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极端原理在解题中的应用


听 对 应 的 习里 方 向 相 叹 本 或





只 乏

,




,

是 单位 川 上 的 奴


一 刀
,

,

半分 件
略,
一 一



由 菱形 的 性 质 叫 知


、 伙 娜 了 、 卜 尸





’ 丫

一、

简证

勺 洲

几月





几 何 直观 ’ 得 汗











介兀


,

例 是



一 】



。 二

兵华


,

的模 也








鱿 洲寸
,


一 。
,

所 利, 向 童 方 向 相







、二 十



一下 十

,






‘ , 兀





以 月

证 明 依题 意 构 造 图 为复 平 而 内单 位 圆 上 一 点 该 圆 交 正 半 实轴 于 点 为复 月 不 在一 直 线 平 而 内任 一 点 一 般 地
, ,
,

,

,







所 刊应 的 向 虽 方



则 可 以 设 口元



、 ,

。乙




口万
,



厂所

向相 反





、‘ 三 二 、 十
·

则由





对 应 的 向 量分 别 为 万 和 口万关 于 实 轴对 称 时 针 旋转 乙


,



‘ , 月

反 其中 万由。 万 绕 。 逆
,




一 反
·

而得



则 万
艺 二 匕刀


, ,

了‘









,

笋 一

,

求证

及 匕








南匕 月 得 匕
,

,








口 十川
,


分析

是 纯虚 数 欲 证 乙二

故 △ 口 刀 望△






户司

粤是 纯 虚 数
, ,

,


丁一下万 一 汉

丁 证



刀 七人 口

与 所 对 应 的 向 业万 相 垂 直 这 由 月 来 看是 显 而 易 见 的 在 图 中 口刀 口




,

极 端 原 理 在 解 题 中 的 应 用
贵 州省 罗甸 民 族 中 学
为 了解 决 某 些 数 学 问 题 没 想 极 端 考 察 某 些 邻 界 的元 素 例如 取 函数 的 鼓 位


刘 隆华

,

,





,


,


·

是 平而 点 集

,

,

,

,

,


,

,

一’

,

冬若

,

,

长度 而 积 体 积 等 的 饭 大 或 况 讨 论 问 题 的 特 殊 情形 考 虑 图 址小 情 形 的 旦 化 与极 限 位 置 等 利 用 考 察 极 端 状 态
, ,


研 究距 离







口,
,





二 三
,
,

分析

注意 到 当

,

尹,



,

寸 恒
, ,

下而通 实现解 题 的 思 维 方法 称 为 极 端 原 理 过 对 各 类 问 题 的分 析 探 讨 应 用 极 端 原理 解
,









,


三 ”
·





刀 一



题 的恩想方 法



‘“ , ‘贝 ‘ ”

,



,

从 而否 定 原 命题 ” 确 正
,



有 时 对一 般 性 的 命 题

考 察 极端


,

汀 发 一

现反例

,

否 定 其 正 确性
刘 任何
、 。








,

的 都有



,

成立



分析


先 探求 定 点
的 倾角分别 为







巧 取 特 殊是 常 规 思 略 取





























,











取另 一直 线 时 为 了 避 免 解 方程 组 不 妨 考察 极 限 位 置
,
,









,

吸 刀







,




















,




,









,

,





故否定 了 填

,
,



‘ 夕 正 确性 的

,



注土 点退 缩 到 原 点 时 轴 注意 到 和 的 特 殊位 置 可 知 定 点 为 倾角 为 如图 二 对 倾角 为 和 优 的 口 及取 x , x , ‘r g 二 ) 汉 f 一 有 , = 一 e ,g : x , g : 二 x Z 一 x , c , : : = x ,. x = ,g :
“ 。 ,

, x r g : ,



,

,

,

,

)

,



,

.

,

,

x

注 意 到极 端 情 形 应 用极 限法处 理 这 类 问 题 能 别 开 生 面 易得 结论 尸通 土 中 例 三 棱 锥 尸一
, ,

尹刀
, 求 心一 , 朗
·

,





间 的 公 垂 线 匆刀 长 为


于 是 问题 归 结 为 证 明 月 三 点共 线 ? 关 键 在对 轨 迹 的 探求 若 O A 是 的 两 弦 且 P 为 该两 圆另 一 交 点 符 合条件 . (图 3 ) 注 意 到 匕 。 尸A = 乙 口 p C = 二 / 2 知 p ,
B C





.
B





O

,



分析 则
,


” .

‘ B 百乏 C 尸

·

小 令


1C 1
月,

考虑 土平 面



重 合 的 特殊 情 形 于是

,




·



点 的 轨 迹 是 以 O C 为 直 径 的圆 考 虑 极 端 分 析 图形 极 限 位 置 时 的 情 形 找 到 求 解 思 路 是 一 类 定值 定 点 定 形 定 位 等 问 题 的 常 见思 路


,

,

,







D E ) p ,



l, 工 h
6

,




, 、

() ) 将 图 l a 电 E 看 成 (b 中 才


,

,

图 3 冲啼 例 5 求 三 条 棱互 相 垂 直 且 六 棱 之 和 为 . : 定 值 的 四 面 体 的 最 大 体积 分 析 : 若 B 沿 B D 移 动到 D 则 上 述命
, ,

率 办



C

则 F 卜。






l 着

。:
,

·

尸E

犷A 一 “ ·
=

尹 0 1
1 ·

lh

A

E





一 犷 , 一,

+

犷,

一:: 。 一

题 的极 端 情 形 为 求 周 长 为 定 值 l 的直 角 三 角 , , 形 的最 大 面 积 如 图 4 设 两 直 角边 为 a b 面 积 . 为S 则
, _


,

,

’ *

·

以 退 为 进 分 析 极端 状 态 从 图形 的 特 殊 位 置 出 发 研 究 题 设 与 题断 间 的 必 然 联 系 . 和 内 在 规 律 容 易找 到解 题 途 径 例 4 过 抛 物 线 y = 尸 的 顶 点 作 互 相垂 直 , 的 两 弦 O 才 口B
,

存耳了 2 了+ 寸 丽 一 ( 习石 . _厄
+ b







+


1



,

:

z

一 万 ” 蔺ao
,

,



a 即当 = b 时

? 求 证 直线 A B 必过 定点 ;

? 若以 O
一 30 一



、 O B

分 别 为直 径 作 圆

,

求过

根 据 对 极 端 情 形 求解 的 启 示 . 下 列 不等 式


,

乓 蔺 t 二 一万笼于 J 一 艺十 V Z
S

行对万万 . 2 一2 行
3

~

-

一, ; 一 件

l

,

。二

3 =

一2

万尝 4 广
,

试推 导

石+



)

3

)

. 石 + 万+ 行( 石 V 石
. : : ) 3 (1 十
“ ~




。 , +

方,

+

万 妮万 方 扩
, +

。,


,

。2

+

a Z

特 征 抓住 问 题 的 特 殊 性 取 极 端 (如非 负 数 之 和 为 零 实系 数 二 次 方程 的 判别 式为
,

,

,

V

=





犷一

J b a 着又 而 」 S 牙 三 岩 告 「
·

成立

.

汀 万 ) 3幼可 砚 石 ) ; 犷 万 . 万)V 蔽万 当且 仅 当 。 =

b





一 7

162
,

零 基 本 不 等 式 取等 号 等 ) 可 从 中发 现 解 决 . 问 题 的 合理 思 维 . 例 7 用百 分 制 记 分 得 分 为 整 数 证 明 ? 若 2 1 人 的总 分 为 9 9 0 则 至少 有 3 人 ;? 若 20 人 的总 分 为 10 1 1 则 的 分 数相 同 1 0 至 少 有 3 人 的 分 数 相 同 ;? 若 20 人 的 总 分为 1
,

,

,

,

,



:一

又三 棱互 相垂 直 的 四 面 体 可 能 如图 5 此
。 +

。+

。 +
,

了 万 犷 + 几了不 了 了

了 丁 衬 石- 了不 丁 由几 亨不乒石万 . > 的 4 J 行 不万 知 此 l 所求 休积要 小 一 些 a c 砍兰 = b = ~
5

寸 一 万
一一 二

1


s !



,



0 1 0 0 且 无 3 人 分 数相 同 则 必 有 1 人 1 0 0 0分 20 人 的 总 分 为 10 0 1 分 人 若 1 且 无 3 人分 数 相 同 则 必 有 l 人 O 分 人 . 100 分 1 证 明 从 20 人 总 分 最 少 或 最 多 两 种 极 . 端 状 态 考 虑 若无 3 人 分 数 同 则 2 引 人 的 总 分 至 少 为 1 000 即 2 0 人 中 睡 2 人 各 得 0
, , , , , 2 ?
,


,

2

,

,

行 1

一 7

62

极 端情 形 易于观 和 实验 察 其方法 和
,

结果 常常可 以 获得结 论和 方法上关 于 解决 一 般 问题 的启 示 因


此 解题时要 善于联 . 想 类 比 考 察 极 端 如 点 圆 的半 径 为 零 或 三 . 角形 三 顶 点 合一 的 极 端 三 角形 是 圆 锥或 棱锥 的极 端 情形 三 角形 与 四 边 形 都是 四 面 体压


,

,

分 析 : 这 是 一 个 非 常 规 型 的 三 角 方程 根 据 基 本 量 和 自 由度 的 观 点 方程 中 的 气 口 . 不 能完 全 确定 特 别 地 只 有 在 取 极端 时 才能确 定值 因此 可 将方程 转化 为: . ___。 + 二 一 君 击_ 2 刀二 卫 . . os c s 5




. 扁 在 平 面上 的极 端 等 “ 二 e : 例 6 若 口 ( ) 求满 足 os + eos口 呀0 0 5 (: + 口) = 3 / 2 的 : 刀的 值
, , , ,
,

0 人得 1 0 分 ; 至多 为 即 200 人 中 可 2 人 各 得 100 . 二 , , 1分 2 人得 O分 : 」 是? 的总分 不 能达 鼓大 依 的总 分超 鼓 大 依 故 必有 3 人 分 数 相 同 而 此 垠 大 小 位仅在 上 述各 唯 一 情形达 到 故? ? 正 . 确 应 用 极 端 原理 解 题 的 关 键 是 正 确 设 想 极 . 端 善 于 抓 住 极 端 状 态 特别 是 求 解 存 在 性 命题 时 极 端 状 态 的存 在 是 找 到 解 题 突 破 LJ 的关 键 因 而 设 想 极 端 可 化 难 为 易 0 10 100 分
, , 1 2
,

,

二9 9

,

1

,

,

,

9

9

1

,

?

,

,



,

,

,

,

,



,

n 例 8 已 知平 而 上 有 n > 刃 条 直线 其 ( n 中 任 两 条 不 平 行 任 三 条 不 共点 这 条 直 n 线分 平 而 为若 干 个 区 域 则无 论 这 条 直 线 怎 样 取 都 至 少 有 一 条 邻接 它 的 平 而 区 域 中 有一 个 是 兰 角 形
,

,





,

,



,

,



,



吐一 一 4 o 一 二‘ 亡0“ ‘ 士二 + l = 0 e二 丁 认 2 2 2


,

_ _ _

c ’ . s , D

即 二
而可 求 得 :

e 6o 掣 )11 卜 . 丫{
。,
, . .









: n 分 析 条直 两 相 交 共有 峨 个 线 交 点 这 些交 点到 何 条直 线 的 距 离 中
,

2 : 了



2


口一
口=

16 ) 0

,



亡0 5

2

士1 从

,



刀二

要 J
,

有些 数 学 命 题

结构 和 谐 巧 妙

,

若细析

必 有一 个最 小非零 距离 ; 设 心与 几 交 J . P 石与 l 交 于 Q 寿 与 右交 于 尤 p s 恰 为 到 1 , 的 最小 非 零 距 离 则 1 相 邻 接 的 三 角 形 ( 如 . . ) 否 则 若 l 过△ p Q 尺 否 则 若 l过 △ 图5 户Q R 则 l 必 与 尸 Q , 求 P 相交 不 妨设 l交 ~ R . 尸R 于 对 作 M N 立 1 汉吐M N 上 p s 这 与 p s
, ,
, , ,

一 31 一

是 p 到 乙的 最 小非 零距 离这 一 极 端 性 选 择 相 . 矛 盾 故 △ A B c 是 与 直 线 l 邻 接 的 三 角形 区 J



9 8

2 ) 年数 学高考 第( l 题 解 法 途 径 选择
武汉 大 学数 学系 钟 寿国
3

A 一 颇 x 自点 ( 3 3 ) 发 出的光 线 L 射到 、 轴 上 被 轴 反 射 其 反 射光线所 在的 直 、 x 线 与 圆 2+ v Z一 4 一 4 v + 7 = 0 相 切 求 光 线 L
2 ( 1
, , ,

.





x

: , 关 最 简 单 莫过 于 下 法 因 L 与 L 立 以 ) 轴 对 称 故 在 (3 中将 y 换 为 一 丫



,

所在 的方 程 为叙 述 简 便 计 记 反 射 线所 在 的 直 线 为 ’ L 记 已知 圆为 C 经 配 方 后 得 (x一 2 ) 斗 (v一 2 ) 2 = 1 (1 )
而 C 关于 x 轴 对称 圆 记 为 C :

(x一 2

2 2 ) + (v + 2 ) 二 1



,

(2 )
,

) 要 求 出 L 由 (3 知 关键 在 于 求 k ’ 一 之 2 即 L 与 C 相 切 叙述 求 k 下利 用 上述 的 方 法 ( 对上述 一 之 l 则 利 用 L 与 C 相 切 作法 是 类似 的) . 二 求 k 的 方 法 选 择 1 解孔 法 , 利 用 c 的 圆 心 (2 助 到 直
,
,

, 4 即得 L 为 ( )

,

,

,



,







本 题 的 标准 答 案 仅 例 举两 种 常 见 解 法 事实 上 本 题 的 解 法 很 多 是 灵 活 运 用 代 数 . 几 何 三 角 知 识 解 题 的很 好例 子 可 因 直 线 的选 择 方 法 上 的 选 择 及 直 线方 程 参 数 选 择 不 同 而 不 同 本 文着 重 强 调 解 法 途 径选 择 上 . 的 思 想 方 法 而 不 拘 泥 于 具 体 计 算 现 分叙
,

、 、 。

, 线 L 即 (4 的距 离 d )
去 _



子 矛 不


+ 5 .s k 1 二 1 一

解出k

生资 _
3
. 2




里 这 是 标 准答案 的解 法
4



,

. 口 女 乒


一 直 线 的 选 择 . . 1直接 求 L 设
, _ .



因 L 与 C 只 有 一 个公共 代 数法 一 (k x + 3 k + 3) 联立 v { 厂 2 4x 一 4 v + 7 二 0 得 到 关 十y 匕 于 x 的 一 元 二 次方程
几X

(1 +

、’ ) x
+

’ +

(6

、’

+

一 、 一 4 )x + (9 、’ 。

斜 率为 k A (一 3 3 故 . )
L
,
,

_



因过 点


3 0 k

于 28 ) 二 0


L



(3 )
+ 3 0

y一 3

= k (x + 3 )

令 判别 式 ‘ △ 二 (6 无 +
’ ‘

: o

、 一 4 ) 2 一 4 ( 1 + 无’ ) ( 9 无’
‘ + 2 5

利用 L 与 C 相 饥 的
关 系定 出 图
. 2 为求 L 先求 . ’ 由 L 求 出 k 代 入 (3 ) 设 刃 附 斜 率
丫二
一k
‘ “

丸 + 2 8 ) 一 8 (1从

丸 + xZ ) 一 。
,

解出 来
k





多数 考 生 利 用 此 法


但计算

量大
k 显然

,

写 出 L 方 程 的 方 法 有几 种 : x 1 ) L 的反 射点 即 L 与 轴 交 点 求
, 0 )

极 易出 错 公 式法 我们 知道 任 一 与 圆心 r 的 圆 周相切 的切 线 方 程 为 (p 在 半 径为
.

,

,

3

,

) q

, 一 。一 、二 一 P ( )

士;

t

_

里 土 玉 兰
k

Y 由点斜 式得 L :

‘ 二 一 k「

其 中 k 为切 线 斜 率 因 L 与 C 相 切


打五
一 k
,



) 5 (
,



+

丝匕兰 U l 或 即 v
K O Z A

, 关于 轴对称 点为 A , 一 3 ( . , L 过 A 同样 由 点斜 式 写 出 L 为 ( ’ 因 ) 4 ’


一 x

k (

, 中p= q = 2
丫一 :

、 +

3 k

+

3 )

(4 )

一 3 )

,

k ( 一( L 因 , 过 A ,
k

, =

1

,

代之
,

’ 得 L 为
,



一 :) 士
,

了 石丁又

出k来

.

一 3 一 3 )
,

此法 最 简

代入 上 式 立 即 定 . ) 但 要求 记 忆 公 式 (5

一 32 一


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