做 l 的垂 线与 x 轴交于 C,D 两点,若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。__________________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
第 2 页 共 2 页

(17) (本小题满分 12 分) 已知数列错误!未找到引用源。的前 n 项和错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,其中 ? 错误!未 找到引用源。0 (I)证明错误!未找到引用源。是等比数列, 并求其通项公式 求? (18) (本小题满分 12 分) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图 (II)若 S5 =

31 错误!未找到引用源。 , 32

(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明 (II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量。 附注: 参考数据:

? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 ,错误!未找到引用源。≈2.646.

参考公式: r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n


P

i

? y) 2

? ? ? 回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? , a =y ? bt .
A

N

? t )2
B

M

D

C

(19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点, AM=2MD,N 为 PC 的中点.
第 3 页 共 3 页

(I)证明 MN∥平面 PAB; (II)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. (20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: y 2 ? 2 x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1 , l2 分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P, Q 两点. (I)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明 AR∥FQ; (II)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. (21) (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=acos2x +(a-1) (cosx+1) ,其中 a>0,记 f ( x) 的最大值为 A. (Ⅰ)求 f ?( x ) ; (Ⅱ)求 A; (Ⅲ)证明 f ?( x) ≤2A. 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。 如果多做,则按所做的第一题计分。 P 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
B

AB 的中点为 P,弦 PC,PD 分别交 AB 于 E,F 两点. 如图,⊙O 中 ?

A

E

F

(I)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD 的大小; (II)若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G, 证明 OG⊥CD.
C

O G

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

D

? ? x ? 3 cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (? 为参数) ,以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴 ? ? y ? sin ?

? 为极轴, ,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 2 2 . 4
(I)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (II)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? a (I)当 a=2 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (II)设函数 g ( x) ?| 2 x ? 1|, 当 x ? R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围.

第 4 页 共 4 页

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试题类型:新课标Ⅲ

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
(1)D (8)C (2)C (9)B (3)A (4)D (5)A (11)A (6)A (12)C (7)B

(10)B

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
(13)

3 2 ?? 3

(14)

(15) y ? ?2 x ? 1 (16)4

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 a1 ? S1 ? 1 ? ?a1 ,故 ? ? 1 , a1 ?

1 , a1 ? 0 . 1? ?

由 Sn ? 1 ? ?an , Sn ?1 ? 1 ? ?an ?1 得 an ?1 ? ?an ?1 ? ?an ,即 an ?1 (? ? 1) ? ?an .由 a1 ? 0 , ? ? 0 得 an ? 0 , 所以

an ?1 ? . ? an ? ?1
1 ? 1 ? n ?1 ( ) . ,公比为 的等比数列,于是 an ? 1? ? ? ?1 1? ? ? ?1

因此 {an } 是首项为

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n ? 1 ? ( 解得 ? ? ?1 . (18) (本小题满分 12 分)

? ? ?1

) n ,由 S5 ?

? 5 1 31 ? 5 31 ) ? ) ? 得1 ? ( ,即 ( , 32 32 ? ?1 32 ? ?1

第 5 页 共 5 页

解: (Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得

t ? 4 , ? (ti ? t ) 2 ? 28 ,
i ?1

7

? ( y ? y)
i ?1 i
7 i ?1

7

2

? 0.55 ,

? (ti ? t )( yi ? y) ?
i ?1

7

? ti yi ? t ? yi ? 40.17 ? 4 ? 9.32 ? 2.89 ,
i ?1

7

r?

2.89 ? 0.99 . 0.55 ? 2 ? 2.646

因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的 关系.

9.32 ?? ? 1.331 及(Ⅰ)得 b (Ⅱ)由 y ? 7

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

7

?

? t )2

2.89 ? 0.103, 28

?t ? 1.331? 0.103? 4 ? 0.92. ? ? y ?b a
? ? 0.92 ? 0.10t . 所以, y 关于 t 的回归方程为: y ? ? 0.92 ? 0.10? 9 ? 1.82 . 将 2016 年对应的 t ? 9 代入回归方程得: y
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. (19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 AM ?

2 AD ? 2 ,取 BP 的中点 T ,连接 AT ,TN ,由 N 为 PC 中点知 TN // BC , 3

TN ?

1 BC ? 2 . 2

又 AD // BC ,故 TN 平行且等于 AM ,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN // AT . 因为 AT ? 平面 PAB , MN ? 平面 PAB ,所以 MN // 平面 PAB . ( Ⅱ ) 取 BC 的 中 点 E , 连 结 AE , 由 AB ? AC 得 AE ? BC , 从 而 AE ? AD , 且

AE ? AB2 ? BE2 ? AB2 ? (

BC 2 ) ? 5. 2

以 A 为坐标原点, AE 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,由题意知,

P(0,0,4) , M (0,2,0) , C( 5,2,0) , N (

5 ,1,2) , 2

PM ? (0,2,?4) , PN ? (

5 5 ,1,?2) , AN ? ( ,1,2) . 2 2

?2 x ? 4 z ? 0 ? ?n ? PM ? 0 ? 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PMN 的法向量,则 ? ,即 ? 5 ,可取 n ? (0,2,1) , x ? y ? 2z ? 0 ? ? ?n ? PN ? 0 ? 2
第 6 页 共 6 页

于是 | cos ? n, AN ?|?

| n ? AN | 8 5 . ? | n || AN | 25

(20)解:由题设 F ( ,0) .设 l1 : y ? a, l2 : y ? b ,则 ab ? 0 ,且

1 2

a2 b2 1 1 1 a?b A( ,0), B( , b), P(? , a), Q(? , b), R(? , ). 2 2 2 2 2 2
记过 A, B 两点的直线为 l ,则 l 的方程为 2 x ? (a ? b) y ? ab ? 0 . (Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故 1 ? ab ? 0 . 记 AR 的斜率为 k1 , FQ 的斜率为 k2 ,则 .....3 分

k1 ?

a ?b a ?b 1 ? ab ? 2 ? ? ? ?b ? k 2 . 2 1? a a ? ab a a
......5 分

所以 AR ∥ FQ .

(Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 D( x1 ,0) , 则 S ?ABF ?

a ?b 1 1 1 . b ? a FD ? b ? a x1 ? , S ?PQF ? 2 2 2 2 1 1 a ?b ,所以 x1 ? 0 (舍去) , x1 ? 1 . b ? a x1 ? ? 2 2 2

由题设可得

设满足条件的 AB 的中点为 E ( x, y ) . 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 k AB ? k DE 可得 而

a?b ? y ,所以 y 2 ? x ? 1( x ? 1) . 2

2 y ? ( x ? 1) . a ? b x ?1

当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y ? x ?1 .
2

....12 分

(21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? ?2a sin 2x ? (a ?1)sin x .
'

第 7 页 共 7 页

(Ⅱ)当 a ? 1 时,

| f ' ( x) |?| a sin 2 x ? (a ?1)(cos x ? 1) | ? a ? 2(a ? 1) ? 3a ? 2 ? f (0)
因此, A ? 3a ? 2 . ???4 分 当 0 ? a ? 1 时,将 f ( x ) 变形为 f ( x) ? 2a cos2 x ? (a ?1)cos x ?1 . 令 g (t ) ? 2at 2 ? (a ?1)t ?1 , 则 A 是 | g (t ) | 在 [?1,1] 上的最大值,g (?1) ? a ,g (1) ? 3a ? 2 , 且当 t ?

1? a 4a

1? a (a ? 1)2 a 2 ? 6a ? 1 )?? ?1 ? ? 时, g (t ) 取得极小值,极小值为 g ( . 4a 8a 8a
令 ?1 ?

1 1 1? a ? 1 ,解得 a ? ? (舍去) ,a ? . 3 5 4a

(ⅰ)当 0 ? a ?

1 时, g (t ) 在 (?1,1) 内无极值点, | g (?1) |? a , | g (1) |? 2 ? 3a , | g (?1) |?| g (1) | ,所以 5

A ? 2 ? 3a .
(ⅱ)当

1 1? a ? a ? 1 时,由 g (?1) ? g (1) ? 2(1 ? a) ? 0 ,知 g (?1) ? g (1) ? g ( ). 5 4a

又 | g(

1? a (1 ? a)(1 ? 7a) 1? a a 2 ? 6a ? 1 ) | ? | g (?1) |? ? 0 ,所以 A ?| g ( ) |? . 4a 8a 4a 8a

1 ? ? 2 ? 3a, 0 ? a ? 5 ? 2 ? a ? 6a ? 1 1 , ? a ?1. 综上, A ? ? 8 a 5 ? 3 a ? 2, a ?1 ? ? ?
'

???9 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)得 | f ( x) |?| ?2a sin 2 x ? (a ?1)sin x |? 2a? | a ?1| . 当0 ? a ? 当

1 ' 时, | f ( x) |? 1 ? a ? 2 ? 4a ? 2(2 ? 3a) ? 2 A . 5

1 a 1 3 ? a ? 1 时, A ? ? ? ? 1 ,所以 | f ' ( x) |? 1 ? a ? 2 A . 5 8 8a 4
' '

当 a ? 1 时, | f ( x) |? 3a ?1 ? 6a ? 4 ? 2 A ,所以 | f ( x) |? 2 A . 请考生在[22]、 [23]、 [24]题中任选一题作答。 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。 如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)连结 PB, BC ,则 ?BFD ? ?PBA ? ?BPD, ?PCD ? ?PCB ? ?BCD . 因为 AP ? BP ,所以 ?PBA ? ?PCB ,又 ?BPD ? ?BCD ,所以 ?BFD ? ?PCD . 又 ?PFD ? ?BFD ? 180 , ?PFB ? 2?PCD ,所以 3?PCD ? 180 , 因此 ?PCD ? 60 .
?

?

?

? (Ⅱ)因为 ?PCD ? ?BFD ,所以 ?PCD ? ?EFD ? 180 ,由此知 C , D, F , E 四点共圆,其圆心既在 CE

第 8 页 共 8 页

的垂直平分线上,又在 DF 的垂直平分线上,故 G 就是过 C , D, F , E 四点的圆的圆心,所以 G 在 CD 的垂 直平分线上,因此 OG ? CD .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

x2 ? y 2 ? 1, C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . ??5 分 解: (Ⅰ) C1 的普通方程为 3
(Ⅱ)由题意,可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,因为 C2 是直线,所以 | PQ | 的最小值, 即为 P 到 C2 的距离 d (? ) 的最小值, d (? ) ? ??????8 分 当 且 仅 当 ? ? 2 k? ?

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? ? 2 | sin(? ? ) ? 2 | . 3 2

?
6

(k ? Z ) 时 , d (? ) 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为

2 ,此时 P 的直角坐标为

3 1 ( , ). 2 2

??????10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ? 2 | ?2 . 解不等式 | 2 x ? 2 | ?2 ? 6 ,得 ?1 ? x ? 3 . 因此, f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?1 ? x ? 3} . ??????5 分

(Ⅱ)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? a | ?a ? |1 ? 2 x |

?| 2 x ? a ? 1 ? 2 x | ?a ?|1 ? a | ?a ,
当x?

1 时等号成立, 2
① ??7 分

所以当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? 3 等价于 |1 ? a | ?a ? 3 . 当 a ? 1 时,①等价于 1 ? a ? a ? 3 ,无解. 当 a ? 1 时,①等价于 a ? 1 ? a ? 3 ,解得 a ? 2 . 所以 a 的取值范围是 [2, ??) . ??????10 分

第 9 页 共 9 页


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