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广东省肇庆市2017届高三第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


肇庆市中小学教学质量评估 2017 届高中毕业班第二次统一检测题 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部 分,共 23 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将 自己所在县(市、区) 、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅 笔在准考证号填涂区将考号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 第Ⅰ卷 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1)设复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 2 , i 为虚数单位,则复数 z 的虚部是 (A) 1 (B) ?1 (C) i (D) ?i

2 (2)已知 U ? R ,函数 y ? ln(1 ? x ) 的定义域为 M , N ? { x | x ? x ? 0} ,则下列结论正

确的是 (A) M ? N ? M (C) M ? (CU N ) ? ? (B) M ? (CU N ) ? U (D) M ? CU N

? ?x ? y ? 3 ? 0 ? (3)已知 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 6 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值为 ? 1 ?y ? x ? 0 ? 2
(A)1 (B)-1 (C)3 (D)-3

(4)下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 (A) f ( x) ? 2x (B) f ( x) ? x sin x
-1-

(C) f ( x) =

1 x

(D) f ( x) ? ? x x

(5)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t ???2,2? , 则输出的 S 属于 (A) (B) (C) (D)

(6)下列说法中不 正确 的个数是 . .. ①“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件;
2

②命题“ ?x ? R,cos x ? 1”的否定是“ ?x0 ? R,cos x0 ? 1”; ③若一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真. (A)3 (B)2 (C)1 (D)0

(7)下边茎叶图记录了甲、乙两组各 6 名学生在一次数学测试中的成绩(单位:分) .已知 甲组数据的众数为 124,乙组数据的平均数为 甲组数据的中位数,则 x, y 的值分别为 (A)4,5 (C)4,4 (B)5,4 (D)5,5

(8) 已知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? 若将它的图象向右平移 个单位, 得到函数 g ? x ? 的图象, ?, 6 6?

则函数 g ? x ? 图象的一条对称轴的方程为

12 4 3 2 ??? ? 1 ???? ??? ? ??? ? ( 9 ) 已 知 AB ? AC , AB ? , AC ? t , 若 P 点 是 ?ABC 所 在 平 面 内 一 点 , 且 t ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC AP ? ??? ? ? ???? ,当 t 变化时, PB ? PC 的最大值等于 AB AC
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4

(A) x ?

?

(B) x ?

?

(C) x ?

?

(D) x ?

?

(10)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为

8 3 4 (B) 3
(A) (C)

2 2 正视图 2 2
-2-

2 侧视图

8 2 3

俯视图

(D)

4 2 3

(11)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S17 ? 0, S18 ? 0 ,则 的项为 (A)

S S1 S2 , ,?, 15 中最大 a1 a2 a15

S7 a7

(B)

S8 a8

(C)

S9 a9

(D)

S10 a10
若对任意的

(12)已知函数

x1 ??0,4? ,总存在 x2 ??0, 4? ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,则实数 a 的取值范围为
(A) ?1, ? 4

? 9? ? ? ? 9? ? ?

(B) ?9, ?? ?

(C) ?1, ? ? ?9, ?? ? 4

(D) ? , ? ? ?9, ?? ? 2 4 第 II 卷

?3 9? ? ?

本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ?

3 9 , S3 ? ,则公比 q = ▲ . 2 2

(14)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒. 若一名行人 来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ▲ . (15)已知 tan ? , tan ? 分别是 lg(6 x ? 5x ? 2) ? 0 的两个实数根,则 tan(? ? ? ) ?
2

▲ .

( 16 ) 若 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 y ? f ? x ? 满足 f

? x ? 2? ? ? f ? x ? , 且 当 x ??0, 2? 时 ,

2 ,则方程 f ? x ? ? sin x 在 ? ?10,10? 内的根的个数是 ▲ . f ? x? ? 2 ? x

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)

△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
-3-

(Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c ? 7 , △ABC 的面积为

3 3 ,求 △ABC 的周长. 2

(18) (本小题满分 12 分) 设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ?1 ? 2an . (Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log2 an?1 ,且数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求

1 1 1 ? ?? ? . T1 T2 Tn

(19) (本小题满分 12 分) 下表是某位文科生连续 5 次月考的历史、政治的成绩,结果如下: 月份 历史( x 分) 政治( y 分) 9 79 77 10 81 79 11 83 79 12 85 82 1 87 83

(Ⅰ)求该生 5 次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差; (Ⅱ)一般来说,学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系,根据上表提供 的数据,求两个变量 x, y 的线性回归方程.

?? 参考公式: b

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

?(x ? x)
i ?1 i

n

?

?x y
i ?1 i

n

i

? nx ? y ? nx
2

2

?x
i ?1

n

?x , x , y 表示样本均值. ? ? y ?b ,a

2 i

(20) (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? , PB ? PD ? 2 ,

-4-

PA ? 6 , AC ? BD ? O .
(Ⅰ)设平面 ABP ? 平面 DCP ? l ,证明: l / / AB ; (Ⅱ)若 E 是 PA 的中点,求三棱锥 P ? BCE 的体积 VP? BCE .

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ?1? ex ? ax2 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ? x ? 有两个零点,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 作答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? ?2 ? 2cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原 ? y ? 2sin ?
? ?

点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? sin?? ? (Ⅰ)直接写出 C1 的普通方程和极坐标方程,直接写出 C2 的普通方程; (Ⅱ)点 A 在 C1 上,点 B 在 C2 上,求 AB 的最小值.

??

??2 2. 4?

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 1| . (Ⅰ)当 a ? 2 ,求不等式 f ( x) ? 4 的解集; (Ⅱ)若对任意的 x , f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.
-5-

2017 届高中毕业班第二次统一检测题 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 D 6 B 7 A 8 C 9 B 10 A 11 C 12 C

二、填空题 13. 1 或 ?

1 (答 1 个得 3 分,答 2 个得 5 分) 2

14.

5 8

15. 1

16. 10

三、解答题 (17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知以及正弦定理,得 a ? a ? b ? ? ? c ? b ?? c ? b ? , 即 a ? b ? c ? ab .
2 2 2

(2 分) (3 分)

所以 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? , 2ab 2
π . 3
2 2
2

(5 分)

又 C ? ? 0 ,π ? ,所以 C ?
2

(6 分) (8 分) (9 分) (11 分) (12 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? c ? ab ,所以 ? a ? b? ? 3ab ? c2 ? 7 ,
1 3 3 3 ab ? 又 S ? ab ? sin C ? ,所以 ab ? 6 , 2 4 2

所以 (a ? b) ? 7 ? 3ab ? 25 ,即 a ? b ? 5 .
2

所以 △ ABC 周长为 a ? b ? c ? 5 ? 7 .

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知,有 Sn ? ?1 ? 2an 当 n ? 1 时, a1 ? ?1 ? 2a1 ,即 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时, Sn?1 ? ?1 ? 2an?1 ②, (3 分) (5 分) ①, (1 分)

①-②得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 an ? 2an?1 ? n ? 2? . 所以 ?an ? 是 2 为公比,1 为首项的等比数列,即 an ? 2n?1 .

-6-

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 bn ? log2 an?1 ? ln 2n ? n , 所以 Tn ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 所以

(6 分) (8 分)

n(n ? 1) . 2

2 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ??? ? ?? ? T1 T2 Tn 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? n ? 1?
= 2 ?1 ? = 2 ?1 ? =

(9 分)

? ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? 2 2 3 3 4 n n ?1 ? 1 ? ? n ?1 ?

(10 分)

? ?

(11 分)

2n n ?1

(12 分)

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) x ?

1 ? 79 ? 81 ? 83 ? 85 ? 87 ? ? 83 5

(2 分)

1 (4 分) ? 77 ? 79 ? 79 ? 82 ? 83? ? 80 5 1 2 2 2 2 2 2 sy ? ? ?? 77 ? 80 ? ? ? 79 ? 80 ? ? ? 79 ? 80 ? ? ? 82 ? 80 ? ? ? 83 ? 80 ? ? ? 4.8 ? 5 ? y?
(6 分) (Ⅱ)

? ? x ? x ?? y ? y ? ? 30 , ? ? x ? x ?
i ?1 i i i ?1 i
i i

5

5

2

? 40 ,

(8 分)

?? b

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1

5

? (x ? x )
i ?1 i

5

?

2

30 ? 0.75 , 40

(10 分)

? ? 80 ? 0.75 ? 83 ? 17.75 , ? ? y ? bx a
? ? 0.75x ? 17.75 . 所求的线性回归方程为 y

(11 分) (12 分)

(20) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:因为 AB / / DC, AB ? 平面PDC, DC ? 平面PDC , 所以 AB//平面PDC . 又平面 ABP ? 平面 DCP ? l ,且 AB ? 面ABP , (2 分)

-7-

所以 l / / AB . (Ⅱ)解:因为底面是菱形,所以 BD ? AC .

(4 分) (5 分)

因为 PB ? PD ,且 O 是 BD 中点,所以 BD ? PO . (6 分) 又 PO ? AC ? O ,所以 BD ? 面PAC .所以 BO 是三棱锥 B ? PCE 的高. (7 分) 因为 AO 为边长为 2 的等边△ABD 的中线,所以 AO ? 3 . 因为 PO 为边长为 2 的等边△PBD 的中线,所以 PO ? 3 . 在△POA 中, PA ?

6 , AO ? 3 , PO ? 3 ,
(8 分) (9 分)

2 2 2 所以 AO ? PO ? PA ,所以 PO ? AO .

所以 S?PAC ?

1 AC ?PO ? 3 , 2 1 3 S ?PAC ? . 2 2

因为 E 是线段 PA 的中点,所以 S ?PCE ? 所以 VP ? BCE ? VB ? PCE ?

(10 分)

1 1 ? S?PCE ? BO ? . 3 2

(12 分)

(21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ex ? ( x ?1)ex ? 2ax ? x(ex ? 2a) . (i)若 a ? 0 ,则当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 故函数 f ( x ) 在 ( ??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增. (ii)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得: x ? 0 或 x ? ln(?2a) . ①若 ln(?2a) ? 0 ,即 a ? ? (2 分) (3 分) (1 分)

1 x ,则 ?x ? R , f ?( x) ? x(e ?1) ? 0 , 2
(4 分)

故 f ( x ) 在 (??, ??) 单调递增. ② 若 ln( ,即 ? ?2 a ) ? 0

1 ? a ? 0 , 则 当 x ? (?? , ln( ? 2 a )) ? ( ?? 0, 时 ) , f ?( x ) ? 0 ; 当 2

时, f ?( x) ? 0 ;故函数在 (??, ln(?2a)) ,(0, ??) 单调递增,在 (ln(?2a),0) x ? (ln( ?2 a ), 0) 单调递减. ③ 若 l n? ( a 2 ? ) , 0 即 a?? (5 分)

1 , 则 当 x ? (?? , 0 ? ) ( l? na ( 2 ??) ,时 , ) f ?( x )? 0; 当 2

x ?( 0 , l n ? ( a 2 时, ) ) f ?( x) ? 0 ;故函数在 (??, 0) ,(ln(?2a), ??) 单调递增,在 (0,ln(?2a))
单调递减.
-8-

(6 分)

(Ⅱ) (i)当 a ? 0 时,由(Ⅰ)知,函数 f ( x ) 在 ( ??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增. ∵ f (0) ? ?1 ? 0, f (2) ? e2 ? 4a ? 0 ,
2 2 取实数 b 满足 b ? ?2 且 b ? ln a ,则 f (b) ? a (b ? 1) ? ab ? a b ? b ? 1 ? a ? 4 ? 2 ? 1? ? 0 ,

?

?

(7 分) 所以 f ( x ) 有两个零点. (ii)若 a ? 0 ,则 f ( x) ? ( x ?1)e x ,故 f ( x ) 只有一个零点. (iii)若 a ? 0 ,由(I)知, 当a ? ? 点; 当a?? (8 分) (9 分)

1 ,则 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增,又当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 不存在两个零 2
(10 分)

1 ,则函数在 (ln(?2a), ??) 单调递增;在 (0, ln( 单调递减.又当 x ? 1 时, ?2 a )) 2
(11 分) (12 分)

f ( x ) ? 0,故不存在两个零点.
综上所述, a 的取值范围是 ? 0, ?? ? .

(22) (本小题满分 10 分)
2 解: (Ⅰ) C1 的普通方程是 ? x ? 2 ? ? y ? 4 , 2

(2 分) (4 分) (6 分)

C1 的极坐标方程 ? ? ?4cos ? ,
C2 的普通方程 x ? y ? 4 ? 0 .
(Ⅱ)方法一:

C1 是以点 ? ?2,0? 为圆心,半径为 2 的圆; C2 是直线.
圆心到直线 C2 的距离为

(7 分)

| ?2 ? 0 ? 4 | ? 3 2 ? 2 ,直线和圆相离. 2

(8 分)

所以 AB 的最小值为 3 2 ? 2 . 方法二: 设 A? ?2 ? 2cos? ,2sin ? ? ,因为 C2 是直线,

(10 分)

(7 分)

-9-

所以 AB 的最小值即点 A 到直线的距离 d 的最小值,

?? ? 2 2 sin ? ? ? ? ? 6 ?2 ? 2cos ? ? 2sin ? ? 4 4? ? , d? ? 2 2
所以最小值为

(9 分)

6?2 2 ? 3 2 ?2. 2

(10 分)

(23) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时,不等式 f ( x) ? 4 ,即 | x ? 2 | ? | x ?1|? 4 . 可得 ?

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? 或? ? x ? 2 ? x ?1 ? 4 ?2 ? x ? x ? 1 ? 4 ?2 ? x ? 1 ? x ? 4
1 7 1 7? ? ? x ? ,所以不等式的解集为 ? x | ? ? x ? ? . 2 2 2 2? ?

(3 分)

解得 ?

(6 分) (8 分) (10 分)

(Ⅱ) | x ? a | ? | x ?1|? a ?1 ,当且仅当 ? x ? a ?? x ?1? ? 0 时等号成立. 由 a ? 1 ? 2 ,得 a ? ?1 或 a ? 3 ,即 a 的取值范围为 ? ??, ?1? ? ?3, ???

- 10 -


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